張 彬，毛陸虹，謝 生，張世林，郭維廉，陳 燕，于 欣

(天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院，天津 300072)

當(dāng)前半導(dǎo)體環(huán)形激光器作為單片光子集成的應(yīng)用越來越受到人們的重視，特別是在全光轉(zhuǎn)換和光學(xué)雙穩(wěn)態(tài)的研究方面[1-2]．電學(xué)雙穩(wěn)態(tài)在實(shí)驗(yàn)上已得到證實(shí)[3]，國內(nèi)外眾多學(xué)者就激光器的雙模式動(dòng)力學(xué)問題進(jìn)行了大量的實(shí)驗(yàn)和理論研究[4-5]．

在半導(dǎo)體環(huán)形激光器中，兩個(gè)相互反向傳輸?shù)墓獠ㄍㄟ^兩種機(jī)制相互作用，即光學(xué)增益飽和和背散射．前者在文獻(xiàn)[5-6]中進(jìn)行了討論，指出這種機(jī)制可以實(shí)現(xiàn)光學(xué)模式鎖定．背散射效應(yīng)在文獻(xiàn)[3]中作為一種重要的機(jī)制被引入雙穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)體系中，但作者只求解了幾種特殊情況的解，沒有從非線性動(dòng)力學(xué)角度進(jìn)行整體細(xì)致的分析，特別是對(duì)突變點(diǎn)出現(xiàn)的原因和性質(zhì)、極限環(huán)形態(tài)等特性沒有進(jìn)行仔細(xì)的理論分析．搞清楚背散射效應(yīng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響無論從理論角度還是從實(shí)驗(yàn)角度都是非常有意義的．

筆者利用了非線性分岔這一現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法對(duì)半導(dǎo)體環(huán)形激光器進(jìn)行分析和計(jì)算，在分析過程中沒有進(jìn)行任何的數(shù)學(xué)簡化，研究了環(huán)形激光器中泵浦參數(shù)所引發(fā)的霍普夫分岔現(xiàn)象．

1 雙模式非線性模型

設(shè)器件工作在單模條件下，半導(dǎo)體環(huán)形激光器的動(dòng)力學(xué)可以通過下面的一系列微分方程組進(jìn)行描述．

式中1,2E 是相互反向傳輸?shù)?2個(gè)模式的復(fù)振幅[3]．方程中的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行了無量綱化處理，各相關(guān)物理量數(shù)值和意義[5]見表1．

其中n為本文主要討論的分岔參數(shù)泵浦因子，它是載流子密度的歸一化表示．式(2)中和光學(xué)增益飽和效應(yīng)相關(guān)的參數(shù)是歸一化自飽和系數(shù) s和交叉飽和系數(shù) c；與背散射效應(yīng)相關(guān)的參數(shù)是 K，K為一個(gè)復(fù)數(shù)．為了簡化可以將1iα+進(jìn)一步吸收到1,2E中，忽略其線性部分并用1/c進(jìn)行歸一化處理．對(duì)1,2E 微分，取其振幅和相位部分可以將復(fù)數(shù)微分方程組轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)形式，即

表1 相關(guān)物理參數(shù)的含義和數(shù)值Tab.1 Meanings and values of related physical parameters

式中 U＝U1-U2，U1和 U2分別表示 E1和 E2的相角．如果把泵浦參數(shù) n看作分岔參數(shù)，環(huán)形激光器的雙模競(jìng)爭(zhēng)問題將轉(zhuǎn)化為一個(gè)非線性分岔的問題．

令式(3)左端為零．注意到系統(tǒng)具有平衡點(diǎn)滿足方程

可知式(3)組成的非線性系統(tǒng)(以下簡稱系統(tǒng))具有平衡點(diǎn)(E1，E2，μ)＝(E*，E*，μ)，進(jìn)行坐標(biāo)平移，即

對(duì)式(3)進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，得到其一階線性部分，即 Jacobian矩陣為

