張 杰，侯為波

(淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000)

多元函數(shù)積分學(xué)的教學(xué)探討

張 杰，侯為波

(淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000)

多元函數(shù)積分學(xué)是數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn).文章從多元函數(shù)各種積分概念、各種積分的計(jì)算、MATLAB實(shí)現(xiàn)三個(gè)方面對(duì)多元函數(shù)積分學(xué)的教學(xué)進(jìn)行了初步探討.

重積分;曲線積分;曲面積分;MATLAB

在數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)中，多元函數(shù)的積分學(xué)是重點(diǎn)也是難點(diǎn).它涉及的概念較多，方法公式紛繁復(fù)雜，學(xué)生往往抓不住要領(lǐng)，計(jì)算時(shí)無從下手，容易出錯(cuò).其實(shí)，這一部分雖然涉及多種積分，但它們的思想原則是和定積分一脈相承的，都體現(xiàn)了“分割、求和、取極限”的積分思想.因此，在具體教學(xué)過程中，只要采用合理的教學(xué)方法、積極發(fā)揮學(xué)生的主觀探索意識(shí)，就會(huì)擺脫困境，獲得滿意的教學(xué)效果.筆者根據(jù)這幾年來數(shù)學(xué)分析課程的執(zhí)教實(shí)踐，現(xiàn)就多元函數(shù)積分學(xué)的教學(xué)，從以下幾個(gè)方面談一些初步體會(huì)和想法.

1 多元函數(shù)積分的概念

1.1 加強(qiáng)概念的背景知識(shí)教學(xué),合理引入概念

在學(xué)習(xí)一些抽象概念時(shí)，學(xué)生往往自覺不自覺地要問這些概念有什么用.其實(shí)，這正是學(xué)生學(xué)好這些抽象概念并且掌握它們的巨大動(dòng)力.在多元函數(shù)積分學(xué)的定義教學(xué)中尤其如此.因此，這要求教學(xué)中一定要腳踏實(shí)地讓學(xué)生真切的感受到概念的真實(shí)存在性，盡可能向?qū)W生展示概念形成和演變的過程，用實(shí)例說明可以幫助我們解決生產(chǎn)實(shí)踐中的那些具體問題.

重積分、第一類曲線、曲面積分的物理背景較簡單，分別解決了曲頂柱體的體積、空間立體的質(zhì)量、空間曲線形構(gòu)件質(zhì)量、物質(zhì)曲面質(zhì)量的求解問題.下面就第二類曲線、曲面積分概念的教學(xué)作一些探討.在引入第二類曲線、曲面積分概念之前，可以先介紹向量值函數(shù)，盡管向量值函數(shù)學(xué)生以前沒有接觸過，但掌握起來不算困難.

定義1 n維歐氏空間中點(diǎn)集到 m維歐氏空間中點(diǎn)集的映射，稱為向量值函數(shù).一般形式為:

有了向量值函數(shù)的概念，就可以借助它講清楚第二類曲線積分問題的物理背景—— 變力做功問題.據(jù)此，也就合理地引出了第二類曲線積分向量形式的定義.

定義2(向量形式) 設(shè) L是從 A點(diǎn)到 B點(diǎn)的光滑空間曲線，向量值函數(shù) F(M)在 L上有定義，用分點(diǎn)A(A0)，A1，…，An－1，An(B)將曲線 L按照從 A到 B的方向任意分割成 n個(gè)小弧段 Ai－1Ai(i=1，…，n).記小弧段 Ai－1Ai的長度為 Δsi，并記向量 Ai－1Ai=Δri.在小弧段 Ai－1Ai上任取一點(diǎn) Mi，作數(shù)量積 F(Mi)·Δri，i=1，…，n.令 T=max｛Δsi｝，如果

且 I與分割和 Mi的選取無關(guān)，則稱此極限值為向量函數(shù) F(M)沿曲線 L從 A到 B的第二類曲線積分，記為∫LF(M)·d r.

引入坐標(biāo)向量，注意到數(shù)量積的坐標(biāo)表示，很自然地就可以得到第二類曲線積分的坐標(biāo)形式，也就是常見教材中的定義.

定義3(坐標(biāo)形式) M=(x，y，z)，F(xiàn)(M)=｛P(x，y，z)，Q(x，y，z)｝，R(x，y，z)｝，d r=｛d x，d y，d z｝，則∫LF(M)·d r=∫LP d x+Q d y+R d z.

由于是從問題的實(shí)際應(yīng)用背景出發(fā)，上述關(guān)于第二類曲線積分概念教學(xué)過程思路清晰、條理清楚、便于學(xué)生理解記憶.至于第二類曲面積分的概念講解過程基本和第二類曲線積分類似，只是物理背景變?yōu)橛?jì)算流量問題.

