劉中憲，梁建文

(天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300072)

多次的地震觀測(cè)以及理論研究均表明沉積谷地或盆地對(duì)地震動(dòng)具有顯著的影響．自 20世紀(jì) 70年代以來，國內(nèi)外多位學(xué)者對(duì)相關(guān)問題進(jìn)行了研究分析．求解方法主要有解析法[1-6]和數(shù)值法[7-11]．解析法主要是波函數(shù)展開法，數(shù)值法則包括域內(nèi)離散型的有限差分法、有限元法和邊界離散型的邊界元法、離散波數(shù)法和波源法等．

值得指出的是，上述研究一般是基于半空間假定．而在我國重慶、青島、大連等地有大量建筑座落在山坡、山頂或者近海高岸上．此類地形宏觀上一般可簡(jiǎn)化為楔形或階梯場(chǎng)地．該地形中沉積谷地對(duì)地震動(dòng)的影響一方面源于沉積對(duì)地震波的散射，另一方面還源于特殊地形本身對(duì)地震動(dòng)的放大作用．這同半空間情況有著本質(zhì)的不同，在問題的處理上也更為復(fù)雜．迄今為止，國內(nèi)外有關(guān)楔形空間局部場(chǎng)地反應(yīng)問題的研究成果較少．基于 MacDonald對(duì)電磁波的研究成果，Sanchez-Sesma[12]首先研究了 SH波在楔形空間中的衍射．而后Lee等[13-14]給出了楔形空間中圓弧形峽谷和沉積對(duì)平面 SH波的散射解答．Dermendjian等[15-16]采用矩量法研究了楔形空間中任意形狀凹陷地形和剛性基礎(chǔ)對(duì) SH波的散射．史文譜等[17-18]則采用復(fù)變函數(shù)法分別求解了楔形空間中(直角情況)固定圓形夾雜和圓孔對(duì)SH波的散射．

綜上，目前的研究多以SH波的散射為對(duì)象，對(duì)于P、SV 波入射情況則研究很少(嚴(yán)格滿足楔形空間邊界條件的散射波函數(shù)難以精確構(gòu)造)．Lee的方法[14]同樣僅適用于SH波入射情況，且求解中散射體圓心須位于楔形頂點(diǎn)處．為此，筆者借鑒文獻(xiàn)[3]的思路，采用2個(gè)大圓弧面分別模擬楔形空間的2個(gè)表面，對(duì)楔形空間中局部場(chǎng)地反應(yīng)問題給出了一種有效的求解方法．該方法避免了楔形空間中散射波構(gòu)造上的困難，使得散射波函數(shù)易于表達(dá)且邊界條件容易處理，因而適用于楔形空間中任意波型輸入情況，且散射體位置比較靈活．筆者以 SH波入射為例，給出了問題求解的思路和過程，并進(jìn)行了方法驗(yàn)證和數(shù)值分析．

1 模型及方法

如圖1所示，一圓弧形沉積位于楔形空間頂部附近．設(shè)楔形空間斜面與水平面夾角為vπ，圓弧半徑為a．為方便推導(dǎo)，假定圓心位于楔形空間頂點(diǎn)O處．為方便地利用邊界條件和構(gòu)造散射波場(chǎng)，由兩半徑非常大的圓弧面Ⅰ和Ⅱ來分別模擬楔形空間的水平面和傾斜面，圓弧半徑均取為d，圓心分別位于1O、2O處．假設(shè)沉積內(nèi)外介質(zhì)均為彈性、均勻和各向同性，剪切模量和密度分別為vμ、vρ和sμ、sρ，下標(biāo)v代表沉積介質(zhì)，s代表沉積外介質(zhì)．vβ、sβ為相應(yīng)剪切波速．為方便問題求解，在這里設(shè)定了 3套極坐標(biāo)系：O-θ，1O-1θ和2O-2θ．

圖1 楔形空間中沉積谷地計(jì)算模型Fig.1 Computational model for the alluvial valley in wedge-shaped space

設(shè)楔形空間內(nèi)入射波為 w(i)，比擬光的幾何傳播路線(射線理論)．由于楔形空間的特殊性，楔形空間內(nèi)會(huì)存在二次反射波，即一個(gè)平面上的反射波在另一平面上的再次反射．設(shè)波在水平面上的初次反射波為，該反射波在傾斜面上的二次反射設(shè)為；同理，設(shè)傾斜面上的初次反射波為，該反射波在水表面上的二次反射設(shè)為．由簡(jiǎn)單的幾何推導(dǎo)，二次反射波的存在范圍不難確定．

