楊仁友，沈泓萃，姚惠之

（中國船舶科學(xué)研究中心，江蘇 無錫 214082）

螺旋槳敞水性能CFD不確定度分析

楊仁友，沈泓萃，姚惠之

（中國船舶科學(xué)研究中心，江蘇 無錫 214082）

基于商用RANS代碼，利用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格技術(shù)和流道計(jì)算模型對庫存螺旋槳敞水性能進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，并參考ITTC-CFD不確定度分析推薦規(guī)程和基準(zhǔn)檢驗(yàn)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，對其水動力數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證和確認(rèn)。文中為開展網(wǎng)格收斂性研究，共設(shè)計(jì)了三套網(wǎng)格，網(wǎng)格加細(xì)比為同時(shí)也分析比較了SST k-ω湍流模型和RNG kε湍流模型對網(wǎng)格收斂特性的影響，為螺旋槳敞水水動力數(shù)值模擬方法向工程應(yīng)用方向邁進(jìn)提供技術(shù)支撐。

螺旋槳；敞水性能；CFD；不確定度分析

1 引 言

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展和計(jì)算能力的不斷提高，CFD技術(shù)逐漸成為船體外形選型、優(yōu)化設(shè)計(jì)中的一個(gè)重要手段，而制約CFD工程上廣泛應(yīng)用的主要瓶頸是CFD技術(shù)的快速反應(yīng)能力以及CFD技術(shù)的計(jì)算精度與結(jié)果可靠性問題。對于后者，國內(nèi)外相關(guān)技術(shù)人員開展了深入和細(xì)致的研究工作，召開了多次學(xué)術(shù)會議，取得了許多成效，也初步提出了CFD不確定度分析的推薦規(guī)程。

目前，國際上通常采用Richardson外推法（RE）定量估算數(shù)值誤差，它將誤差看作典型網(wǎng)格單元尺寸的冪級數(shù)展開式。實(shí)際應(yīng)用中，受到網(wǎng)格套數(shù)的約束，冪級數(shù)展開式不得不采用有限項(xiàng)數(shù)n來確定誤差。根據(jù)RE公式可知，誤差表達(dá)式中有1+2n個(gè)未知數(shù)，所以需要同等數(shù)目的數(shù)值解。理論上，項(xiàng)數(shù)n越大，網(wǎng)格越精細(xì)且更接近漸進(jìn)范圍。但是n的增大帶來的不利影響是網(wǎng)格數(shù)目的增多。經(jīng)典方法中，僅選取一項(xiàng)來滿足漸進(jìn)范圍，如Roache等[1]提出的網(wǎng)格收斂指標(biāo)（GCI）方法。該方法將單項(xiàng)冪級數(shù)指數(shù)p看作未知，由于程序中包含三個(gè)未知數(shù)：精確解φ0、系數(shù)α和準(zhǔn)確度量階p，因此至少需要三套網(wǎng)格才能開展網(wǎng)格收斂性研究，像Stern[2]和24屆ITTC[3]等均推薦此方法開展CFD不確定度分析。另一種方法是由Oberkampf[4]建議的采用給定整數(shù)指數(shù)的多項(xiàng)冪級數(shù)方法。當(dāng)取一項(xiàng)冪級數(shù)展開時(shí)，需要兩套網(wǎng)格；取兩項(xiàng)冪級數(shù)展開時(shí)，需要三套網(wǎng)格；三項(xiàng)之時(shí)，需要四套網(wǎng)格，依此類推。文獻(xiàn)[4]通過算例進(jìn)行兩種方法對比分析認(rèn)為，采用Roache的未知指數(shù)單項(xiàng)展開式和給定指數(shù)的兩項(xiàng)展開式來估算誤差似乎是最為有效。E?a和Hoekstra[4]提出采用最小二乘法來計(jì)算上述各未知參數(shù)值，其所需網(wǎng)格套數(shù)至少比上述方法多一套。最小二乘法可用于處理因網(wǎng)格幾何相似性較差而導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果離散度較大的方案。