1.2 把握各類積分概念之間的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別

在充分注意各種積分概念共性的基礎(chǔ)上，我們也要幫助學(xué)生分清楚它們的區(qū)別所在，這樣在使用各種概念時(shí)才不至于混淆.具體來講就是式∫Ωf(P)dσ中，對(duì)不同的積分，Ω代表各種具體的幾何形體，dσ代表不同的元素，詳見表1.

表1 不同積分 Ω和dσ表示的不同內(nèi)容

2 各類積分的計(jì)算

關(guān)于多元函數(shù)積分的計(jì)算總體思想是轉(zhuǎn)化為定積分.具體方法是:重積分轉(zhuǎn)化為累次積分，曲線積分根據(jù)曲線方程直接轉(zhuǎn)化為定積分，曲面積分轉(zhuǎn)化為重積分.在具體計(jì)算中，要想順利計(jì)算出正確的結(jié)果，要求掌握轉(zhuǎn)化為定積分思想精髓的同時(shí)注意換元法、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式的合理運(yùn)用.其實(shí)，除了以上基本技能之外，手工計(jì)算多元函數(shù)積分還有許多技巧可以運(yùn)用，這些技巧往往可以達(dá)到節(jié)時(shí)省力的效果.下面以常用技巧—— 對(duì)稱性的運(yùn)用為例來說明合理運(yùn)用技巧的意義.

從以上兩例可以看到，在計(jì)算多元函數(shù)積分時(shí)，合理運(yùn)用積分區(qū)域的對(duì)稱性和被積函數(shù)的奇偶性，可以大大簡化計(jì)算.這種技巧總結(jié)如下，以供參考.

(1)f(x，y)在區(qū)域 D上連續(xù).區(qū)域 D關(guān)于 x軸對(duì)稱，且 D1=D∩｛y≥0｝，則

D關(guān)于 y軸對(duì)稱有類似結(jié)果.

(2)f(x，y，z)在區(qū)域 V上連續(xù).區(qū)域 V關(guān)于 xoy面對(duì)稱，且 V1=V∩｛z≥0｝，則

V關(guān)于其他兩坐標(biāo)平面對(duì)稱也有類似結(jié)果.

(3)f(x，y)在光滑曲線 L上連續(xù).L關(guān)于 x軸對(duì)稱，且 L1=L∩｛y≥0｝，則

L關(guān)于 y軸對(duì)稱有類似結(jié)果.

(4)f(x，y，z)在曲面 S上連續(xù).S關(guān)于 xoy面對(duì)稱，且 S1=S∩｛z≥0｝，則

S關(guān)于其他兩坐標(biāo)平面對(duì)稱也有類似結(jié)果.

3 MATLAB實(shí)現(xiàn)

最后得到所求的近似值為121.665 1.

4 結(jié)束語

教學(xué)實(shí)踐表明，科學(xué)地安排教學(xué)步驟、高效地選擇問題的切入點(diǎn)、及時(shí)系統(tǒng)地總結(jié)知識(shí)體系以及有意識(shí)地激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造熱情對(duì)提高教學(xué)質(zhì)量起著至關(guān)重要的作用.針對(duì)多元函數(shù)積分的教學(xué)，從概念、各種積分的計(jì)算、MATLAB實(shí)現(xiàn)三個(gè)方面進(jìn)行了探討，目的就是盡可能的達(dá)到上述目標(biāo)，從而為提高積分學(xué)的教學(xué)效果提供有益的參考.

[1]劉壽春.談多元函數(shù)積分學(xué)的教學(xué)[J].合肥學(xué)報(bào)學(xué)報(bào)，2004，14(1):85－87.

[2]許汪濤.談?wù)劧嘣e分的學(xué)習(xí)[J].陜西師范大學(xué)繼續(xù)教育學(xué)報(bào)，2002，19(3):95－98.

[3]徐虎.多元函數(shù)在對(duì)稱區(qū)域上的積分[J].宜賓學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，6(6):26－28.

[4]明清河.數(shù)學(xué)分析的思想與方法[M].青島:山東大學(xué)出版社，2005.

[5]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(下冊(cè))[M].北京:高等教育出版社，2001.

Abstract:Multi－function integral calculus is an emphasis and difficulty ofmathematical analysis.In this paper，we do some preliminary exploration from three aspects which are concepte，calculation method and MATLAB program.

Key words:multiple integral;curvilinear integral;surface integral;MATLAB

Research on Teaching of M ulti-function Integral Calculus

ZHANG Jie，HOUWei－bo
(School of Mathematical Science，Huaibei Normal University，235000，Huaibei，Anhui，China)

O 172.2

C

1672－7177(2010)02－0074－04

2010－01－05

張 杰(1979－ )，女，安徽淮北人，碩士，講師，研究方向:優(yōu)化理論.