王 錚

（鄭州大學(xué) 升達(dá)經(jīng)貿(mào)管理學(xué)院，鄭州 451191）

0 引言

最近，越來(lái)越多的國(guó)內(nèi)學(xué)者使用全要素生產(chǎn)率來(lái)研究我國(guó)的總體或區(qū)域經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)問(wèn)題。全要素生產(chǎn)率方法也引起了許多學(xué)者的重視。從對(duì)它的度量方法上看，從最初的Laspeyres指數(shù)發(fā)展到Tornqvist指數(shù)方法，然后直到上世紀(jì)90年代提出了所謂Malmquist生產(chǎn)率指數(shù)方法。Malmquist生產(chǎn)率指數(shù)方法是在Malmquist數(shù)量指數(shù)的基礎(chǔ)上構(gòu)造而成，建立在距離函數(shù)之上，用于測(cè)度全要素生產(chǎn)率變化的一種新方法。1994年，F(xiàn)are提出了基于DEA方法的非參數(shù)Malmquist生產(chǎn)率指數(shù)算法并得以廣泛的應(yīng)用[1～5]。

我國(guó)學(xué)者也對(duì)這一領(lǐng)域進(jìn)行了跟蹤研究，做了大量的實(shí)證研究[6，7]。雖然現(xiàn)有的文獻(xiàn)已經(jīng)取得了較好的成果，但我們發(fā)現(xiàn)這些成果主要集中在應(yīng)用方面，很少有經(jīng)濟(jì)學(xué)者關(guān)注該方法的理論基礎(chǔ)問(wèn)題，特別是關(guān)注其測(cè)度全要素生產(chǎn)率時(shí)的測(cè)度標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題。實(shí)際上，由于全要素生產(chǎn)率是由產(chǎn)出投入比來(lái)定義的，因此Malmquist生產(chǎn)率指數(shù)方法在測(cè)度它時(shí)的理論框架按測(cè)度標(biāo)準(zhǔn)的不同分為兩大體系。一個(gè)是基于產(chǎn)出的非參數(shù)生產(chǎn)前沿面體系；另一個(gè)是基于投入的非參數(shù)生產(chǎn)前沿面體系。很明顯兩大體系的測(cè)度標(biāo)準(zhǔn)是不同的，前者以產(chǎn)出的最大化為標(biāo)準(zhǔn)，而后者以投入的最小化為標(biāo)準(zhǔn)。通常學(xué)者們?cè)诓捎肕almquist生產(chǎn)率指數(shù)方法進(jìn)行應(yīng)用研究時(shí)，并不考慮這兩種體系之間的區(qū)別，或者并沒(méi)有在文獻(xiàn)中給出選擇某一體系的原因。從而使得研究不夠深入。那么，從理論上來(lái)說(shuō)，這兩種方法體系是否具有等價(jià)性？這就是一個(gè)值得我們研究的重要理論問(wèn)題。進(jìn)一步，對(duì)該理論問(wèn)題的回答有助于解決實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)選擇哪一種體系的學(xué)術(shù)問(wèn)題。本文擬首先以基于產(chǎn)出的非參數(shù)生產(chǎn)前沿面的Malmquist生產(chǎn)率指數(shù)方法為例，簡(jiǎn)單介紹Malmquist生產(chǎn)率指數(shù)方法的測(cè)度與分解方法體系，然后從距離函數(shù)這一關(guān)鍵環(huán)節(jié)入手，深入分析兩套體系的本質(zhì)，在此基礎(chǔ)上給出相關(guān)的結(jié)論和建議。

1 理論框架

基于產(chǎn)出的非參數(shù)生產(chǎn)前沿面的Malmquist生產(chǎn)率指數(shù)方法，通常假定投入不變，從產(chǎn)出最大化的思想出發(fā)，將基于生產(chǎn)前沿面的非參數(shù)方法與生產(chǎn)率指數(shù)理論結(jié)合起來(lái)，建立全要素生產(chǎn)率的非參數(shù)測(cè)度模型，具體內(nèi)容如下：