該系統(tǒng)具有3個(gè)本征值：

當(dāng)滿足式(8)的條件時(shí)，2,3λ的實(shí)部為零，系統(tǒng)具有2個(gè)純虛數(shù)的根，將會(huì)發(fā)生霍普夫分岔．

下面將使用非線性數(shù)值方法對(duì)霍普夫分岔引發(fā)的復(fù)雜非線性動(dòng)力學(xué)進(jìn)行進(jìn)一步的分析．

2 非線性數(shù)值分析

為了找到這一微分方程系統(tǒng)的解，使用了現(xiàn)代非線性分岔算法．選擇背散射參數(shù)為||1K=、0.1?=進(jìn)行計(jì)算．非線性分岔算法的主要步驟是求解系統(tǒng)平衡點(diǎn)曲線，在平衡點(diǎn)曲線上檢測(cè)奇異點(diǎn)，如果檢測(cè)到的奇異點(diǎn)將引發(fā)極限環(huán)則從此極限環(huán)點(diǎn)出發(fā)計(jì)算極限環(huán)曲面．非線性分岔算法從幾何拓?fù)浣嵌日w地研究非線性系統(tǒng)，并可視化地展現(xiàn)此系統(tǒng)的拓?fù)涔羌?，找到系統(tǒng)發(fā)生質(zhì)變的關(guān)鍵點(diǎn)．

首先是找到系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，主要采用牛頓連續(xù)性算法，這一算法的主要步驟由下一迭代點(diǎn)的預(yù)測(cè)、修正和步長控制組成，詳細(xì)的算法步驟見文獻(xiàn)[6]．系統(tǒng)的平衡點(diǎn)曲線如圖 1所示，點(diǎn) H為系統(tǒng)的霍普夫分岔點(diǎn)，選擇背散射參數(shù)為||1K=、0.1?=．

算法的下一步驟是在平衡曲線上檢測(cè)奇異點(diǎn)，這里主要指霍普夫分岔點(diǎn)的檢測(cè)，即計(jì)算平衡曲線上每個(gè)點(diǎn)的本征值，找到其中本征值為虛數(shù)的點(diǎn)，圖 1中的 H點(diǎn)即表示系統(tǒng)的霍普夫點(diǎn)，在這一點(diǎn)處將發(fā)生極限環(huán)振蕩現(xiàn)象．

根據(jù)現(xiàn)代非線性理論，從霍普夫分岔點(diǎn)開始將引發(fā)一系列的極限環(huán)，因?yàn)榉植韰?shù)的變化形成特定的曲面．如果系統(tǒng)初始狀態(tài)處于極限環(huán)附近，經(jīng)過無限長的時(shí)間，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)將無限趨近于此極限環(huán)運(yùn)動(dòng)，從而引發(fā)系統(tǒng)的周期性振蕩．對(duì)于系統(tǒng)y＝f(x)，極限環(huán)是具有特定周期 T的孤立軌線．在此軌線上滿足x(0)＝x(T)，由于 T未知，可以定義處于[1 0]的等效系統(tǒng)，從而列出極限環(huán)上滿足的方程為

其中 xold是在上一迭代步驟計(jì)算得到的解．如果把時(shí)間間隔分成 N等份，使用差分代替導(dǎo)數(shù)，則式(9)可以轉(zhuǎn)化成

其中 u(j)(j＝1,…,N) 代表每一個(gè)極限環(huán)上離散點(diǎn)的解．使用這一迭代步驟可以計(jì)算得到系統(tǒng)的極限環(huán)曲面，如圖 2所示，選擇背散射參數(shù)，則為K=1、? =0.1．