不確定度定義的目的是保證某置信區(qū)間內(nèi)真實(shí)誤差在估計(jì)誤差+/-不確定度U的范圍內(nèi)。為了估算利用RE方法得到的誤差，必須確定其不確定度。對此，ITTC推薦規(guī)程[2]提出了修正因子法，該修正因子Ck的概念是建立在一維波動方程、二維拉普拉斯方程以及布拉休斯邊界層解析解的驗(yàn)證研究之上的。然而當(dāng)Ck在1附近時(shí)，規(guī)程建議采用Roache的安全因子FS來估算不確定度?？紤]到FS是經(jīng)驗(yàn)給出的，E?a等人[4]提出了安全因子的估算方法。

在進(jìn)行CFD不確定度分析過程中，為了采用RE方法外推得到零尺度網(wǎng)格數(shù)值精確解，要求所有網(wǎng)格具有良好的幾何相似性，這就使得目前絕大部分CFD不確定度分析主要針對結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格技術(shù)且對象幾何相對較為簡單的方案。如E?a[5]開展了繞小山丘的二維湍流流動、三維有限平板流動和KVLCC2M油輪三維湍流流動的數(shù)值計(jì)算和不確定度分析。該論文主要進(jìn)行了迭代誤差的估算方法研究，以及分析迭代誤差對離散誤差的影響。Weymouth[6]進(jìn)行了Wigley船升沉和縱傾運(yùn)動工況的數(shù)值模擬，并利用ITTC推薦規(guī)程進(jìn)行了時(shí)間步長、網(wǎng)格收斂性等的不確定度分析。Van[7]針對DARPA SUBOFF潛艇模型同樣利用ITTC推薦規(guī)程開展了阻力的CFD不確定度分析。Simonsen等[8-9]嘗試采用嵌入式網(wǎng)格對帶舵Esso Osaka油輪的水動力和流場進(jìn)行CFD不確定度分析。以上以Richardson外推法為基礎(chǔ)的各種CFD不確定度分析主要針對結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格且假設(shè)計(jì)算結(jié)果具有良好漸進(jìn)范圍為基礎(chǔ)開展工作的，其應(yīng)用局限性較大。鑒于此，Zhang[10]，Celik[11-12]及Qin和Shih[13]等提出采用誤差輸運(yùn)方程（ETEs）方法進(jìn)行CFD誤差估算。它通過將誤差輸運(yùn)方程與流動控制方程一起求解，求導(dǎo)分析殘差或者輸運(yùn)方程的誤差源項(xiàng)來監(jiān)控計(jì)算誤差，它可以在計(jì)算過程中或者后處理過程中進(jìn)行CFD誤差分析。正如24屆ITTC阻力委員會總結(jié)報(bào)告[14]所言，由于ETEs方法具有處理分析包括非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格在內(nèi)的復(fù)雜幾何網(wǎng)格的能力，或許在未來該方法將變得更加普遍。

雖然ITTC推薦的CFD不確定度分析規(guī)程尚未得到廣大專家的一致同意，但考慮到該規(guī)程目前使用比較廣泛、而且執(zhí)行程序相對比較簡單，因此本文還是嘗試采用ITTC推薦規(guī)程，開展螺旋槳敞水水動力的CFD不確定度分析，并分別采用SST k-ω和RNG k-ε湍流模型分析計(jì)算CFD不確定度。

