張 旭

天津市財(cái)貿(mào)管理干部學(xué)院，天津 300170

數(shù)學(xué)不僅有形式的優(yōu)美、雅致和協(xié)調(diào)，更存在思想方法的偉大、深邃和有力。這種理性之美是一種深層次的、本質(zhì)的、內(nèi)在的東西。它將無味的數(shù)學(xué)內(nèi)容構(gòu)成了美麗與壯觀的數(shù)學(xué)大廈，同時(shí)也蘊(yùn)含了一種哲學(xué)的美，一種樸素的美，一種理性的美。在教學(xué)中，我們可以通過講解、剖析、演示等形式，使數(shù)學(xué)的內(nèi)容活起來，動(dòng)起來，從而賦予數(shù)學(xué)內(nèi)容以美的生命、美的內(nèi)涵，使學(xué)生從對數(shù)學(xué)的顯性美提高到對隱性美的認(rèn)識(shí)，從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，進(jìn)而形成數(shù)學(xué)美感。

一、數(shù)學(xué)知識(shí)的理論美

數(shù)學(xué)的理論美主要體現(xiàn)在：數(shù)學(xué)定義的準(zhǔn)確；數(shù)學(xué)語言的精煉；數(shù)學(xué)邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)；數(shù)學(xué)方法的巧妙靈活；數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)完美；數(shù)學(xué)結(jié)論的確定無疑與無可爭辯等方面。在高等數(shù)學(xué)中，極限理論的建立把數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)推向了更高的層次。這門課程以極限思想為靈魂，以微積分為核心，包括級(jí)數(shù)在內(nèi)，都是從量的方面研究事物運(yùn)動(dòng)變化的數(shù)學(xué)方法。本質(zhì)上這是幾種不同性質(zhì)的極限問題，如連續(xù)性是自變量增量趨于零時(shí)，函數(shù)對應(yīng)增量的極限；導(dǎo)數(shù)是自變量增量趨于零時(shí)，函數(shù)的增量（偏增量）與自變量增量之比的極限；一元或多元積分都是和式的極限，而無窮級(jí)數(shù)則是密切聯(lián)系序列極限的另一種極限。微分是從微觀上揭示函數(shù)的有關(guān)局部性質(zhì)，積分則從宏觀上揭示函數(shù)有關(guān)的整體性質(zhì)，它們之間通過微積分基本定理聯(lián)系起來；廣義積分把無窮級(jí)數(shù)與積分的內(nèi)部溝通起來；而微分方程又從方程的角度把函數(shù)、微分、積分有機(jī)地聯(lián)系起來，展示了它們之間的內(nèi)在的依賴轉(zhuǎn)化關(guān)系。所以完全可以說，極限貫穿高等數(shù)學(xué)的始終，沒有極限，就沒有高等數(shù)學(xué)。這種理論美令人嘆服，使我們在美的享受中加深了對數(shù)學(xué)理論的理解。

二、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的簡潔美

簡潔美在數(shù)學(xué)中除了反映在一些極為簡潔的數(shù)學(xué)符號(hào)及表達(dá)式以外，還反映在邏輯結(jié)構(gòu)上，如對公理體系的要求必須具備相容、獨(dú)立和完備，從為數(shù)甚少的基本概念和公理出發(fā)，推演出龐大的理論體系。數(shù)學(xué)家們通過實(shí)踐也證明了數(shù)學(xué)的簡潔性與嚴(yán)格性不可能產(chǎn)生矛盾。正如愛因斯坦所說的“我們面對的這個(gè)世界，可以由音樂的符號(hào)組成，也可以由數(shù)學(xué)公式組成?！北热鐢?shù)列極限的ε-N定義：對?ε>0，?n>0，當(dāng) n>N 時(shí)，<ε，也可以從以下幾個(gè)角度體現(xiàn)：當(dāng)n無限增大時(shí)，xn趨近于定數(shù)xn的實(shí)質(zhì)，