用N維向量x=(x1，…，xN)表示N種投入，M維向量u=(u1，…，uM)表示M種產(chǎn)出，則所有可能的投入和產(chǎn)出組成的生產(chǎn)技術(shù)集可表示為 GR(x，u)={(x，u):x∈，u∈}。 對(duì)于所有投入向量，用 P(x)表示可行產(chǎn)出集，P(x)={u:(x,u)∈GR(x，u)}。在每一個(gè)特定時(shí)期t=1，2，…，T，生產(chǎn)技術(shù)集由所有可能的投入產(chǎn)出向量組成的，即(xt，ut)={(xt，ut):xt可以生產(chǎn) ut}。對(duì)于時(shí)間 t， 有 xt∈和 ut∈，其中定義投入集N=maxt{Nt}，產(chǎn)出集M=maxt{Mt}。在每一個(gè)時(shí)期所觀測(cè)的決策單元為k=1，2，…，K，假定 K=maxt{Kt}。 上述假定可以保證如果 Mt≠M(fèi)t+1、Nt≠Nt+1， 通過(guò)加入 0 元素使 Mt=Mt+1、Nt=Nt+1。 為導(dǎo)出Malmquist生產(chǎn)率指數(shù)，首先考慮單投入單產(chǎn)出的基本情形。同時(shí)假定已有t和t+1兩個(gè)時(shí)期的投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)，則全要素生產(chǎn)率δTFP可以定義為：

在規(guī)模收益不變的條件下，每個(gè)時(shí)期的產(chǎn)出與投入距離函數(shù)可寫成：

上述公式是利用t期的技術(shù)描述的。同理，如果采用t+1期技術(shù)來(lái)表達(dá)TFP，則有：

為了與其他生產(chǎn)率指數(shù)（費(fèi)舍爾指數(shù)Fisher index number，湯奎斯特指數(shù)Tornquist index number）相對(duì)應(yīng)并保持形式上的一致性，一般取上述兩種指數(shù)的幾何平均值，在規(guī)模收益不變的條件下，基于產(chǎn)出的Malmquist生產(chǎn)率指數(shù)的定義式為：

根據(jù)距離函數(shù)的特性，上述公式同樣適用于多投入多產(chǎn)出情形[2]。

由于謝潑德定義的距離函數(shù)是所對(duì)應(yīng)的法雷爾技術(shù)效率函數(shù)的倒數(shù)，所以可以將生產(chǎn)率指數(shù)的距離函數(shù)描述轉(zhuǎn)化為效率函數(shù)描述。據(jù)此轉(zhuǎn)化的效率函數(shù)描述的定義式為：

對(duì)于每一決策單元k，兩時(shí)期交叉的技術(shù)效率由于不必保證 xt+1∈Lt(ut+1|C，S)和 xt∈Lt+1(ut|C，S)，其線性規(guī)劃解可以大于1。其中，式（1）在規(guī)模收益不變和要素可自由處置的條件下，可以分解為如下形式，即：

括號(hào)外面是兩個(gè)時(shí)期資源配置效率的比值，與技術(shù)水平的變化無(wú)關(guān)，只表示兩個(gè)時(shí)期生產(chǎn)資源配置效率水平的變化率。括號(hào)中兩個(gè)比率的平方根可以看作是在t+1和t時(shí)期之間用兩個(gè)比率的幾何平均數(shù)表示的技術(shù)水平變化率。根據(jù)上述分解可以給出下面兩個(gè)定義。

定義1 在規(guī)模收益恒定且要素自由處置（C，S）的條件下，基于產(chǎn)出的資源配置效率變化率為：

定義2 在規(guī)模收益恒定且要素自由處置（C，S）的條件下，基于產(chǎn)出（即產(chǎn)出可擴(kuò)張）的技術(shù)水平變化率（或技術(shù)進(jìn)步率）為

由于上述公式中使用的技術(shù)效率函數(shù)都有對(duì)應(yīng)的非參數(shù)可測(cè)算模型，因此可以采用基于生產(chǎn)前沿面的非參數(shù)方法進(jìn)行測(cè)度。至此建立了基于產(chǎn)出非參數(shù)前沿面的Malmquist生產(chǎn)率指數(shù)方法體系。

