牛奉高,劉維奇,2

分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)與Hurst指數(shù)的關(guān)系研究

牛奉高1,劉維奇1,2

(1.山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西太原030006;2.山西大學(xué)管理科學(xué)與工程研究所,山西太原030006)

討論了重標(biāo)極差分析(Rescaled Range Analysis,簡(jiǎn)稱R/S)方法的理論基礎(chǔ)——分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的相關(guān)性和自相似性,以及分?jǐn)?shù)高斯噪聲序列的自相關(guān)指數(shù)、自相似性、長(zhǎng)記憶性與Hurst指數(shù)之間的關(guān)系.驗(yàn)證了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)當(dāng)H≠1/2時(shí)不是Markov過程,以及Hurst指數(shù)與其自相似指數(shù)相同等性質(zhì).并得到了分?jǐn)?shù)高斯噪聲的長(zhǎng)記憶性與Hurst指數(shù)之間的關(guān)系,從而可以通過Hurst指數(shù)來判斷序列是否有長(zhǎng)記憶性.

Hurst指數(shù);分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng);分?jǐn)?shù)高斯噪聲;自相似性

水文學(xué)家Hurst[1]在隨機(jī)游走的1/2冪律法則(即距離的平方與時(shí)間成正比)的啟發(fā)下,提出了Rescaled Range Analysis(簡(jiǎn)稱R/S)分析方法,并得到了一個(gè)新的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)量(后稱為Hurst指數(shù),簡(jiǎn)記為H指數(shù)),從而將隨機(jī)過程的冪律法則推廣到了一般的形式,即距離的H次冪與時(shí)間同階.20世紀(jì)40年代, Hurst基于對(duì)有偏的隨機(jī)游走所進(jìn)行的深入研究,結(jié)合R/S分析方法,發(fā)現(xiàn)有偏的隨機(jī)游走能很好地刻畫許多自然現(xiàn)象.Mandelbrot在20世紀(jì)60年代也對(duì)此進(jìn)行了廣泛探討,1963年將其應(yīng)用到時(shí)間序列分析中. 1968年與Van.Ness對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)進(jìn)行推廣,提出了I型和II型分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的概念[2].1991年P(guān)eters提出了分形市場(chǎng)概念,指出分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)可以準(zhǔn)確的刻畫金融市場(chǎng)波動(dòng).2009年Davidson通過模擬對(duì)I型和II型分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的參數(shù)進(jìn)行了估計(jì),并就參數(shù)的無偏性做了比較和實(shí)證分析[3].事實(shí)上,R/S分析方法就是以分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)理論為基礎(chǔ)(詳見下文第一部分).Hurst指數(shù)的提出對(duì)時(shí)間序列研究有重要意義,而分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)賦予了Hurst指數(shù)更強(qiáng)的解釋能力.通過計(jì)算Hurst指數(shù)H可以判斷時(shí)間序列的分形特征[4-8],2008年Zunino等還研究得出了熵指數(shù)和分形特征的關(guān)系[9].

1 相關(guān)概念

由于研究時(shí)間序列性質(zhì)的角度不同,部分概念往往有多種定義形式,本文基于以下定義形式進(jìn)行探討.

1.1 自相似

一個(gè)實(shí)值隨機(jī)過程{X(t),t≥0}稱為自相似的(self similar),如果對(duì)任意的a>0,存在b>0,使得{X特別地,稱其為H-自相似的(H-ss),如果任意的a>0,有其中H>0稱為自相似指數(shù),是同分布的意思.

1.2 分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)[10]:

設(shè)概率空間(Ω,F,P),H(0

(a)P{B(0,H)=0}=1;

(b)對(duì)任意的t∈R+,B(t,H)為F可測(cè)的隨機(jī)變量,且E{B(t,H)}=0;

(c)對(duì)任意的t,τ∈R+,有

其中,σ為方差參數(shù).

1.3 記憶性[11]

一個(gè)弱平穩(wěn)過程,如果其ACF是有界的,即|ρ(k)|～Cr|k|,C>0,0

其中C≠0,0

對(duì)平穩(wěn)時(shí)間序列{xt},(1≤t≤N),其滯后k階的自相關(guān)函數(shù)為:

其中,γk=E[(xt-μ)(xt+k-μ)]為滯后k階的自協(xié)方差,μ為xt的期望.

1.4 自相關(guān)指數(shù)

稱γ為時(shí)間序列{Xt}的自相關(guān)指數(shù),若ρ(k)滿足:

2 分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)與Hurst指數(shù)

設(shè)時(shí)間序列{xi},(1≤t≤N)是布朗運(yùn)動(dòng)B(t)的現(xiàn)實(shí),作以下記號(hào):

由xi～N(μ,σ2),得dn～N(nμ,nσ2),ˉxN～N(μ,σ2/N),SN→σ.令n=N t,0

由dn-nˉxN=dn-nμ-n(ˉxN-μ),得

性質(zhì)1對(duì)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)及以上記號(hào),有

因此R/S分析方法計(jì)算所得的Hurst指數(shù)是分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)H參數(shù)的估計(jì).

