曹 遠(yuǎn)

南京田家炳高級(jí)中學(xué) 江蘇南京 210037

會(huì)當(dāng)凌絕頂 一覽眾山小—冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)（二）白板教學(xué)案例

曹 遠(yuǎn)

南京田家炳高級(jí)中學(xué) 江蘇南京 210037

教材：高中數(shù)學(xué)蘇教版 必修一

章節(jié)：第二章 第4節(jié)

課題：冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)（二）

教材分析：

冪函數(shù)作為一類(lèi)重要的函數(shù)模型，是學(xué)生在系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)之后研究的又一類(lèi)基本的初等函數(shù)。本課的教學(xué)重點(diǎn)是任意冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)，難點(diǎn)是利用任意冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)，解決實(shí)際問(wèn)題。冪函數(shù)模型在生活中是比較常見(jiàn)的，學(xué)習(xí)時(shí)結(jié)合生活中的具體實(shí)例來(lái)引出常見(jiàn)的冪函數(shù)組織學(xué)生畫(huà)出他們的圖像，根據(jù)圖像觀察、總結(jié)冪函數(shù)16字口訣。

學(xué)生已經(jīng)有了學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，這為研究?jī)绾瘮?shù)的性質(zhì)做好了方法上的準(zhǔn)備。因此，學(xué)習(xí)過(guò)程中，引入常見(jiàn)冪函數(shù)之后，嘗試放手讓學(xué)生自己進(jìn)行合作探究學(xué)習(xí)。

一、教學(xué)目標(biāo)

1.基礎(chǔ)知識(shí)目標(biāo)

(1)了解冪函數(shù)的概念，利用口訣，會(huì)畫(huà)冪函數(shù)的圖像。

(2)根據(jù)冪函數(shù)的圖像，掌握冪函數(shù)圖像的變化情況和性質(zhì)。

(3)掌握幾個(gè)常見(jiàn)冪函數(shù)的性質(zhì)，能靈活利用其性質(zhì)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

2.能力訓(xùn)練目標(biāo)

(1)通過(guò)觀察、總結(jié)冪函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生概括抽象和識(shí)圖能力。

(2)使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀

利用計(jì)算機(jī)，了解冪函數(shù)圖像的變化規(guī)律，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到現(xiàn)代技術(shù)在數(shù)學(xué)認(rèn)知過(guò)程中的作用，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望。

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：任意冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)。

難點(diǎn)：利用任意冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)，解決實(shí)際問(wèn)題。

學(xué)情分析：本班學(xué)生的現(xiàn)狀因素：高中學(xué)生的錄取分?jǐn)?shù)就決定了其基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的水平。我校是四星級(jí)高中，近幾年由于生源萎縮，學(xué)校都是通過(guò)調(diào)劑或降分完成每年的招生計(jì)劃，進(jìn)校的大部分學(xué)生基礎(chǔ)都不好，而我所任教的是普通班，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的要求較高。這一矛盾的尖銳點(diǎn)是學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備量嚴(yán)重不足；從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度看，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中缺少與新知識(shí)相關(guān)的舊知識(shí)，直接影響其后繼知識(shí)學(xué)習(xí)上的記憶能力、理解能力和思維能力，導(dǎo)致機(jī)械學(xué)習(xí)；從數(shù)學(xué)教學(xué)角度講，后續(xù)教育在認(rèn)知結(jié)構(gòu)缺乏相應(yīng)的知識(shí)儲(chǔ)備的影響下，喪失了應(yīng)有的成效，這也許就是高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難最主要的原因。因此，如果我們?cè)趦绾瘮?shù)教學(xué)中，一味追求理論深度，反復(fù)強(qiáng)調(diào)細(xì)枝末節(jié)，這無(wú)疑是扼殺學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也不能讓學(xué)生死記硬背常見(jiàn)函數(shù)的圖像及性質(zhì)，遇到類(lèi)似問(wèn)題生搬硬套，激化教學(xué)雙方矛盾，因此本節(jié)課可以利用“十六字口訣”，化難為簡(jiǎn)，輕松掌握。

三、教學(xué)活動(dòng)

?