2 研究對象與計(jì)算網(wǎng)格

本文以庫存螺旋槳模型為對象計(jì)算分析。該槳模直徑為0.2m，0.7R處葉片螺距比達(dá)1.2，右旋槳。

采用商用前處理軟件Gambit生成多塊結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，其中，對于槳葉附近區(qū)域，針對不同半徑區(qū)域進(jìn)行分段建模，各網(wǎng)格塊之間采用對接網(wǎng)格技術(shù)進(jìn)行連接；導(dǎo)流帽和螺旋槳尾流段區(qū)域也同樣采用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，各區(qū)域網(wǎng)格采用交接面形式進(jìn)行搭接。至于網(wǎng)格形式，在槳葉附近區(qū)域沿葉片弦長方向?yàn)镺型網(wǎng)格，沿徑向方向?yàn)镠型網(wǎng)格，在計(jì)算域其余區(qū)域沿縱向（即螺旋槳旋轉(zhuǎn)軸）方向?yàn)镠型網(wǎng)格，沿周向?yàn)镺型網(wǎng)格，如圖1所示。

文中共建立了三套（m=3）網(wǎng)格，三套網(wǎng)格尺度如表1所示，槳葉壁面網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)分布如圖2所示，網(wǎng)格加細(xì)比為rk=

表1 網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)設(shè)置及網(wǎng)格數(shù)Tab.1 The grid numbers and the node sets

3 計(jì)算方法

本文敞水螺旋槳CFD計(jì)算方法描述如下：

a.采用單個(gè)槳葉流道計(jì)算模型，槳葉葉片旋轉(zhuǎn)模擬采用多參考系模型（MRF）。

b.計(jì)算域大小為6D×12D×6D（如圖3所示）；邊界條件主要包括速度入口、壓力出口、外場邊界、流道兩側(cè)周期性邊界條件及槳葉壁面無滑移邊界條件。

c.整個(gè)計(jì)算域采用H-O型多塊結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格。

d.選用隱式格式來放寬穩(wěn)定性限制，對流項(xiàng)采用二階迎風(fēng)格式，擴(kuò)散項(xiàng)采用中心差分格式；壓力、速度耦合采用SIPMLE算法。

e.采用了兩種湍流模型SST k-ω和RNG k-ε。

4 CFD不確定度分析程序

由ITTC推薦規(guī)程—CFD中的不確定度分析—驗(yàn)證和確認(rèn)的方法及規(guī)程[3]可知，CFD不確定度包括模型誤差δSM和數(shù)值誤差δSN，這與試驗(yàn)不確定度中包含的系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差相類似。

CFD不確定度分析包含驗(yàn)證與確認(rèn)兩個(gè)程序。驗(yàn)證就是計(jì)算數(shù)值模擬的數(shù)值誤差δSN和數(shù)值不確定度USN；確認(rèn)就是利用基準(zhǔn)試驗(yàn)數(shù)據(jù)評估數(shù)值模擬的模型不確定度USM的過程。本文根據(jù)ITTC推薦規(guī)程—CFD中的不確定度分析—驗(yàn)證和確認(rèn)的方法及規(guī)程[3]和規(guī)程提供的阻力與流場分析范例[15]，開展敞水螺旋槳CFD不確定度分析。

4.1 CFD驗(yàn)證程序

文獻(xiàn)[5]針對三種迭代誤差估算方法L∞、L1和L2范數(shù)比較得出，由于L∞范數(shù)相當(dāng)于外推至無限迭代步數(shù)，大大改善了迭代誤差估算能力。因此本文采用L∞范數(shù)估算迭代不確定度，即

式中，收斂判據(jù)為離散方程殘差達(dá)到10-4。

對于離散誤差，主要通過Roache的GCI方法進(jìn)行研究。用一階的RE估計(jì)、準(zhǔn)確度量階p、修k正因子Ck和收斂率Rk。即

式中，下標(biāo)k表示網(wǎng)格組類，下標(biāo)1、2、3分別表示該組由密到疏的三套網(wǎng)格；pest是當(dāng)空間步長趨于0、漸進(jìn)范圍為Ck→1時(shí)，首項(xiàng)準(zhǔn)確度極限階數(shù)的估計(jì)值，本文取為2。

