董志芳

(東南大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院,江蘇南京 210096)

信號(hào)的相關(guān)運(yùn)算是信息處理中非常重要的一種運(yùn)算,特別是自相關(guān)函數(shù),它是平穩(wěn)隨機(jī)過程的一個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)特性,且與隨機(jī)過程的功率譜有著密切的關(guān)系。但從一維信號(hào)的相關(guān)運(yùn)算來理解其物理含義比較晦澀難懂。本文利用相關(guān)運(yùn)算在圖像配準(zhǔn)中的應(yīng)用,從另外一個(gè)角度理解相關(guān)運(yùn)算的物理含義,這樣能夠提高教學(xué)效果,易于初學(xué)者理解。

1 信號(hào)的相關(guān)

信號(hào)的相關(guān)函數(shù)描述了兩個(gè)信號(hào)或一個(gè)信號(hào)本身不同時(shí)刻的相關(guān)程度,可以揭示信號(hào)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),具體內(nèi)容參見文獻(xiàn)[1]。特別是自相關(guān)函數(shù),它是平穩(wěn)隨機(jī)過程的一個(gè)非常重要的統(tǒng)計(jì)量,在討論隨機(jī)信號(hào)時(shí)十分有用。

兩個(gè)一維時(shí)間實(shí)函數(shù) x(t)與y(t)的相關(guān)運(yùn)算是由下面的積分所定義,即

式中,相關(guān)運(yùn)算所得的結(jié)果Rxy(t)稱為x(t)與y(t)互相關(guān)函數(shù),而Ryx(t)則叫做y(t)與 x(t)的互相關(guān)函數(shù)。如果進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算的是同一時(shí)間信號(hào),則稱為自相關(guān)函數(shù)Rxx(t)。

從一維信號(hào)去理解相關(guān)描述信號(hào)的相似程度,學(xué)生感到比較抽象。但如果換個(gè)角度,用圖像的相關(guān)來說明就非常生動(dòng)形象,而且便于掌握,還為以后利用相關(guān)理論處理更復(fù)雜的信號(hào)奠定基礎(chǔ)。

2 圖像的相關(guān)

與一維信號(hào)的相關(guān)運(yùn)算類似,兩個(gè)二維圖像f(x,y),h(x,y)相關(guān)運(yùn)算(圖像相關(guān)的詳細(xì)內(nèi)容可參見文獻(xiàn)[2])定義為

其中 f＊表示 f的共軛。

圖像相關(guān)最直接的應(yīng)用就是圖像的配準(zhǔn)。所謂圖像的配準(zhǔn)簡(jiǎn)單的講就是在一幅圖像 f(x,y)中找到感興趣的物品h(x,y)(稱為模板)。與一維信號(hào)類似,對(duì)于二維圖像,相關(guān)運(yùn)算也同樣表示兩幅圖像的相似程度,因此可以用圖像的相關(guān)函數(shù)作為衡量模板與圖像中物品相似度的目標(biāo)函數(shù)。讓 f(x,y)和h(x,y)作相關(guān)運(yùn)算,如果匹配發(fā)生在相應(yīng)的點(diǎn)上,則此點(diǎn)的相關(guān)函數(shù)出現(xiàn)最大值。

3 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果

為了用圖像形象地說明相關(guān)函數(shù)是衡量信號(hào)相似度的物理含義,這里用兩幅背景全黑的二值圖像進(jìn)行配準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)。一幅如圖1(a)所示圖像 f(x,y)包含三個(gè)字母“GTF”,另一幅為模板圖像h(x,y)包含字母“T”,如圖1(b)所示。配準(zhǔn)就是找到模板字母“T”在f(x,y)中的位置。相關(guān)函數(shù)出現(xiàn)最大值處則認(rèn)為是最佳匹配點(diǎn)。

本實(shí)驗(yàn)在Matlab平臺(tái)上進(jìn)行,具體的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1所示。圖1(c)是相關(guān)函數(shù)二維圖像表示;圖1(d)是相關(guān)函數(shù)的三維視圖,很容易找到相關(guān)函數(shù)最大值點(diǎn)的位置;圖1(e)則是相關(guān)函數(shù)最大值所在行的的剖面圖;圖1(f)則是將原圖像圖1(a)根據(jù)配準(zhǔn)的位置減去模板圖像圖1(b)得到的。

如圖1(d)所示,從相關(guān)函數(shù)的三維視圖可以看到模板和原圖像在某一點(diǎn)的相關(guān)函數(shù)具有極大值,這一點(diǎn)就認(rèn)為是最佳匹配點(diǎn),即模板在這點(diǎn)和原圖像的物品具有最大的相似度。相關(guān)函數(shù)還可以進(jìn)一步從圖1(e)所示的二維剖面圖看清楚。為了更清楚地驗(yàn)證配準(zhǔn)的結(jié)果,將原圖象在配準(zhǔn)位置減去模板圖像。理論上,如果配準(zhǔn)的結(jié)果好,相減的圖像在字母“T”的位置處,應(yīng)該只剩下背景。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1(f)所示,原圖像中字母“T”完全被減后,只剩下背景?？梢娕錅?zhǔn)結(jié)果十分精確,與理論結(jié)果相符。

圖1 用相關(guān)運(yùn)算進(jìn)行圖像的配準(zhǔn)

4 結(jié)語

從一維信號(hào)的相關(guān)運(yùn)算理解其物理含義對(duì)于初學(xué)者而言有些晦澀難懂,但從上面的圖像配準(zhǔn)的例子,可以很容易理解相關(guān)表示信號(hào)相似程度的物理概念。在信息處理課程的教學(xué)中,都會(huì)遇到很多類似的問題:一個(gè)理論在某個(gè)方面的應(yīng)用雖然非常廣泛,但對(duì)于剛接觸的學(xué)生而言卻十分抽象,難以消化;而當(dāng)換個(gè)角度說明,或則換個(gè)應(yīng)用方向的例子,哪怕只是簡(jiǎn)單的,卻也可能地獲得出人意料的效果。

本文利用圖像的相關(guān)在一幅圖像中尋找模板圖像的位置,當(dāng)相關(guān)函數(shù)達(dá)到最大時(shí),即認(rèn)為找到兩幅圖像的最值配準(zhǔn)位置。通過這種圖像配準(zhǔn)的應(yīng)用,相關(guān)運(yùn)算的物理含義十分生動(dòng),便于學(xué)生掌握。

[1] 管致中,夏恭恪,孟橋,信號(hào)與線性系統(tǒng),第四版[M].北京:高等教育出版社,2004

[2] 岡薩雷斯,數(shù)字圖象處理,第二版[M].北京:電子工業(yè)出版社,2007