冪函數(shù)y=xαα>1舉例：y=x3, y=x2圖像在第一象限圖像趨勢(shì)較陡（豎）0<α<1舉例：y=x1/2, y=x1/3圖像在第一象限圖像趨勢(shì)較緩（橫）活動(dòng)（三）教師在設(shè)計(jì)好的表格中，按順序點(diǎn)擊具有代表特征的函數(shù)解析式，在每個(gè)單元格陰影后，對(duì)應(yīng)著相應(yīng)的函數(shù)圖像冪函數(shù)y=xαα=q/p(p、q互質(zhì))當(dāng)p為偶數(shù)時(shí)舉例：y=x1/2, y=x-1/2圖像圖像無(wú)論是拋物線型的還是雙曲線型的，都只有一支。當(dāng)p為奇數(shù)時(shí)舉例：y=x3, y=x-2，y=x-1圖像，它們無(wú)論是拋物線型的還是雙曲線型的，都是完整的?；顒?dòng)（四）冪函數(shù)y=xα學(xué)生觀察，分別有什么特征，如果不容易發(fā)現(xiàn)，可提示根據(jù)y=xα中α的正負(fù)，判斷曲線類(lèi)型，并總結(jié)出當(dāng)α>0 圖像呈拋物線型，恒過(guò)（0，0）（1，1）兩點(diǎn)。α<0 圖像呈雙曲線型，恒過(guò)（1，1），不過(guò)（0，0）。學(xué)生觀察，分別有什么特征，如果不容易發(fā)現(xiàn)，可提示根據(jù)y=xα中α與1的大小比較,總結(jié)出:當(dāng)α>1 時(shí)隨著x的增大,圖像越來(lái)越陡;當(dāng)0<α<1 隨著x的增大,圖像越來(lái)越緩學(xué)生們觀察，它們與分母p之間的關(guān)系，總結(jié)出: p為偶數(shù)時(shí)，圖像不完整，只有一支；p為奇數(shù)時(shí)，圖像是完整的。學(xué)生們觀察，它們與分子q之間的關(guān)系，總結(jié)出:通過(guò)觀察圖像，總結(jié)出α與函數(shù)圖像趨勢(shì)的關(guān)系，用四個(gè)字概括“大豎小橫”教師通過(guò)筆的點(diǎn)擊，分別將α >1 ,0<α<1的幾個(gè)冪函數(shù)圖像以淡入的方式呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，不同的色彩，不同的特征。通過(guò)觀察圖像，總結(jié)出α =q/p(p、q互質(zhì))中分母p與函數(shù)圖像的關(guān)系，用四個(gè)字概括“偶一奇全”教師通過(guò)單元格陰影的操作，重新展現(xiàn)一組圖像，分別將p為偶數(shù)與奇數(shù)時(shí)的幾個(gè)冪函數(shù)圖像呈現(xiàn)在學(xué)生眼前， 讓他們?cè)诔錆M疑問(wèn)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)那令人不斷探索、值得尋味的快樂(lè)。通過(guò)觀察圖像，總結(jié)出α =q/p(p、q互質(zhì))中分子q與函數(shù)奇偶性的關(guān)系，用四個(gè)字概括“奇奇偶偶”教師通過(guò)單元格陰影的操作，再次展現(xiàn)一組圖像，分別將q為偶數(shù)與奇數(shù)時(shí)的幾個(gè)冪函數(shù)圖像呈現(xiàn)在學(xué)生眼前， 并利用魔術(shù)筆畫(huà)矩形框，進(jìn)行局部放大，直觀體驗(yàn)。通過(guò)剛才一系列的觀察、歸納我們得出了口訣，這樣我們已知任意冪函數(shù)解析式，都可以畫(huà)出它們的草圖，并很快地確定它們的定義域、值域、單調(diào)