通過圖 3所示的龐加萊截面可以更清楚地觀察到系統(tǒng)的振蕩運(yùn)動(dòng)．龐加萊截面是截取微分流形的特定截面形成的相平面．圖 3是截取不同的泵浦參數(shù) n形成的 E1-E2和 E1-U的二維相平面圖．圖中可以觀察到 E1-E2極限環(huán)呈現(xiàn)蝴蝶結(jié)形態(tài)，因而 E1-E2將形成交替蕩振運(yùn)動(dòng)．從霍普夫分岔點(diǎn)開始的極限環(huán)將隨著泵浦參數(shù)的增加，逐漸遠(yuǎn)離原點(diǎn)，其吸引范圍將逐漸增加．有趣的是，在泵浦參數(shù)增加到一個(gè)特定的數(shù)值，極限環(huán)將趨于某一特定的極限環(huán)．超過這一閾值，極限環(huán)消失，系統(tǒng)重新恢復(fù)為文獻(xiàn)[5-6]描述的具有2個(gè)穩(wěn)定的極限點(diǎn)的鎖定狀態(tài)，在分岔理論中稱這一閾值為極限環(huán)的極限點(diǎn)．從微分幾何角度，可以清楚地看到系統(tǒng)發(fā)生質(zhì)變的2個(gè)點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)于霍普夫分岔點(diǎn)和極限環(huán)的極限點(diǎn)．從物理角度看，在霍普夫分岔點(diǎn)處背散射效應(yīng)將導(dǎo)致系統(tǒng)的振蕩運(yùn)動(dòng)，在極限環(huán)的極限點(diǎn)處光學(xué)非線性增益飽和效應(yīng)將迫使系統(tǒng)進(jìn)入光學(xué)模式鎖定狀態(tài)．這2個(gè)突變點(diǎn)將相空間清楚地分為3個(gè)部分，分別對(duì)應(yīng)于文獻(xiàn)[3]指出的3個(gè)區(qū)域：雙向連續(xù)波區(qū)(bi-CW)、交替振蕩區(qū)(bi-AO)和無向鎖定區(qū)(UNI)．

圖2 系統(tǒng)的極限環(huán)曲面Fig.2 Limit cycle surface of system

圖3 極限環(huán)曲面的龐加萊截面Fig.3 Poincare section of limit cycle surface

系統(tǒng)在不同的泵浦參數(shù)時(shí)的非線性運(yùn)動(dòng)表示見圖4，其中圖4(a)和(b)表示系統(tǒng)處于交替振蕩區(qū)，極限環(huán)已經(jīng)出現(xiàn)，2個(gè)反向傳輸模式的振幅和相位波呈現(xiàn)交替振蕩的特性，三者之間存在相位差π/2，這與文獻(xiàn)[3]的描述相一致．圖4(a)為剛剛起振的情況，圖4(b)為經(jīng)過一定時(shí)間的穩(wěn)定狀態(tài)，這說明在相平面中的任何起始條件下，系統(tǒng)都將趨近于極限環(huán)進(jìn)行振蕩．圖4(c)表示系統(tǒng)處于雙向連續(xù)波區(qū)(bi-CW)，即發(fā)生霍普夫分岔之前的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．2個(gè)模式的波將逐漸趨于一個(gè)相同的穩(wěn)定狀態(tài)，同時(shí)相位也趨于0，在這一狀態(tài)下，兩模式的相位差鎖定為0，此環(huán)形諧振器可以用作光陀螺儀器的應(yīng)用，用來檢測(cè)旋轉(zhuǎn)的角速度[7-8]．圖 4(d)表示在無向鎖定區(qū)(UNI)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．可以觀察到在這一區(qū)域出現(xiàn)了光學(xué)模式鎖定現(xiàn)象，這在文獻(xiàn)[5]中有詳細(xì)的描述，即系統(tǒng)的其中一個(gè)模式消失，而另一個(gè)模式達(dá)到高強(qiáng)度．具體哪一個(gè)模式獲得增強(qiáng)、哪一個(gè)模式消失則取決于系統(tǒng)的起始狀態(tài)．另一個(gè)重要的結(jié)果是鎖定后兩模式的相位差變?yōu)棣?2?這一穩(wěn)定值，研究光陀螺儀器的眾多理論文獻(xiàn)就這一相位差跳變現(xiàn)象進(jìn)行了理論研究．從分岔角度，可以歸結(jié)為極限環(huán)的極限點(diǎn)突變．這一重要的突變發(fā)生前的系統(tǒng)狀態(tài)表示為圖 4(e)和(f)．可見在通過這一突變點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)逐漸從近似正弦波(見圖4(b))形態(tài)，經(jīng)過三角波狀態(tài)(見圖 4(e))，最終演變?yōu)榉讲顟B(tài)(見圖 4(f))．這與文獻(xiàn)[3]中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相一致．