當(dāng)收斂率Rk＞1之時(shí)，收斂狀態(tài)發(fā)散。

當(dāng)收斂率Rk＜0時(shí)，波動收斂，不確定度可以簡單估計(jì)為基于波動最大值SU和最小值SL的限定誤差，即

當(dāng)收斂率0＜Rk＜1時(shí)，單調(diào)收斂。不確定度按下述方法估計(jì)：

若將Ck看作缺少置信度時(shí)遠(yuǎn)小于1或者遠(yuǎn)大于1情況，那么網(wǎng)格不確定度UG得到估計(jì)，但沒有估計(jì) δG，

若將Ck看作存在置信度時(shí)接近于1的情況，則和都得到了估計(jì)，當(dāng)式Ck=1時(shí)，（9）式中UGC=0，這是不現(xiàn)實(shí)的。因此對于Ck=1，ITTC規(guī)程建議使用安全因子法，

4.2 CFD確認(rèn)程序

確認(rèn)的過程就是利用基準(zhǔn)驗(yàn)證試驗(yàn)評估數(shù)值模擬的模型不確定度USM的過程。對于基準(zhǔn)驗(yàn)證試驗(yàn)而言，需要模型測試結(jié)果D和測試不確定度UD。

對比誤差E是由試驗(yàn)數(shù)據(jù)D和模擬值S之差給出，

安全因子的準(zhǔn)確值是模糊的，對于細(xì)致的網(wǎng)格研究，建議FS取1.25；對于只使用兩種網(wǎng)格且準(zhǔn)確度量階是根據(jù)理論值pth得到的情況，建議FS取3。修正解SC為因此，通過比較E與確認(rèn)不確定度UV就能判定確認(rèn)實(shí)現(xiàn)與否。其中，

如若 UV＜，表明對比水平高于噪聲水平，模擬結(jié)果沒有得到確認(rèn)。當(dāng)UV＜＜時(shí)，說明模型誤差是主要不確定度源，因此可以利用E=δSM來改進(jìn)模型。

5 螺旋槳水動力的CFD驗(yàn)證與確認(rèn)

文中分別采用了SST k-ω和RNG k-ε兩種湍流模型，開展螺旋槳推力、扭矩與其摩擦和壓差水動力分量及敞水效率的不確定度分析工作。

5.1 SST k-ω湍流模型CFD不確定度分析

5.1.1 驗(yàn)證

借助螺旋槳推力系數(shù)、扭矩系數(shù)的迭代歷程曲線來評估迭代收斂性。圖4給出了網(wǎng)格1在收斂判據(jù)達(dá)到10-4工況，Np＝1 000迭代步數(shù)內(nèi)的迭代歷程曲線。由公式（1）可得其推力、扭矩迭代不確定度分別為1×10-6D和9×10-7D。同理可以得到網(wǎng)格2推力、扭矩迭代不確定度分別為3×10-5D和1×10-5D，網(wǎng)格3推力、扭矩迭代不確定度分別為2×10-6D和4×10-6D。與網(wǎng)格誤差相比，上述三套網(wǎng)格的迭代不確定度至少小兩個(gè)數(shù)量級，因此可以假定迭代誤差和迭代不確定度忽略不計(jì)。

三套網(wǎng)格螺旋槳推力系數(shù)KT及其分量KTf和KTp、扭矩系數(shù)KQ及其分量KQf和KQp、敞水效率η0的計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 敞水螺旋槳水動力性能計(jì)算與試驗(yàn)結(jié)果列表（SST k-ω）Tab.2 The numerical results and experimental data of the open-water performance of the propeller(SST k-ω)

利用4.2節(jié)提供的驗(yàn)證程序，估算得到敞水螺旋槳水動力性能CFD不確定度分析結(jié)果，如表3所示。其中，對于單調(diào)收斂情況，文中所進(jìn)行的不確定度與誤差估計(jì)不但考慮了在缺少置信度下Ck遠(yuǎn)小于1或遠(yuǎn)大于1的情況，而且考慮了存在置信度時(shí)Ck接近于1的情況。

