詹 森，王輝豐

（1.廣東技術(shù)師范學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)系，廣東 廣州 510665；2.海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南 海口 571158）

構(gòu)造鑲邊幻方的代碼法

詹 森1，王輝豐2

（1.廣東技術(shù)師范學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)系，廣東 廣州 510665；2.海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南 ?？?571158）

給出構(gòu)造n=2m+1（m=2，3，…）階雙對(duì)稱鑲邊幻方的代碼法及其證明，給出構(gòu)造n= 4m+3（m=1，2，…）階奇偶鑲邊幻方的代碼法.

雙對(duì)稱；鑲邊幻方；奇偶鑲邊幻方；代碼法

我們已研究了利用已知的較低階幻方來(lái)構(gòu)造高階幻方［1］的方法，也研究了不需要利用已知幻方而直接構(gòu)造奇數(shù)高階幻方［2-3］的方法，文[4]的鑲邊法是先構(gòu)造一個(gè)n-2階幻方，在其中每個(gè)方格的數(shù)上加同一個(gè)整數(shù)，然后在它四周鑲上一條邊，安裝入余下來(lái)的數(shù)字使之成為一個(gè)n階幻方.這種鑲邊法往往是從已知的、比較容易構(gòu)造的幻方入手.這里，我們提出一種直接構(gòu)造鑲邊幻方的新方法.在討論新的鑲邊法之前，介紹幾個(gè)有關(guān)概念如下：

定義1 若一個(gè)n=2m+1（m=2，3，…）階幻方具有以下特性：

則把以上的n=2m+1（m=2，3，…）階幻方定義為雙對(duì)稱鑲邊幻方.m-2個(gè)同心子幻方是雙對(duì)稱鑲邊子幻方.這里采用雙對(duì)稱鑲邊幻方是避免與對(duì)稱幻方混淆.

顯然，如果若干個(gè)自然數(shù)其代碼之和為零，則表示它們的平均數(shù)等于中位數(shù)；兩個(gè)自然數(shù)其代碼之和為零，就表示它們之和為n2+1，稱它們是互為補(bǔ)數(shù).

定義2 若一個(gè)n=4m+3（m=1，2，…）階幻方除具有雙對(duì)稱鑲邊幻方的全部特性外，其全部奇數(shù)都集中于方陣中央的菱形中，而偶數(shù)則位于菱形外的四個(gè)角.幻方中包含2m個(gè)同心的子幻方，其中2m-1個(gè)是同心雙對(duì)稱鑲邊子幻方（是非正規(guī)幻方）.則具有這樣特性的n=4m+3（m=1，2，…）階幻方定義為奇偶鑲邊幻方［4］.

對(duì)1～n2中的奇數(shù)進(jìn)行編碼，把中位數(shù)=（n2+1）的代碼規(guī)定為0；把奇數(shù)-x+2k，x+2（-k）（k=1，2，…，（n2-1））代碼分別規(guī)定為k，-k.

對(duì)1～n2中的偶數(shù)進(jìn)行編碼，把偶數(shù)+（2k-1），-（2k-1）=-x+2（-k）+1（k=1，2，…，（n2-1））的代碼分別規(guī)定為粗體數(shù)字 k，-k，與以上奇數(shù)代碼區(qū)別.

顯然，相同數(shù)目（t）符號(hào)相反的偶數(shù)代碼（共有2t個(gè)）其和為零，就表示它們所表示的偶數(shù)的平均數(shù)等于中位數(shù).兩個(gè)偶數(shù)其代碼之和為零，就表示它們之和為n2+1，稱它們是互為補(bǔ)數(shù).兩個(gè)符號(hào)相反的偶數(shù)代碼之和為r，分別記它們?yōu)閗1，r-k1，當(dāng)前者為負(fù)后者為正時(shí)，它們所表示的偶數(shù)分別為+2（k1）+1與+2（r-k1）-1兩個(gè)偶數(shù)之和為+2r.當(dāng)前者為正后者為負(fù)時(shí)，結(jié)果相同.同理，相同數(shù)目（t）符號(hào)相反的偶數(shù)代碼（共有2 t個(gè)）其和為r，它們所表示的偶數(shù)之和就是2 t+2 r.

以代碼為元素的方陣稱為代碼方陣，簡(jiǎn)稱代方陣，其元素簡(jiǎn)稱為代元.

1 n=2m+1（m=2，3，…）階雙對(duì)稱鑲邊幻方的構(gòu)造方法

第一步 設(shè)待安裝的n=2m+1（m=2，3，…）階方陣為A，以a（i，j）（i，j=1，2，…，n）表示A的位于第i行，第j列的元素，按以下規(guī)則由中心向外即按k由小到大的順序安裝方陣A的各個(gè)元素：

a（m+1，m+1）=0；

第m+1-k（k=1，2，…，m）列a（m+1-k+ h，m+1-k）=（2k2+k）-h（h=0，1，…，k-1）；a（m+1，m+1-k）=-2k2；a（m+1+k-h，m+ 1-k）=-（（2k2-k）-h）（h=0，1，…，k-1）；

第m+1-k（k=1，2，…，m）行a（m+1-k，m+1-h）=-（（2k2+2k）-h）（h=0，1，…，k-1）；a（m+1-k，m+1-k）=2k2+k；a（m+1-k，m+1+h）=2k2-h（h=1，2，…，k）.