楔形空間中總位移波場(chǎng)(t)w 在極坐標(biāo)系r-O-θ中滿足波動(dòng)方程

1.1 波場(chǎng)分析

坐標(biāo)O-θ下，各入射、反射波函數(shù)可以表示為

式中：sk為沉積外楔形空間內(nèi)橫波波數(shù)，ss/kωβ=；vk為沉積內(nèi)橫波波數(shù)，vv/kωβ=．時(shí)間因子exp(i)tω?已略去．

坐標(biāo)11-O θ下，沉積內(nèi)外大圓弧面Ⅰ上散射波可以分別表示為

坐標(biāo)22-O θ下，沉積內(nèi)外大圓弧面Ⅱ上散射波可以分別表示為

沉積內(nèi)外圓弧界面上散射波為

以上各式中Jm(kr)和 H(m1)(kr)分別表示第一類 Bessel和第一類Hankel函數(shù)．

綜上，沉積內(nèi)外總波場(chǎng)可分別表示為

式中(r)w 為楔形空間中幾種反射波的組合．

1.2 模型求解

問題的邊界條件包括楔形空間表面零應(yīng)力

沉積內(nèi)表面表面零應(yīng)力

以及圓弧交界面上位移及應(yīng)力連續(xù)條件

為利用位移和應(yīng)力連續(xù)性條件(17)，需采用Graf加法公式進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，將各散射波系數(shù)轉(zhuǎn)化到 -Oθ坐標(biāo)下．限于篇幅，具體步驟從略．

利用恒等變換

則入射反射波可以統(tǒng)一用級(jí)數(shù)形式表示為

由連續(xù)性邊界條件最終可以推得出

同理為利用邊界條件(15)和(16)，需將總波場(chǎng)分別轉(zhuǎn)換到O1-θ1和O2-θ2下，從而得到另兩組方程．最后問題歸結(jié)為求解一無窮項(xiàng)數(shù)線性方程組，保證邊界條件滿足一定精度，通過項(xiàng)數(shù)截?cái)嗫梢郧蟮梦粗⑸洳ㄏ禂?shù)．將各散射波系數(shù)帶入，可求得沉積內(nèi)外各區(qū)域內(nèi)總波場(chǎng)表達(dá)式、，繼而得出楔形空間表面位移幅值．

2 精度檢驗(yàn)

通過邊界條件的滿足程度和與現(xiàn)有結(jié)果的對(duì)比，檢驗(yàn)本文方法的精度．首先引入無量綱頻率η．它定義為圓弧沉積的直徑與入射波波長(zhǎng)之比，計(jì)算式為

由于楔形空間表面由大圓弧面近似模擬，大圓弧面上零應(yīng)力條件經(jīng)驗(yàn)算容易滿足．為驗(yàn)算圓弧交界面上位移和應(yīng)力連續(xù)性條件滿足程度，定義位移差值和應(yīng)力差值分別為

圖2給出了90°楔形空間情況下，Δw和Δτ隨項(xiàng)數(shù)增大的收斂趨勢(shì)，無量綱頻率η＝2.0、3.0．橫軸坐標(biāo)表示和水平邊界的夾角(由φ表示)．容易看出，Δw 和Δτ隨著計(jì)算截?cái)囗?xiàng)數(shù)的增大，收斂速度較快，最終能達(dá)到10-5量級(jí)，表明位移和應(yīng)力連續(xù)性條件能得到較好的滿足．

圖2 沉積交界面連續(xù)性條件檢驗(yàn)Fig.2 Verification of the continuous boundary on the valley interface

