孫江潔

(安徽醫(yī)科大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)院,安徽合肥 230601)

0 引 言

冪型期權(quán)和亞式期權(quán)是2種新型期權(quán),其中,亞式期權(quán)是一種依賴于期權(quán)在到期日 T時的受益的奇異期權(quán),它不僅取決于資產(chǎn)到期日的價格,還與整個期權(quán)有效期[0,T]內(nèi),某段時間標(biāo)的資產(chǎn)所經(jīng)歷的價格平均值有關(guān)。這里的平均值可以取算數(shù)平均值,也可以取幾何平均值。而冪型期權(quán)也是一種新型期權(quán),它改變了資產(chǎn)的定價結(jié)構(gòu),大大提高了所定價格對時間的敏感度。冪型亞式期權(quán)又是兩者的統(tǒng)一,為了更好地規(guī)避風(fēng)險,研究冪型亞式期權(quán)具有很大的實踐意義。

文獻[1]討論了幾何平均亞式期權(quán)的定價問題,文獻[2]給出了歐式冪型期權(quán)的定價公式,文獻[3]討論了常系數(shù)冪型亞式期權(quán)的定價問題,文獻[4]對函數(shù)系數(shù)的幾何亞式期權(quán)進行了研究。本文利用鞅測度變換的方法,得到了連續(xù)時間的函數(shù)冪型幾何平均亞式看漲期權(quán)的定價公式。本文所涉及的隨機積分理論可參考文獻[5,6]。

1 資產(chǎn)模型及主要結(jié)果

假定市場是完全,無套利的,只有風(fēng)險資產(chǎn)和無風(fēng)險資產(chǎn),其價值過程:{St:t≥0}和{B(t):t≥0}且滿足如下微分方程:

其中,{W(t)}t≥0是帶σ-代數(shù)流的概率空間(Ω,F,{Ft}t≥0,P)上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運動 ;r(t),μ(t),σ(t)均是依賴于時間的確定性函數(shù),且是[t,T]上的L-可測函數(shù)。

定理 在模型(1)下,連續(xù)時間的函數(shù)冪型幾何平均亞式看漲期權(quán)在t時刻的價值為:

其中

推論 特別地,當(dāng) r(t)=r,σ(t)=σ,且 r,σ均為常數(shù)時,有:

證明 只需將r(t)=r,σ(t)=σ代入定理,即可得證。

2 若干引理

引理1(Girsanov定理[7,8]) 取W(t)(t≤s≤T)為帶 σ-代數(shù)流的概率空間(Ω,F,{Fs}s≥t,P)標(biāo)準(zhǔn)布朗運動,θ(s)(t≤s≤T)是一個適應(yīng)于{Fs}s≥t的隨機過程 ,對 t≤s≤T,定義:

引理2[2,9]冪型期權(quán)在到期日計算價值時,用S(T)α?(α為實現(xiàn)確定的實數(shù))與執(zhí)行價格K做比較,即冪型期權(quán)的支付形式是:max{-K,0},且其對應(yīng)的期權(quán)支付形式為:max{STK,0}。

引理3 連續(xù)時間的函數(shù)冪型幾何平均亞式看漲期權(quán)的支付形式可寫為:

證明 由引理2及連續(xù)時間的幾何平均亞式

看漲期權(quán)的支付形式為:

可類推得到引理3成立。

3 定理的證明

容易算得:

由引理3可知,在模型(1)下,連續(xù)時間的函數(shù)冪型幾何平均亞式看漲期權(quán)在 t時刻的價值為:

其中

則有:

先求 I1,結(jié)合(2)式,可得到:

由隨機積分的相關(guān)知識可知:

故由概率統(tǒng)計的相關(guān)知識有:

利用正態(tài)分布的密度函數(shù)容易算出:

證畢。

4 結(jié)束語

本文利用鞅測度變換的方法,得到了連續(xù)時間的函數(shù)冪型幾何平均亞式看漲期權(quán)的定價公式顯式解,在本文的定理中,當(dāng)r(t)=r,σ(t)=σ,且r,σ均為常數(shù)時,即可得到文獻[4]的結(jié)論,在本文的推論中,令 α=1,即可得到文獻[1]的結(jié)論。

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