此時(shí)，只是安裝了方陣A左上角（由左下角至右上角對(duì)角線以及其上方）的元素，接著，在雙對(duì)稱的位置上安裝相應(yīng)的互補(bǔ)數(shù)，就得以代碼為元素的代方陣A.代方陣A以及其任一個(gè)以0為中心的子方陣，它們的每行、每列和兩條對(duì)角線上的代碼之和都等于0，且具有雙對(duì)稱性.

第二步 把代方陣A中的代碼換成其所表示的自然數(shù)，得到一個(gè)新的n=2m+1（m=2，3，…）階方陣就是所求的雙對(duì)稱鑲邊幻方（見定理的證明）.按以上步驟安裝幻方的方法稱為代碼法.

定理 由代碼法得出的方陣是一個(gè)n=2m+ 1（m=2，3，…）階雙對(duì)稱鑲邊幻方.

證明 在代方陣A的以0為中心的任一個(gè)2k+ 1（k=1，2，…，m）階子方陣左上角（由左下角至右上角對(duì)角線以及其上方）中，代方陣A的第m+1-k（k=1，2，…，m）列元素之和為

注記 我們的代碼法亦可用于文[4]已有的鑲邊法中的鑲邊.

2 n=4m+3（m=1，2，…）階奇偶鑲邊幻方的構(gòu)造方法

設(shè)待安裝的n=4m+3（m=1，2，…）階方陣為A，以a（i，j）（i，j=1，2，…，n）表示A的位于第i行，第j列的元素.方陣A中央的菱形中所包含的最大方陣是2m+1階以奇數(shù)代碼為元素的方陣，我們稱為待安裝方陣 的2m+1階基方陣.而低于 2m+1（m≠1）階方陣是幻方常數(shù)為零的雙對(duì)稱鑲邊子幻方（是非正規(guī)幻方）；特別是，當(dāng)m= 1時(shí)，方陣是一個(gè)幻方常數(shù)為零的雙對(duì)稱的子幻方（是非正規(guī)幻方）.

第一步 奇數(shù)代碼的安裝.

a（2m+2-k+h，2m+2-k）=

（2k2+k）-h（h=0，1，…，k-1），

a（2m+2，2m+2-k）=-2k2，

a（2m+2+k-h，2m+2-k）=

-（（2k2-k）-h）（h=0，1，…，k-1）.

代方陣A的第2m+2-k（k=1，2，…，m）行，可取

a（2m+2-k，2m+2-h）=

-（（2k2+2k）-h）（h=0，1，…，k-1），

a（2m+2-k，2m+2-k）=2k2+k，

a（2m+2-k，2m+2+h）=

2k2-h（k=1，2，…，k）.

第二步 偶數(shù)代碼的安裝.

首先，安裝菱形外對(duì)角線上的偶數(shù)代碼，再安裝第一列的偶數(shù)代碼，最后，安裝其他位置上的偶數(shù)代碼.在這個(gè)過(guò)程中，按我們的雙對(duì)稱規(guī)則在雙對(duì)稱的位置上安裝相應(yīng)的互補(bǔ)數(shù).

若某行奇數(shù)代碼之和為正數(shù)2r，則同一行左側(cè)對(duì)角線上偶數(shù)的代碼取為-（r+1），右側(cè)對(duì)角線上偶數(shù)的代碼取為-r.若該行有t個(gè)奇數(shù)代碼，則它們所表示的奇數(shù)之和為+2（2r），而同一行中對(duì)角線上兩個(gè)偶數(shù)代碼所表示的偶數(shù)之和為

所以，它們所表示的t個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)的平均數(shù)等于中位數(shù).接著，在雙對(duì)稱的位置上安裝相應(yīng)的互補(bǔ)數(shù)，至此，已安裝了菱形外全部對(duì)角線上的偶數(shù)代碼.

2）安裝第一列的偶數(shù)代碼.

因?yàn)槿（1，2m+2）=2（2m+1）（m+1），第一行只有這一個(gè)元素是奇數(shù)代碼，按以上安裝菱形外基方陣上方位于對(duì)角線上的偶數(shù)代碼的規(guī)則，有

a（1，1）=-（（2m+1）（m+1）+1），

a（1，n）=-（2m+1）（m+1），

所以，對(duì)于第一列，我們已有奇數(shù)代碼a（2m+ 2，1）=2（2m+1）（m+1）-1，偶數(shù)代碼a（1，1）= -（（2m+1）（m+1）+1）及由雙對(duì)稱規(guī)則得到的偶數(shù)代碼a（n，1）=（2m+1）（m+1），其所表示的奇數(shù)是

偶數(shù)是

所以，安裝第一列其他4m個(gè)偶數(shù)代碼時(shí)要有2m個(gè)偶數(shù)代碼是正的，另外2m個(gè)偶數(shù)代碼是負(fù)的，且這些偶數(shù)代碼的和為-（2（2m+1）（m+1）-2）.第一列4m+3個(gè)代碼所表示的一個(gè)奇數(shù)和4m+2個(gè)偶數(shù)的平均數(shù)等于中位數(shù).這些偶數(shù)代碼是從安裝于菱形外全部對(duì)角線上的偶數(shù)代碼后剩余下的偶數(shù)代碼中選取的.

