第一試

一、填空題(每小題8分，共8小題，滿分64分)

4.在△ABC 中，a，b，c是角 A，B，C 的對(duì)邊，且滿足 a2+b2=2c2，則角 C的最大值是_______.

5.設(shè)2 000=2a1+2a2+… +2an，其中a1，a2，…，an是兩兩不等的非負(fù)整數(shù)，則a1+a2+… +an= _______.

7.已知△ABC 的3條邊長(zhǎng)分別為13，14，15.有4個(gè)半徑同為r的圓O，O1，O2，O3放在△ABC 內(nèi)，并且圓O1與邊AB，AC相切，圓 O2與邊 BA，BC相切，圓 O3與邊 CB，CA相切，圓 O與圓 O1，O2，O3相切，則 r=_______.

8.設(shè)ABCDEF為正六邊形，一只青蛙開始在頂點(diǎn)A處，它每次可以隨意地跳動(dòng)到相鄰兩點(diǎn)之一，若在5次之內(nèi)跳到點(diǎn)D，則停止跳動(dòng);若在5次之內(nèi)不能跳到點(diǎn)D，則跳完5次也停止跳動(dòng)，那么這只青蛙從開始到停止，可能出現(xiàn)的不同跳法共有_______種.

二、解答題(每小題12分，共3小題，滿分36分)

{x|f15(x)=x，x∈［0，1］}中至少含有9 個(gè)元素.

參考答案

10.解 設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線 AB 的方程為y=kx+m.因?yàn)辄c(diǎn)A既在橢圓上，又在直線AB上，所以

將式(1)代入式(2)，得

由直線與橢圓相切，可得

同理，由點(diǎn)B既在圓上又在直線AB上，可得

顯然，λ為與a有關(guān)的常數(shù).

第二試

一、在△ABC中，D，E，F(xiàn)和X，Y，Z分別為邊 BC，CA，AB上的中點(diǎn)和高的垂足，ZD 與 FX交于點(diǎn) L，ZE與FY交于點(diǎn)M，DY與XE交于點(diǎn)N，求證：點(diǎn)L，M，N都在△ABC的歐拉線上(即三角形外心和垂心的連線上).

三、試確定所有的正整數(shù)組(x，y，z)，使得 x3-y3=z2，其中 y 是質(zhì)數(shù)，y|/z，3|/z.

四、設(shè)M是平面上n個(gè)點(diǎn)組成的集合，滿足：

(1)M中存在7個(gè)點(diǎn)是一個(gè)凸七邊形的7個(gè)頂點(diǎn);

(2)對(duì)M中任意5個(gè)點(diǎn)，若這5個(gè)點(diǎn)是一個(gè)凸五邊形的5個(gè)頂點(diǎn)，則此凸五邊形內(nèi)部至少含有M中的一個(gè)點(diǎn).

求n的最小值.

參考答案

一、證明 設(shè)點(diǎn)O，H分別為△ABC的外心和垂心，下面證明點(diǎn)L在OH上.設(shè)△ABC的外接圓半徑為 R，直線ZC，F(xiàn)X 交于點(diǎn)P，連結(jié) OF，HL，OL.由 OF⊥AB，PZ⊥AB，得

由點(diǎn)F為Rt△AXB斜邊AB上的中點(diǎn)，得FX=FB，

而點(diǎn)F，L，P共線，故點(diǎn)O，L，H共線，即點(diǎn) L在 OH上.同理可證點(diǎn)M，N也在OH上.

二、解 由題設(shè)顯然有f(n)≥2.將f(n+1)=［f(n)］2-f(n)+1變形為下面用數(shù)學(xué)歸納法證明式(8)對(duì)n≥2的一切整數(shù)都成立.

顯然式(8)成立.假設(shè)當(dāng)n=m時(shí)，式(8)成立.則當(dāng)n=m+1時(shí)，有

f(m+2)=f(m+1)［f(m+1)-1］+1.(9)由歸納假設(shè)得

因?yàn)閒(m+1)是正整數(shù)，所以

由式(9)，式(10)，得

于是由式(11)，式(12)知，式(8)對(duì) n=m+1成立.因此式(8)對(duì)任意正整數(shù)n≥2都成立.故所證不等式成立.

三、解 由題意，得

綜上所述，滿足條件的正整數(shù)組是唯一的，即(8，7，13).

四、解 先證：n≥11.

設(shè)頂點(diǎn)在M中的一個(gè)凸七邊形為A1A2A3A4A5A6A7，連結(jié) A1A5.由條件(1)知，在凸五邊形A1A2A3A4A5中至少有M中的一個(gè)點(diǎn)，記為P1.連結(jié) P1A1，P1A5，則在凸五邊形 A1P1A5A6A7內(nèi)至少有M中的一個(gè)點(diǎn)，記為 P2(異于P1)，連結(jié)P1P2.由抽屜原理知，在直線P1P2的某一側(cè)必有3個(gè)頂點(diǎn)，這3個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)P1，P2構(gòu)成的凸五邊形內(nèi)，至少含有M中的一個(gè)點(diǎn)P3.

127域(不妨設(shè)為π3)中，這3個(gè)點(diǎn)與P1，P2構(gòu)成一個(gè)頂點(diǎn)在M中的凸五邊形，故其內(nèi)部至少含M中的一個(gè)點(diǎn)P4，因此n≥11.

下面構(gòu)造一個(gè)例子說(shuō)明n=11是可取的.如圖1所示，凸七邊形A1A2A3A4A5A6A7為一整點(diǎn)七邊形，其內(nèi)部有4個(gè)整點(diǎn)，則條件(1)顯然滿足.這個(gè)點(diǎn)集M也滿足條件(2).證明如下，用反證法.

圖1

綜上所述，n的最小值為11.