α=q/p(p、q互質(zhì))當(dāng)q為偶數(shù)時(shí)舉例：y=x2, y=x-2圖像，圖像無(wú)論是拋物線型的還是雙曲線型的，一定關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，為偶函數(shù)。當(dāng)q為奇數(shù)時(shí)列舉：y=x3, y=x-1圖像，圖像無(wú)論是拋物線型的還是雙曲線型的，一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，為奇函數(shù)。鞏固練習(xí)完成表（二）填空：1、設(shè)α∈{-1，1，3，1/2 }，則使函數(shù)y=xα的定義域?yàn)镽,且為奇函數(shù)的所有α的值的集合為q為偶數(shù)時(shí)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，為偶函數(shù)。；q為奇數(shù)時(shí)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，為奇函數(shù)。通過(guò)觀察圖像，總結(jié)出α=q/p(p、q互質(zhì))中分子q與函數(shù)奇偶性的關(guān)系，用四個(gè)字概括“奇奇偶偶”教師可以根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行雙頁(yè)顯示，進(jìn)行十六字小結(jié)：正拋負(fù)雙，大豎小橫，偶一奇全，奇奇偶偶。請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)筆練習(xí)，選1～2位同學(xué)上白板來(lái)完成。請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)筆練習(xí)。再請(qǐng)學(xué)生口答并進(jìn)行簡(jiǎn)要分析，教師手寫(xiě)答案。性、奇偶性。由理論到實(shí)踐，讓學(xué)生掌握畫(huà)冪函數(shù)草圖的技巧，并能準(zhǔn)確寫(xiě)出其定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性。讓學(xué)生利用口訣，解題應(yīng)用，使他們體會(huì)到“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”的感覺(jué)。學(xué)生用筆在白板上直接作圖、并寫(xiě)出其性質(zhì)，教師可以用不同顏色的筆進(jìn)行批改，及時(shí)糾正，強(qiáng)調(diào)要點(diǎn)。學(xué)生用筆在白板上直接作答，教師及時(shí)評(píng)價(jià)糾正，節(jié)省時(shí)間與空間。2、函數(shù)f(x)=(m 2 +3m+)x 1 m+m1 2?是冪函數(shù)，且其圖像過(guò)原點(diǎn)，則m= 3、設(shè)α∈{-2，-1，0，1，2，3，1/2 }，則使函數(shù)y=xα為偶函數(shù)的所有α的值的集合為課堂小結(jié) ：正拋負(fù)雙，大豎小橫，偶一奇全，奇奇偶偶。有了十六字口訣，很快就能畫(huà)出圖像，由圖像確定函數(shù)的性質(zhì)。作業(yè)布置評(píng)價(jià)手冊(cè) P61冪函數(shù)（二）

表1

表2

四、教學(xué)反思

本課采用在《新課程標(biāo)準(zhǔn)》指導(dǎo)下的實(shí)驗(yàn)探究學(xué)習(xí)過(guò)程與信息多媒體新技術(shù)的整合的教學(xué)方式。教師以初中常見(jiàn)的冪函數(shù)圖像創(chuàng)設(shè)問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生內(nèi)在積極性、創(chuàng)造性、主動(dòng)性為目的。以探究作出冪函數(shù)的圖像實(shí)質(zhì)依據(jù)為主線，既抓住重點(diǎn)，又突出學(xué)生的主體地位。這樣處理適合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，使學(xué)生對(duì)研究?jī)绾瘮?shù)的性質(zhì)的學(xué)習(xí)有了生長(zhǎng)點(diǎn)，便于學(xué)生快速掌握。

1.教學(xué)手段

本節(jié)課是以Smart電子白板為教學(xué)平臺(tái)，在課程的設(shè)計(jì)與實(shí)施過(guò)程都中用到白板的如下功能：

改變字體（粗體 下劃線 斜體）

設(shè)置對(duì)象屬性（顏色 線條寬度 線樣式 填充動(dòng)畫(huà) 透明度）

鎖定對(duì)象屬性和位置

無(wú)限克隆選定對(duì)象

更改頁(yè)面背景顏色

組合、取消組合、翻轉(zhuǎn)