2.1 分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的相關(guān)性

性質(zhì)2當(dāng)H≠1/2時(shí),分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)不是Markov過程

證明:設(shè)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)B(t,H),H為Hurst指數(shù)(0

再利用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的平穩(wěn)增量性,得增量的相關(guān)函數(shù)為:

特別地,k=t時(shí),有:

顯然,當(dāng)H=1/2時(shí),ρ(t)=0,即未來的增量與過去不相關(guān).當(dāng)H≠1/2時(shí),即分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng){B(t,H)}就不是Markov過程了.進(jìn)一步由(5)式不難得出以下性質(zhì):

性質(zhì)3設(shè)ρ(t)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)間間隔為t的增量序列的自相關(guān)函數(shù),則有: (1)ρ(t)與t無關(guān);

(2)-0.5<ρ(t)=22H-1-1<1;

(3)ρ(t)≠-1,即不可能完全負(fù)相關(guān);

(4)當(dāng)0.5

2.2 分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的自相似性

布朗運(yùn)動(dòng){B(t),t≥0}是1/2-自相似隨機(jī)過程(1/2-ss),對(duì)于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)也有類似性質(zhì).性質(zhì)4分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是自相似的,且自相似指數(shù)就是Hurst指數(shù).

證明 根據(jù)FBM定義知,增量B(t+k)-B(t)服從正態(tài)分布N(0,σ2k2H),則

又

因此B(γk)與γHB(k)同分布,即FBM是自相似的,記為H-ss,且自相似指數(shù)就是H,也即Hurst指數(shù).

3 分?jǐn)?shù)高斯噪聲與Hurst指數(shù)

分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是非平穩(wěn)的,但其增量是平穩(wěn)的.對(duì)于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的一步增量序列,又稱為分?jǐn)?shù)高斯噪聲.

3.1 分?jǐn)?shù)高斯噪聲的自相關(guān)

引理1[2,12]對(duì)于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng),其一步增量序列的k階自相關(guān)函數(shù)滿足:

引理1說明Hurst指數(shù)可以反映分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)增量的相關(guān)性,并得到Hurst指數(shù)和自相關(guān)指數(shù)之間的等價(jià)關(guān)系.

性質(zhì)5設(shè)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)B(t,H),其一步增量序列的自相關(guān)指數(shù)為γ,則有:

3.2 分?jǐn)?shù)高斯噪聲的長(zhǎng)記憶性

根據(jù)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)定義和ρ(k)的等價(jià)形式(6)式,有2H-2=2d-1,從而

由(8)式得到以下性質(zhì).

性質(zhì)6分?jǐn)?shù)高斯噪聲具有長(zhǎng)記憶性,如果0.5

這是通過計(jì)算Hurst指數(shù)來判斷簡(jiǎn)單分形時(shí)間序列是否具有長(zhǎng)記憶性的理論根據(jù).

4 結(jié)論

本文在一定條件下討論了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)以及其離散化一步增量序列,即分?jǐn)?shù)高斯噪聲的自相似性、相關(guān)性及長(zhǎng)記憶性與Hurst指數(shù)之間的關(guān)系,得到了一些簡(jiǎn)單而直觀的結(jié)論,為實(shí)證研究提供了可靠的理論基礎(chǔ).如我們可以根據(jù)Hurst指數(shù)是否顯著為1/2來判斷序列是否為布朗運(yùn)動(dòng);進(jìn)一步,對(duì)于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的一步增量序列,如果其H顯著大于1/2,則可斷定其具有長(zhǎng)記憶性;根據(jù)自相關(guān)指數(shù)可以得到Hurst指數(shù),也就是自相似指數(shù).

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Relations of Fractional Brownian Motion and Hurst Exponent

NIU Feng-gao1,LIU Wei-qi1,2
(1.School of Mathematical Science,S hanxi University,Taiyuan030006,China; 2.School of Management,Shanxi University,Taiyuan030006,China)

We discussed the theoretical foundation of theR/Sanalysis,that were related Hurst Exponent to self-correlation and self-similarity of the fractional Brownian motion as well as autocorrelation index,selfsimilarity,long memory of the fractional Gaussian noise series.These are verified that fractional Brownian motion is not Markov processes in caseH≠1/2,as well as Hurst index is same as its self-similarity index. The relationship between the long memory Fractional Gaussian noise and Hurst Exponent is obtained, which can determine whether there is a long memory of the sequence via Hurst index.

Hurst exponent;fractional Gaussian Noise;fractional Brownian Motion;self similar

O211.6

A

0253-2395(2010)03-0380-04

2010-03-25;

2010-04-02

山西省高校人文社科重點(diǎn)研究基地項(xiàng)目(20083006)

牛奉高(1980-),男,山西晉城人,助教,理學(xué)碩士,主要從事概率統(tǒng)計(jì)的研究.E-mail:nfgao@sxu.edu.cn