圖4 系統(tǒng)在不同泵浦參數(shù)n下隨時(shí)間變化的非線性運(yùn)動(dòng)Fig.4 Nonlinear movements of the system with time with various pump parameters

前面指明背散射效應(yīng)和光學(xué)增益飽和效應(yīng)的相互競(jìng)爭(zhēng)導(dǎo)致了上述復(fù)雜的非線性運(yùn)動(dòng)．其中背散射效應(yīng)是由于波導(dǎo)輸出耦合部分和散射中心等不完美性的統(tǒng)計(jì)性結(jié)果．從性質(zhì)上分成守恒的背散射和耗散的背散射 ，兩者的作用是不同的．守恒的背散射項(xiàng)的相位為π/2，耗散的背散射項(xiàng)的相位為0．

一般地說，正反饋將導(dǎo)致系統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象(滯后的轉(zhuǎn)換)而負(fù)反饋將導(dǎo)致振蕩現(xiàn)象．環(huán)形諧振器系統(tǒng)中，正反饋是由增益飽和效應(yīng)引發(fā)的，文獻(xiàn)[11]就這一過程進(jìn)行了描述，即系統(tǒng)將最終處于某一模式的鎖定態(tài)．外部光注入可以加速這一鎖定過程，也是通過這一鎖定過程實(shí)現(xiàn)的[6]．具體的正反饋回路可以這樣進(jìn)行說明：如果其中一個(gè)模式 E1的光得到增強(qiáng)，式(1)中的交叉耦合項(xiàng)將導(dǎo)致另一模式 E2的減少，而模式E2的減少也會(huì)通過交叉耦合使E1獲得增強(qiáng)．所以將產(chǎn)生雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象．

負(fù)反饋情形下的守恒的背散射和耗散的背散射所起到的作用是不同的，可以用圖5中所示復(fù)平面下的復(fù)數(shù)矢量來表示．其中E1和 E2為兩模式矢量，Ec1和Ec2分別表示兩模式的守恒背散射項(xiàng)影響，它以導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的形式減少相反模式的振幅的變化速率；Ed1和Ed2分別表示兩模式的耗散背散射項(xiàng)的影響，它以導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的形式減少相反模式的相角的變化速率．

耗散的背散射提供了振幅的負(fù)反饋，即模式|E1|增加會(huì)通過Ed1導(dǎo)致|E2|的減少，另一方面|E2|的減少又會(huì)通過Ed2使得|E1|進(jìn)一步減少．它和增益飽和機(jī)制的競(jìng)爭(zhēng)將使得2個(gè)模式的振幅穩(wěn)定在一定的數(shù)值上．

守恒的背散射則提供了相角的負(fù)反饋，通過這一機(jī)制一個(gè)模式的增強(qiáng)將增加或減小另一個(gè)模式的旋轉(zhuǎn)速度，最終的結(jié)果是使得兩者以相同的速率旋轉(zhuǎn)．這一效應(yīng)是雙向連續(xù)波區(qū)發(fā)生相位鎖定的根本原因．

圖5 2種背散射項(xiàng)的復(fù)平面表示Fig.5 Complex plane expression of two kinds of backscatter parameters