?只要n充分大，點(diǎn)xn與點(diǎn)xn就可以任意接近；

?只要n充分大，點(diǎn)xn與點(diǎn)xn的距離就可以任意?。?/p>

?任意給定ε>0，存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，<ε；

因此，數(shù)學(xué)的簡單美既是數(shù)學(xué)發(fā)展的出發(fā)點(diǎn)，也是最終的目標(biāo)。

三、數(shù)學(xué)內(nèi)容的和諧美

高等數(shù)學(xué)中定義和定理以及數(shù)、式、形之間，各個(gè)知識(shí)塊既相互獨(dú)立、自成體系，又依一定的邏輯關(guān)系相互貫通、相互派生，表現(xiàn)為高度的和諧統(tǒng)一。和諧美貫穿于高等數(shù)學(xué)這個(gè)龐大的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)。例如，函數(shù)與極限是貫穿高等數(shù)學(xué)的兩個(gè)最基本的概念，函數(shù)是微分學(xué)研究的對象，而微積分的定義就是極限概念及其推論，它們之間體現(xiàn)了知識(shí)的聯(lián)結(jié)美。又例如微分中值定理，其本質(zhì)是閉區(qū)間上函數(shù)的增量與這區(qū)間上某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，它是微分理論中的重要組成部分，也是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的橋梁。其中羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情況，柯西中值定理又是拉格朗日中值定理的推廣，并且泰勒定理是拉格朗日中值定理向高階導(dǎo)數(shù)情況下的推廣和應(yīng)用，它是更一般的微分中值定理形式。它們充分表達(dá)了定理之間的和諧與統(tǒng)一。再例如，多元微積分學(xué)中的格林、高斯、斯托克斯三個(gè)公式，就其公式本身也呈現(xiàn)出形式美，結(jié)構(gòu)美，更蘊(yùn)藏著高度的和諧性。格林公式建立了平面閉區(qū)域上的二重積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系；高斯公式建立了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系；斯托克斯公式則建立了曲面∑上的曲面積分與沿著∑的邊界曲線的曲線積分之間的關(guān)系。這三個(gè)公式既有聯(lián)系又有區(qū)別，三個(gè)公式在向量場中都有重要而實(shí)際的應(yīng)用美。斯托克斯公式是格林公式的推廣，而它們又同時(shí)都是牛頓一萊布尼茲公式f（x）dx=F（b）-F（a）的推廣和直接應(yīng)用。這些和諧的公式給我們清新的感覺，這種感覺是比自然美更高層次的數(shù)學(xué)美，而只有掌握數(shù)學(xué)內(nèi)在聯(lián)系的人，才能體驗(yàn)到這種數(shù)學(xué)美。

四、數(shù)學(xué)規(guī)律的魅力美

數(shù)學(xué)中的許多性質(zhì)、定理及結(jié)論極具魅力，它們在排列結(jié)構(gòu)上工整有序，內(nèi)容深刻獨(dú)到，許多潛在規(guī)律也奇異迷人，令人稱絕。例如多元函數(shù) z＝f（u，v），u＝φ（x，y），v＝φ（x，y），用美麗的樹形圖能揭示函數(shù)的復(fù)合關(guān)系和鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則的具體形式之間的聯(lián)系，讓我們一目了然。根據(jù)樹形圖，我們用簡潔的文字?jǐn)⑹鲦準(zhǔn)角髮?dǎo)公式，即“枝枝依次求導(dǎo)，每枝導(dǎo)數(shù)連乘，枝枝之間相加”。我們抓住這個(gè)由基本形式得出的規(guī)律，可以推廣到任何一種復(fù)合情形下的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)公式，這是由形式美上升到感性美和理性美的和諧統(tǒng)一。

五、數(shù)學(xué)知識(shí)的歸納總結(jié)美

在數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，歸納總結(jié)是必不可少也是極其重要的一個(gè)過程，將離散的問題系統(tǒng)化、規(guī)律化，不僅可以有效地將一些知識(shí)點(diǎn)串接起來，而且使之具有了整體美和清晰感。

1.比如：在講完一元函數(shù)的微分概念后，我們可以將極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微等相關(guān)概念之間的關(guān)系歸納總結(jié)如下：

在一元函數(shù)中可微與可導(dǎo)等價(jià)：可導(dǎo)?連續(xù)?極限存在?左極限＝右極限，反過來，若左極限＝右極限?極限存在，若又有左極限＝右極限＝函數(shù)值?函數(shù)在該點(diǎn)處連續(xù)。

2.我們?nèi)裟軓臄?shù)學(xué)美的角度把教材固有的客觀規(guī)律，歸納整理為系統(tǒng)的圖表，便能很自然地反映教材相關(guān)內(nèi)容間的客觀聯(lián)系，幫助學(xué)生加深理解，靈活運(yùn)用。比如多元函數(shù)的積分，種類繁多，解法各異，但聯(lián)系密切。借助于數(shù)學(xué)間的和諧統(tǒng)一，可畫出七種積分間的關(guān)系圖，各種不同類型積分間的相互關(guān)系，如圖1所示。

這種歸納總結(jié)美幫助我們把知識(shí)系統(tǒng)化、條理化。正如大數(shù)學(xué)家希爾伯特所述，在作為整體的數(shù)學(xué)中，使用著相同的邏輯工具，存在著概念間的親緣關(guān)系。同時(shí)在它的不同部分之間，也有大量的相似之處。我們還注意到，數(shù)學(xué)理論越是向前發(fā)展，它的結(jié)構(gòu)就變得越加調(diào)和一致，并且這門科學(xué)一向相互隔絕的分支之間也會(huì)顯露出原先想不到的關(guān)系。因此隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，它的有機(jī)的特性不會(huì)喪失，只會(huì)更清楚地表現(xiàn)出來。