選擇對(duì)象

選擇筆、魔術(shù)筆、橡皮擦

表格、單元格陰影、屏幕遮罩等

教師在本節(jié)課中充分發(fā)揮了交互式電子白板的優(yōu)勢(shì)，不僅使學(xué)生能夠深刻理解所學(xué)知識(shí)，還能夠靈活運(yùn)用，舉一反三，而且使整個(gè)課堂都是在活躍的互動(dòng)氣氛中開(kāi)展。白板的應(yīng)用達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果，尤其是使用白板的色筆、魔術(shù)筆功能，進(jìn)行批注、圈點(diǎn)、相關(guān)重點(diǎn)。運(yùn)用這些功能一方面可以大大激發(fā)學(xué)生積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生思維活躍、興趣盎然地參與教學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)他們積極思考,發(fā)展思維、探索發(fā)現(xiàn)能力；另一方面可以把課堂教學(xué)的教師以教為主變成學(xué)生以學(xué)為主，從而提高教學(xué)質(zhì)量，優(yōu)化教學(xué)過(guò)程，增強(qiáng)教學(xué)效果。鮮艷的色彩、多變的圖像，有利于刺激學(xué)生的多種感官，創(chuàng)設(shè)各種教學(xué)情境，喚起學(xué)生的情感活動(dòng)，促使他們發(fā)揮學(xué)習(xí)主動(dòng)性與積極性。把交互式電子白板技術(shù)融入到高中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中去，就像使用黑板、粉筆、紙和筆一樣自然、流暢，使原本抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)形象化、生活化，使學(xué)生不僅掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，而且喜歡這門(mén)學(xué)科。運(yùn)用交互式電子白板教學(xué)可以取得傳統(tǒng)教學(xué)無(wú)法取得的一些效果。

(1)保存板書(shū)，節(jié)省時(shí)間、空間

整個(gè)教學(xué)中，教師根據(jù)實(shí)際情況，隨時(shí)對(duì)所實(shí)施的內(nèi)容進(jìn)行批注、講解。改變了以往的教學(xué)完成后，不能在黑板上保存的弊端。這樣既省時(shí)，也不會(huì)引起學(xué)生的厭煩情緒，而且使已有知識(shí)再次得到鞏固。而在教學(xué)的后續(xù)階段，教師只需將它調(diào)出進(jìn)行反思研究，無(wú)需回憶，方便省力。

(2)整合資源、親身體驗(yàn)

互動(dòng)演示平臺(tái)將白板和PowerPoint演示文稿整合起來(lái)，在演示文稿中制作的圖形運(yùn)動(dòng)效果，可以通過(guò)白板展示出來(lái)。整個(gè)課堂也因此而活起來(lái)。除此之外，還可以和多種形式的文件整合，給人以鮮明直觀的感受，學(xué)生也可以直接參與到教學(xué)中，起到優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)的作用。

(3)揚(yáng)長(zhǎng)避短、提高效率

交互式電子白板具有普通黑板全部的功能，同時(shí)又具有更多普通黑板不具有的功能；同時(shí)基于交互白板的信息技術(shù)環(huán)境支持教學(xué)中對(duì)各種媒體資源靈活調(diào)用，支持所有的課堂教學(xué)行為，將以往一些由教師到學(xué)生的單向信息傳輸模式改變?yōu)閮烧咧g的雙向交流，加大了課堂的信息量，增強(qiáng)了課堂活動(dòng)的交互性，提高了課堂效率。