2 比較分析

基于投入的Malmquist生產(chǎn)率指數(shù)模型，有：

其中，四個(gè)技術(shù)效率函數(shù)的非參數(shù)模型為：

進(jìn)而可以分解成基于投入的資源配置效率變化率ηt+1

i(ut+1，xt+1，ut，xt|C，S)和技術(shù)水平變化率 λti+1(ut+1，xt+1，ut，xt|C，S)的乘積，即：

在規(guī)模收益恒定且要素自由處置（C，S）條件下，定義基于投入的資源配置效率變化率和技術(shù)水平變化率（或技術(shù)進(jìn)步率）為：

可以看出，基于產(chǎn)出非參數(shù)前沿面的體系和基于投入非參數(shù)前沿面的體系之間的差異體現(xiàn)在，針對(duì)同一問(wèn)題采取兩種不同的測(cè)度標(biāo)準(zhǔn)：一種是在給定投入的前提下，使產(chǎn)出最大化；另一種是給定產(chǎn)出的前提下，使投入最小化。兩者之間聯(lián)系的關(guān)鍵就在于由謝潑德（R.W.Shephard,1953～1970）提出的，基于生產(chǎn)前沿面思想的，以生產(chǎn)技術(shù)集合論描述為基礎(chǔ)的產(chǎn)出與投入距離函數(shù)。這兩個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系是基于產(chǎn)出非參數(shù)前沿面的Malmquist生產(chǎn)率指數(shù)和基于投入非參數(shù)前沿面的Malmquist生產(chǎn)率指數(shù)之間異同的本質(zhì)原因。因此，下面考慮產(chǎn)出距離函數(shù)與投入距離函數(shù)之間的關(guān)系。

首先考慮在投入確定條件下，描述產(chǎn)出可擴(kuò)張性的產(chǎn)出距離函數(shù)。采用前面定義的生產(chǎn)技術(shù)集GR(x，u)={(x，u):x∈，u∈}和可行產(chǎn)出集 P(x)={u:(x，u)∈GR(x，u)}，由其經(jīng)濟(jì)含義，可將生產(chǎn)技術(shù)集與可行產(chǎn)出集之間的關(guān)系表示為：

GR(x，u)={(x，u):x∈，u∈P(x)}

產(chǎn)出距離函數(shù)在多產(chǎn)出情形下最小值可能無(wú)法得到，比較嚴(yán)格的定義需要使用“下確界（infimum）”來(lái)代替最小值，即產(chǎn)出距離函數(shù)應(yīng)該表示為：

可以看出，產(chǎn)出距離函數(shù)表示的是產(chǎn)出向生產(chǎn)前沿面的最大限度擴(kuò)張或逼近。類似于以產(chǎn)出集作為函數(shù)的產(chǎn)出距離函數(shù)，投入距離函數(shù)以投入集作為函數(shù)，描述在產(chǎn)出確定條件下投入的可壓縮性。如果投入集為L(zhǎng)(u)={x:(x,u)∈GR(x,u)}，投入距離函數(shù)可以表示為Di(u,x)={λ＞0:(x/λ)∈L(u)，u∈}。投入距離函數(shù)是在多投入條件下投入最大可能壓縮的上確界。由于當(dāng)且僅當(dāng)x∈L(u)時(shí)u∈P(x)，我們也可以用產(chǎn)出集來(lái)表示投入距離函數(shù)，即：

由于 Do(x，u)≤1?Di(u，x)≥1，且在技術(shù)表現(xiàn)為規(guī)模收益不變和要素自由處置（C，S）的條件下，投入確定條件下的產(chǎn)出可擴(kuò)展性與產(chǎn)出確定條件下的投入可壓縮性是等價(jià)的，此時(shí)對(duì)于所有 x∈u∈的投入產(chǎn)出集(x，u)，時(shí)期 t的產(chǎn)出距離函數(shù)和投入距離函數(shù)有如下關(guān)系：

因此，基于產(chǎn)出非參數(shù)前沿面的體系和基于投入非參數(shù)前沿面的體系之間有如下的關(guān)系：

即規(guī)模收益不變和要素可自由處置的條件下，基于產(chǎn)出非參數(shù)前沿面的Malmquist生產(chǎn)率指數(shù)和基于投入非參數(shù)前沿面的Malmquist生產(chǎn)率指數(shù)之間具有等價(jià)性。兩者計(jì)算得到的結(jié)果是一致的。

3 結(jié)論與建議

既然研究結(jié)果表明，在規(guī)模收益不變和要素可自由處置的條件下，基于產(chǎn)出非參數(shù)前沿面的Malmquist生產(chǎn)率指數(shù)和基于投入非參數(shù)前沿面的Malmquist生產(chǎn)率指數(shù)方法是等價(jià)的。那么，從理論上來(lái)說(shuō)，實(shí)證分析中使用哪一種方法體系都可以。但需要注意的是，在某些具體問(wèn)題的研究中，由于數(shù)據(jù)本身的原因，使得某一種體系的計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)不收斂的情況，從而導(dǎo)致無(wú)法對(duì)相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行實(shí)證分析。在這種情形下，我們建議可以采用等價(jià)的另一種方法體系來(lái)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行研究，從而得到有效的實(shí)證結(jié)果。

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