六、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的辯證統(tǒng)一美

數(shù)學(xué)中充滿著辯證法，它在為人們展示著富有哲理的思維美的同時(shí)，也為辯證法的普遍性提供了大量生動(dòng)的例子。統(tǒng)一性是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)美的重要標(biāo)志，一些表面看來不相同的概念定理、法則，在一定條件下可以處于一個(gè)統(tǒng)一體中。

1.直與曲

直與曲是兩個(gè)完全不同的數(shù)學(xué)概念。從直觀形象看，前者平直后者彎曲；從幾何特性來看，前者曲率為0，后者曲率不恒為0；從代數(shù)表達(dá)式來看，前者是線性方程，后者是非線性方程。因此，直與曲的差別是明顯的，人們面對“直”與“曲”這樣一對矛盾，在形而上學(xué)看來，曲就是曲，直就是直，非此即彼；而辯證唯物主義則認(rèn)為，在一定條件下曲與直是可以相互轉(zhuǎn)化的，正如恩格斯所說：“高等數(shù)學(xué)的主要基礎(chǔ)之一是這樣一個(gè)矛盾，在一定條件下直線和曲線是一回事?！备叩葦?shù)學(xué)正是利用直與曲以及其它一些矛盾的轉(zhuǎn)化達(dá)到了初等數(shù)學(xué)所不能達(dá)到的目的。

在高等數(shù)學(xué)中，利用直與曲的這種中介狀態(tài)，實(shí)現(xiàn)局部范圍內(nèi)的“以直代曲”，這是一種基本的辯證思想方法。例如，在求由曲線y=x2及直線x=0，x=1，y=0所圍成的曲邊梯形所圍面積時(shí)，人們將“以直代曲”的樸素辯證法作為計(jì)算的指導(dǎo)思想，把一小段曲線近似地視為直線，從而可將小曲邊梯形看作是小矩形，將曲邊梯形的面積看作是n個(gè)小矩形的面積和，這樣就得到了曲邊梯形面積近似和顯然，只有當(dāng)曲線非常短時(shí)，才能將其視為直線，而這只需要將大曲邊梯形化成多個(gè)小曲邊梯形，即只要小曲邊梯形的個(gè)數(shù)n→∞，就可保證上述推理成功。于是，Sn=

將“以直代曲”的樸素辯證唯物主義思想用于一般推理，人們建立了定積分的概念，即：再如， 導(dǎo)數(shù)的概念 f′（x是由極限給出的，而且是未定型的極限，于是由極限可以求導(dǎo)數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)也可以求極限，L′Hospital法則正是這種思想的具體體現(xiàn)。

2.有限與無限

從有限發(fā)展到無限，是認(rèn)識(shí)上的一次重大飛躍。有限與無限之間存在著質(zhì)的差異，在高等數(shù)學(xué)中，我們一方面可以通過有限來認(rèn)識(shí)無限，另一方面，我們還可以通過無限來表示有限，從而實(shí)現(xiàn)有限與無限的相互轉(zhuǎn)化。

例如，無理數(shù)之間聯(lián)系很緊密，但是無理數(shù)與有理數(shù)之間也有一座美麗的橋梁—級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)讓無窮歸為有限，凌亂歸為整齊，有著豐富深刻的思想內(nèi)涵，又有和諧簡潔和對稱美的形式。無論是泰勒級(jí)數(shù)還是傅立葉級(jí)數(shù)它們都營造了一種“此中有真意，欲辯已忘言”的意境，給人的理智以極大的美感享受。

取得項(xiàng)數(shù)越多，得到的π和e越精確。這種數(shù)學(xué)現(xiàn)象確實(shí)透露出一種綿長的詩的意象，因此級(jí)數(shù)又被冠以美譽(yù)—“數(shù)學(xué)詩”。

數(shù)學(xué)的魅力不僅在于形式的簡潔、和諧與優(yōu)美，更在于以嚴(yán)密的結(jié)構(gòu)和邏輯推理揭示出廣袤的自然規(guī)律的真實(shí)圖景。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的這種內(nèi)在美，來自各部分的和諧秩序，并能為純粹的理智所領(lǐng)會(huì)，可以說，正是這種內(nèi)在美給了滿足我們感官的五彩繽紛的美景的骨架，使我們面對一個(gè)秩序井然的整體，能夠預(yù)見數(shù)學(xué)定理。這種理念美完全要靠數(shù)學(xué)美的自身魅力去喚起，在教學(xué)中，我們要深入挖掘和呈現(xiàn)這些隱藏在背后的美學(xué)思想、美學(xué)價(jià)值、美學(xué)功能，從而培育學(xué)生的審美思維方法和美學(xué)觀念。

［1］吳振奎.數(shù)學(xué)中的美［M］.上海：上海教育出版社，2004.

［2］張順燕.數(shù)學(xué)的美與理［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2004.

［3］同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2005.

［4］易南軒.數(shù)學(xué)美拾?。跰］.北京：科學(xué)出版社，2002.

［5］沈世云，鄭繼明.淺析《高等數(shù)學(xué)》中的美學(xué)思想［J］.重慶郵電學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，（6）：2—3.