3）安裝第2列至第m+1列的代碼.

若代方陣A的第s（s=2，3，…，m+1）行位于對(duì)角線上的兩個(gè)偶數(shù)代碼是-（r+1）和-r，則第s（s= 2，3，…，m+1）列位于對(duì)角線上的兩個(gè)偶數(shù)代碼是-（r+1）和r，其所表示的偶數(shù)分別是-x+2（-（r+ 1））+1=-2r-1和-x+2r-1，它們的和為2-x-2.又由奇數(shù)的安裝知，該列奇數(shù)代碼的和為1，若該列有t個(gè)奇數(shù)代碼，該列奇數(shù)代碼所表示的奇數(shù)之和是t-x+2，所以，這些奇數(shù)和同一列對(duì)角線上兩個(gè)偶數(shù)的平均數(shù)等于中位數(shù).所以，上下兩對(duì)角線之間菱形之外偶數(shù)代碼（顯然，每行都有偶數(shù)個(gè)）的安裝，只要符號(hào)相反的偶數(shù)代碼個(gè)數(shù)相同且這些偶數(shù)代碼的和為0即可，而這是很容易做到的.當(dāng)這一步結(jié)束后，基方陣外左方位于兩條對(duì)角線中間（包括對(duì)角線）各列代碼所表示的奇偶數(shù)的平均數(shù)都等于中位數(shù).接著，按我們的雙對(duì)稱規(guī)則在基方陣外右方雙對(duì)稱的位置上安裝相應(yīng)的互補(bǔ)數(shù).

第三步 將上述代方陣A中的代碼換成其所表示的奇偶數(shù)，得到新的n=4m+3（m=1，2，…）階方陣就是所求的奇偶鑲邊幻方.

由于整個(gè)安裝過(guò)程是在保證待安裝的方陣以及其任一個(gè)同心的子方陣都是幻方的前提下，并按雙對(duì)稱規(guī)則進(jìn)行的，所以，當(dāng)代方陣A安裝代碼結(jié)束并把代碼換成其所表示的奇偶數(shù)后，顯然整個(gè)方陣以及其任一個(gè)同心的子方陣都是幻方，且具有我們所要求的特性.即這樣的方陣是奇偶鑲邊幻方.

在用代碼法構(gòu)造幻方的每一環(huán)節(jié)，我們都已經(jīng)同時(shí)給出論證，按我們的安裝規(guī)則所得到的必定是奇偶鑲邊幻方.但奇偶數(shù)代碼的選擇、安裝具有很大的隨意性，及任意以對(duì)角線元素為端點(diǎn)的兩雙對(duì)稱行（或列）的互換并不導(dǎo)致任何特性的改變，所以，利用這個(gè)方法可得出許多不同的奇偶鑲邊幻方.

由于奇偶鑲邊幻方自10世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家Alib Almad Al-Antaki［4］構(gòu)造出11階奇偶鑲邊幻方以來(lái)，至今未見有人給出此類幻方的構(gòu)造方法，可見問(wèn)題有相當(dāng)?shù)碾y度.為了讀者更好理解以上提出的代碼法，這里介紹一個(gè)15階奇偶鑲邊幻方.為了避免贅述起見，主要給出基方陣的構(gòu)造過(guò)程以及代方陣A，奇偶鑲邊幻方.

圖1 7階基方陣Fig.1 7-order Basic matrix square

將代方陣A中的代元全部換為相應(yīng)的奇偶數(shù)（略），就得到15階奇偶鑲邊幻方A（見圖3）.

［1］詹森，王輝豐.關(guān)于構(gòu)造高階幻方的新方法[J].海南師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，22（3）：133-134.

［2］詹森，王輝豐.奇數(shù)階對(duì)稱完美幻方的構(gòu)造方法[J].海南師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，22（4）：396-398.

［3］王輝豐，詹森.關(guān)于構(gòu)造三類奇數(shù)階幻方的新方法 [J].海南師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，23（1）：12-15.

［4］吳鶴齡.幻方及其他[M].北京：科學(xué)出版社，2004：50-80.

責(zé)任編輯：黃 瀾

The Code Methods about Structure Bordering Magic Square

ZHAN Sen1，WANG Huifeng2
（1.Department of Computer Science，Guangdong Technical Normal University，Guangdong 510665，China；2.College of Mathematics and Statistics，Hainan Normal University，Haikou 571158，China）

The neWstructure methods called code method were given，which could obtain a n=2m+1（m=2，3，…）order double symmetrical bordered magic square and a lot of n=4m+3（m=1，2，…）order odd-even-bordeved magic squares.Ten former method was proved.

double symmetrical；bordered magic square；odd-even-bordered magic square；code method

O 157.6

A

1674-4942（2010）02-0152-06

2010-01-08