圖 3給出了 120°楔形空間情況，SH波不同角度入射下，本文方法所得沉積附近地表位移幅值同文獻(xiàn)[14]所給結(jié)果的對(duì)比．沉積內(nèi)外材料密度比= 1 .5，剪 切 模 量 比= 6 ，無 量 綱 頻 率η= 3 .0．容易看出 2種方法所得結(jié)果整體上吻合良好，但局部反應(yīng)略微有一定差異．這是由于對(duì)本文模型而言，為使大圓弧面能足夠精確地模擬地表面，大圓弧半徑需遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于散射體尺寸，但這同時(shí)會(huì)引起數(shù)值計(jì)算上的誤差：半徑過大會(huì)使得 Graf坐標(biāo)轉(zhuǎn)化中特殊函數(shù)截?cái)囗?xiàng)數(shù)增大，最終使得線性方程組求解困難．因而大圓弧面并不能完全真實(shí)地模擬地表散射，使得本文結(jié)果有一定誤差．本文計(jì)算當(dāng)中大圓弧半徑取值：d＝100a．

圖3 本文結(jié)果與文獻(xiàn)[14]結(jié)果的比較Fig.3 Comparison between results in this study and those of reference [14]

3 算例分析

在精度檢驗(yàn)基礎(chǔ)上，分別對(duì)楔形空間中軟沉積(見圖 4～圖 7)和硬沉積(見圖 8～圖 11)對(duì)平面 SH波的散射進(jìn)行了求解分析．

3.1 軟沉積情況

圖4 90°楔形空間中軟沉積場(chǎng)地位移幅值Fig.4 Surface displacement amplitude around the soft alluvial valley in 90°wedge-shaped space

圖5 120°楔形空間中軟沉積場(chǎng)地位移幅值Fig.5 Surface displacement amplitude around the soft alluvial valley in 120°wedge-shaped space

圖6 150°楔形空間中軟沉積場(chǎng)地位移幅值Fig.6 Surface displacement amplitude around the soft alluvial valley in 150°wedge-shaped space

圖7 180°楔形空間中軟沉積場(chǎng)地位移幅值Fig.7 Surface displacement amplitude around the soft alluvial valley in 180° wedge-shaped space

圖8 90°楔形空間中硬沉積場(chǎng)地位移幅值Fig.8 Surface displacement amplitude around the hard alluvial valley in 90°wedge-shaped space

圖9 120 °楔形空間中硬沉積場(chǎng)地位移幅值Fig.9 Surface displacement amplitude around the hard alluvial valley in 120°wedge-shaped space

圖10 150°楔形空間中硬沉積場(chǎng)地位移幅值Fig.10 Surface displacement amplitude around the hard alluvial valley in 150°wedge-shaped space

圖11 180°楔形空間中硬沉積場(chǎng)地位移幅值Fig.11 Surface displacement amplitude around the hard alluvial valley in 180°wedge-shaped space

圖4 ～圖 7分別給出了 90°、120°、150°和 180°楔形空間中，在不同角度(α＝0、π/6、π/3和π/2)及不同頻率(η＝0.5、1.0和2.0)SH波入射下，沉積附近地表位移幅值．α表示入射波方向與豎直線的夾角．沉積內(nèi)外介質(zhì)剪切模量比μv/μs＝1/6，密度比ρv/ρs＝2/3．圖中橫坐標(biāo)為地表面上各點(diǎn)與楔形頂點(diǎn)的距離同沉積半徑的比值，橫軸上的負(fù)值對(duì)應(yīng)楔形水平面上點(diǎn)，而正值對(duì)應(yīng)楔形傾斜面上點(diǎn)；縱軸對(duì)應(yīng)位移幅值w(t)．

需要指出的是，180°楔形空間(半空間)情況的結(jié)果與文獻(xiàn)[1]吻合很好，表明本文方法可以退化為半空間情況，這從另一方面驗(yàn)證了方法精度．

3.2 硬沉積情況

圖 8～圖 11分別給出了 90°、120°、150°和180°楔形空間中硬沉積場(chǎng)地位移幅值．設(shè)沉積內(nèi)外材料特性比值：剪切模量比為μv/μs＝6，密度比ρv/ρs＝3/2．入射波頻率η取 0.5、1.0和 2.0，計(jì)算了不同入射角度下的地表位移幅值．

通過對(duì)上述結(jié)果的總體分析，可以得出下述結(jié)論．

(1)楔形空間中沉積谷地反應(yīng)特征依賴于4個(gè)因素，即楔形空間夾角vπ、波入射角α、無量綱頻率η以及沉積內(nèi)外彈性介質(zhì)的剪切模量比和密度比．