進(jìn)一步可以得到極限環(huán)振蕩周期和泵浦參數(shù)之間的關(guān)系，如圖6所示．在極限環(huán)的極限點(diǎn)附近，振蕩的周期將發(fā)生急劇的增加．對(duì)應(yīng)龐加萊截面(見圖3(a))極限環(huán)在相平面中的面積不斷增加，即振蕩變得越來越慢．這一現(xiàn)象和文獻(xiàn)[4]實(shí)驗(yàn)的結(jié)果相一致．

圖6 極限環(huán)周期和泵浦因子參數(shù)之間的關(guān)系Fig.6 Relationship between limit cycle period and pump parameter

筆者也計(jì)算了背散射參數(shù)的幅值和相角參數(shù)變化導(dǎo)致的分岔區(qū)域變化的情況．所有霍普夫分岔點(diǎn)形成的平面之下是雙向連續(xù)波區(qū)域．通過不斷變化背散射參數(shù)后計(jì)算霍普夫分岔點(diǎn)可得到這一重要曲面．極限環(huán)的極限點(diǎn)隨背散射參數(shù)變化關(guān)系為圖 7的曲面，在曲面以上為無向鎖定波區(qū)域．計(jì)算這一曲面的方法是：從霍普夫分岔點(diǎn)開始，逐步增加泵浦參數(shù)，通過格龍庫塔積分法計(jì)算系統(tǒng)的瞬態(tài)解，經(jīng)過相當(dāng)長的一段時(shí)間后進(jìn)行隨機(jī)采樣，如果采樣點(diǎn)的均方差落入一個(gè)很小的范圍，則可判定為系統(tǒng)進(jìn)入鎖定區(qū)．反復(fù)掃描背散射參數(shù)，可以得到無向鎖定區(qū)的邊界曲面．這樣得到了圖 7所示的系統(tǒng)分區(qū)圖．在霍普夫分岔點(diǎn)曲面和極限環(huán)極根點(diǎn)曲面之間的部分是雙向互振蕩區(qū)，從圖7中可以觀察到這3個(gè)區(qū)域并不一定同時(shí)存在，在一定的參數(shù)變化范圍內(nèi)出現(xiàn) 3個(gè)區(qū)，而在另一參數(shù)變化范圍內(nèi)只出現(xiàn)2個(gè)區(qū)域(雙向連續(xù)波區(qū)和無向鎖定區(qū))．因此可以得出結(jié)論：背散射的性質(zhì)將引發(fā)半導(dǎo)體環(huán)形諧振器的不同行為．

圖7 背散射參數(shù)變化的系統(tǒng)分區(qū)示意Fig.7 Operation regions with variation of backscatter parameters

在圖 7中還可以觀察到無向區(qū)邊界曲面在特定相角下的突然下降，如果器件工作在相角參數(shù)附近，系統(tǒng)的行為將對(duì)外界噪聲的變化非常敏感．系統(tǒng)在實(shí)際情況下將呈現(xiàn)混沌的特性．

3 結(jié) 語

本文運(yùn)用現(xiàn)代非線性動(dòng)力學(xué)理論，對(duì)半導(dǎo)體環(huán)形激光器的模型進(jìn)行了穩(wěn)定性和分岔行為的研究．結(jié)果表明：守恒的背散射和耗散的背散射在這一復(fù)雜的非線性運(yùn)動(dòng)中提供了不同的負(fù)反饋機(jī)制，而光學(xué)增益飽和則提供了正反饋的機(jī)制，由于這些機(jī)制的相互作用，模型中泵浦參數(shù)的變化將導(dǎo)致霍普夫分岔以至混沌等復(fù)雜的非線性運(yùn)動(dòng)．觀察到極限環(huán)的極限點(diǎn)附近振蕩的周期急劇增加，以及背散射參數(shù)的幅值和相角參數(shù)變化導(dǎo)致的分岔區(qū)域?qū)?dǎo)致出現(xiàn)兩區(qū)域和三區(qū)域的不同情況．

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