2.教學(xué)方法

教學(xué)中，教師應(yīng)用“問(wèn)題—研究—?dú)w納—應(yīng)用”模式教學(xué)，展示了“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)”。教師是活動(dòng)的組織者、指導(dǎo)者、協(xié)作者和調(diào)控者，學(xué)生是數(shù)學(xué)建構(gòu)活動(dòng)的真正主人。教師既注重知識(shí)教學(xué)，又關(guān)注思想方法教學(xué)。教師創(chuàng)設(shè)情境提出問(wèn)題，學(xué)生圍繞問(wèn)題觀察、思考、分析、綜合、概括，應(yīng)用問(wèn)題解決達(dá)成對(duì)新知識(shí)的理解。教師給學(xué)生創(chuàng)設(shè)多種素材，學(xué)生歸納總結(jié)，思維靈活多變，有利于知識(shí)的遷移和發(fā)散性思維的培養(yǎng)。

教學(xué)設(shè)計(jì)不是用傳統(tǒng)的“復(fù)習(xí)—例題—練習(xí)”模式教學(xué)，而是把問(wèn)題的研究當(dāng)作是一種情境，引發(fā)學(xué)生去操作、活動(dòng)、討論、反思。把例題與練習(xí)納入問(wèn)題研究的學(xué)習(xí)情境之中。擺脫原來(lái)那種講完概念，就進(jìn)入例題學(xué)習(xí)，練習(xí)鞏固的孤立做法。而是應(yīng)用教學(xué)原理將研究活動(dòng)的過(guò)程設(shè)計(jì)成題組，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)探究中加深對(duì)冪函數(shù)圖像與性質(zhì)問(wèn)題的理解。

本節(jié)課中心環(huán)節(jié)是冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)，并用其來(lái)解決應(yīng)用問(wèn)題。冪函數(shù)的草圖如何作出是至關(guān)重要的。課后需要繼續(xù)加強(qiáng)訓(xùn)練，加深口訣的應(yīng)用。讓學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)知識(shí)的同時(shí)，掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法。

本節(jié)課課堂氣氛熱烈，一掃沉悶，改變了“教師講、學(xué)生聽(tīng)”的狀況，較好地體現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)主體性。教師指導(dǎo)協(xié)作成為課堂教學(xué)的靈魂，學(xué)生成為課堂活動(dòng)的積極探索者，成為活動(dòng)主體。實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)中，師生角色的轉(zhuǎn)換。培養(yǎng)了學(xué)生自主合作學(xué)習(xí)的能力，絕大多數(shù)的學(xué)生都參與了知識(shí)發(fā)生與發(fā)展過(guò)程，通過(guò)總結(jié)歸納，得出 16字口訣，在教學(xué)過(guò)程中，表現(xiàn)出濃厚的學(xué)習(xí)興趣，課后的反饋檢測(cè)效果不錯(cuò)。

3．設(shè)計(jì)思想

由于冪函數(shù)的圖像千姿百態(tài)，其性質(zhì)隨冪指數(shù)的輕微改變會(huì)出現(xiàn)較大的變化，因此要學(xué)生在一節(jié)課中像指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)那樣完全掌握這類(lèi)函數(shù)的性質(zhì)是比較困難的，因此本人采用了從特殊到一般、再?gòu)囊话愕教厥獾姆椒ò才沤虒W(xué)：先重點(diǎn)研究了幾個(gè)常見(jiàn)的冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)，然后通過(guò)四組冪函數(shù)的圖像的比較、歸類(lèi)，讓學(xué)生歸納冪函數(shù)性質(zhì)隨冪指數(shù)改變的變化情況，總結(jié)出16字口訣，最后再通過(guò)的課堂練習(xí)，鞏固今天所學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生檢測(cè)自己探索成果的有效性，體驗(yàn)成功，享受學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。

本節(jié)課的不足之處：由于學(xué)生初次接觸白板，操作不夠熟練，浪費(fèi)了課堂的一些時(shí)間，今后只要多加練習(xí)，即可避免。另外，在選擇練習(xí)題時(shí)可以更貼近學(xué)生的生活，還可以提出一些研究性問(wèn)題讓大家一起討論，提高課堂40分鐘的教學(xué)質(zhì)量。

book=2010,ebook=292

曹遠(yuǎn)，本科，中學(xué)一級(jí)。