(2)隨著楔形空間夾角的減小，位移空間分布同半空間情況的差異逐漸增大，且即便對(duì)于較小斜度的楔形空間(ν＝5/6)，位移反應(yīng)幅值和分布特征仍然有很大不同．從整體上看，位移放大效應(yīng)要比半空間情況更為顯著，這是由于在楔形空間中存在波的多次反射疊加作用．因此，對(duì)于斜坡和階梯地形中的局部場(chǎng)地反應(yīng)問題，需考慮特殊地形和地質(zhì)不均勻性的復(fù)合影響，而不能簡(jiǎn)單地按半空間情況處理．

(3)隨著入射波角度變化，散射波能量的空間分布發(fā)生改變，而位移峰值一般出現(xiàn)在SH波沿一邊掠入射情況；無量綱頻率η反映了沉積直徑同入射波長(zhǎng)的比值關(guān)系，該參數(shù)直接決定了位移的空間振蕩頻度，并且對(duì)位移幅值具有關(guān)鍵影響．當(dāng)該值在1.5～2.5之間，即沉積半徑和波長(zhǎng)相當(dāng)時(shí)，散射作用比較顯著．

(4)楔形空間中軟沉積場(chǎng)地位移放大作用十分明顯．這是由于楔形空間中沉積內(nèi)散射波具有更強(qiáng)的相干作用，波動(dòng)能量由此產(chǎn)生匯聚效應(yīng)，沉積范圍之內(nèi)場(chǎng)地反應(yīng)比較劇烈．計(jì)算表明，對(duì)較軟介質(zhì)情況，局部地表位移幅值能放大10倍以上．

(5)硬沉積場(chǎng)地位移反應(yīng)特征同軟沉積情況有明顯差異．硬沉積對(duì)波的吸收作用較小(計(jì)算得出沉積內(nèi)散射波系數(shù)較小)，而波向楔形空間中的散射作用增強(qiáng)，故沉積內(nèi)部位移幅值反而會(huì)有所降低，沉積外部地表位移(一般是朝向入射波的一側(cè))則顯示出明顯的位移放大作用．如圖 8所示，沉積附近地表位移峰值接近 7.0，達(dá)到無沉積情況位移幅值的 2.3倍；隨著地表點(diǎn)位和沉積距離的增大，位移放大效應(yīng)逐漸減弱．

4 結(jié) 語

本文對(duì)楔形空間中圓弧形沉積對(duì)彈性波的散射問題進(jìn)行了方法上的探索和深入的研究，給出了一種新的解析求解技術(shù)．通過邊界條件驗(yàn)算及同現(xiàn)有結(jié)果的比較驗(yàn)證了方法精度，為楔形空間中 P、SV波的散射求解奠定了基礎(chǔ)．

數(shù)值結(jié)果分析表明：楔形空間中沉積對(duì)彈性波的散射同半空間情況具有本質(zhì)的不同，需綜合考慮地形和地質(zhì)不均勻性對(duì)地震動(dòng)的復(fù)合影響；楔形夾角、無量綱頻率、波入射角和沉積內(nèi)外介質(zhì)特性是影響地表反應(yīng)特征的幾個(gè)主要因素；平面波入射下，同半空間情況相比，由于波的多次散射疊加，楔形空間中沉積附近場(chǎng)地反應(yīng)放大效應(yīng)更為顯著．因此為安全考慮，對(duì)地震多發(fā)區(qū)的高岸或斜坡地帶，需更細(xì)致地評(píng)估局部場(chǎng)地對(duì)地震動(dòng)的影響，進(jìn)而更科學(xué)合理地提高當(dāng)?shù)亟ㄖ锏目拐鹪O(shè)防標(biāo)準(zhǔn)．

需要指出的是，本文以位于楔形空間頂部的圓弧形沉積為例，進(jìn)行了推導(dǎo)計(jì)算和參數(shù)分析．當(dāng)散射體(圓弧形)位于楔形空間其他位置時(shí)，兩大圓弧面的坐標(biāo)系和邊界條件不變，另外需以散射體的圓心為中心建立一個(gè)坐標(biāo)系，進(jìn)而利用零應(yīng)力或連續(xù)性邊界條件，并結(jié)合 Graf變換公式，分別將不同的散射波場(chǎng)統(tǒng)一在同一個(gè)坐標(biāo)系下表達(dá)，建立方程求解得到散射波系數(shù)．求解思路和過程與本文情況無本質(zhì)區(qū)別．

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