表3 敞水螺旋槳水動力的驗(yàn)證（SST k-ω）Tab.3 The verification of the open-water performance of the propeller(SST k-ω)

從表中可以看出，針對敞水螺旋槳三個(gè)水動力測試參數(shù)，其驗(yàn)證水平相對較小，均小于1%，螺旋槳壓差力驗(yàn)證水平也均在1%以內(nèi)。而對于螺旋槳水動力分量—摩擦力，由于其大小要小兩個(gè)量級左右，網(wǎng)格迭代誤差以及計(jì)算機(jī)精度等對其影響不可忽略，故其驗(yàn)證水平要高一些。

5.1.2 確認(rèn)

確認(rèn)過程需要用到模擬預(yù)報(bào)值S，若進(jìn)行了修正還需用到修正后的模擬預(yù)報(bào)值SC。同時(shí)，為了評估模擬結(jié)果有無得到確認(rèn)，需要模型測試結(jié)果D和測試不確定度UD。利用4.3節(jié)CFD確認(rèn)程序，計(jì)算得到的結(jié)果如表4所示。

表4 螺旋槳敞水水動力確認(rèn)過程（SST k-ω）Tab.4 The validation of the open-water performance of the propeller(SST k-ω)

由表中數(shù)據(jù)可知，對于推力系數(shù)KT，對比誤差＜UV，說明模擬結(jié)果得到確認(rèn)。USN＜＜UD表明 KT測試誤差是主要不確定度源之一。

對于扭矩系數(shù)KQ，對比誤差＞UV，表明模擬結(jié)果沒有得到確認(rèn)。USN＜＜UV說明網(wǎng)格分辨率已基本滿足計(jì)算要求，因此要減小UV就要減小UD。對比誤差E大于0，說明模擬預(yù)報(bào)結(jié)果偏低。E與UV同量級，因此尚不能判斷模擬預(yù)報(bào)結(jié)果偏低是模型誤差引起的還是試驗(yàn)誤差所致。

5.2 RNG k-ε湍流模型CFD不確定度分析

5.2.1 驗(yàn)證

與5.1節(jié)相類似，三套網(wǎng)格采用RNG k-ε湍流模型計(jì)算得到的推力、扭矩迭代不確定度結(jié)果如表5所示。

表5 RNG k-ε湍流模型計(jì)算迭代不確定度UI研究Tab.5 The iterating uncertainty UIcomputed by RNG k-ε turbulent model

通過與網(wǎng)格不確定度UG比較可知，迭代不確定度UI至少要小一個(gè)量級，因此可以忽略UI的影響，即USN≈UG。

采用RNG k-ε湍流模型模擬得到的三套網(wǎng)格螺旋槳推力系數(shù)KT及其分量KTf和KTp、扭矩系數(shù)KQ及其分量KQf和KQp、敞水效率η0的計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表6所示，不確定度驗(yàn)證水平如表7所示。

表6 螺旋槳敞水水動力計(jì)算與試驗(yàn)結(jié)果列表（RNG k-ε）Tab.6 The numerical results and experimental data of the open-water performance of the propeller （RNG k-ε）

表7 敞水螺旋槳水動力的驗(yàn)證（RNG k-ε）Tab.7 The verification of the open-water performance of the propeller （RNG k-ε）

由表7可知，敞水螺旋槳推力系數(shù)KT、扭矩系數(shù)10KQ及敞水效率η0呈單調(diào)收斂狀態(tài)。其中，KT未修正時(shí)，網(wǎng)格不確定度UG達(dá)到1.3%，修正后降低至0.5%；10KQ的網(wǎng)格相對不確定度相當(dāng)?shù)停?.1%的量級；對于敞水效率η0，其相對網(wǎng)格不確定度達(dá)到4%左右。而對于推力、扭矩摩擦分量，由于其量級相對比小兩個(gè)量級左右，迭代誤差以及計(jì)算機(jī)精度等對其影響不可忽略，使其收斂狀態(tài)呈發(fā)散。至于推力、扭矩壓力分量，特別是扭矩壓力分量KQp，其收斂率Rk小于0，但接近于0，表明KQp雖然呈波動收斂狀態(tài)，但其解是向解的漸進(jìn)區(qū)域靠近的。

與5.1節(jié)SST k-ω湍流模型模擬計(jì)算的驗(yàn)證水平比較可以看出，湍流模型不僅對網(wǎng)格不確定度大小有一定影響，而且對網(wǎng)格收斂狀態(tài)也有較大影響，即湍流模型與網(wǎng)格收斂性研究存在耦合。5.2.2確認(rèn)

利用4.3節(jié)確認(rèn)程序?qū)Ρ? CFD驗(yàn)證數(shù)據(jù)進(jìn)行確認(rèn)分析，結(jié)果如表8所示。可以看出，不管是推力系數(shù)KT，還是扭矩系數(shù)KQ，E均小于UV，表明模擬結(jié)果得到確認(rèn)。對于KT，未修正時(shí)，對比誤差E僅是UV的1/3，修正后EC＜＜UVC，表明提高網(wǎng)格分辨率對于改善KT預(yù)報(bào)能力是有利的，但改善幅度不大（1%的量級），因此若要降低UV就要減小試驗(yàn)的不確定度UD。對于KQ，E≈EC表明提高網(wǎng)格分辨率對于改善KQ預(yù)報(bào)精度已基本無效果。

表8 螺旋槳敞水水動力確認(rèn)過程（RNG k-ε）Tab.8 The validation of the open-water performance of the propeller(RNG k-ε)

6 結(jié) 語

本文基于ITTC推薦的CFD不確定度分析規(guī)程對庫存螺旋槳敞水水動力數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了不確定度分析，嘗試分析了SST k-ω和RNG k-ε兩種不同的湍流模型對CFD不確定度的影響。針對文中三套網(wǎng)格方案，基于文中分析結(jié)果可得：

a.湍流模型與網(wǎng)格收斂性存在交互，它不僅對網(wǎng)格不確定度大小有影響，甚至關(guān)系到網(wǎng)格收斂狀態(tài)。

b.采用文中建立的數(shù)值方法和網(wǎng)格數(shù)量計(jì)算得到的網(wǎng)格誤差遠(yuǎn)小于試驗(yàn)誤差，表明本文采用的網(wǎng)格分辨率能夠滿足敞水水動力數(shù)值計(jì)算精度要求。

c.由于螺旋槳敞水水動力摩擦分量比壓差力小兩個(gè)量級，使得迭代誤差和計(jì)算機(jī)精度等對其影響不可忽略，因此在進(jìn)行網(wǎng)格收斂性研究時(shí)網(wǎng)格不確定度較大或者呈發(fā)散狀態(tài)。

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Uncertain analysis of CFD simulation on the open-water performance of the propeller

YANG Ren-you,SHEN Hong-cui,YAO Hui-zhi

(China Ship Scientific Research Center,Wuxi 214082,China)

Using the structured-grid technology and the flow model around one blade passage,the hydrodynamic performance of the stock propeller was numerically computed with commercial RANS methods.According to the uncertainty analysis methology and procedure in CFD recommended by ITTC and the benchmark database,the numerical hydrodynamic results were verified and validated.In this paper,grid studies were conducted using three grids(m=3)with grid refinement ratio rk=,and SST k-ω and RNG k-ε turbulent models were solved respectively to analyze the turbulent-model effects on the grid-convergence characteristics.The objectives are to promote the numerical simulation levels in the practice of the open-water performance of the propeller.

propeller;open-water performance;CFD;uncertainty analysis

U661.3

A

1007-7294（2010）05-0472-09

2010-01-25

楊仁友（1980-），男，中國船舶科學(xué)研究中心博士研究生。