劉 睿，雷雨亮，周水興

(1.重慶交通大學(xué) 土木建筑學(xué)院，重慶400074;2.北京海龍公路工程公司，北京102206)

無支架纜索吊裝系統(tǒng)是大跨度拱橋主拱拱圈(肋)及拱上構(gòu)件安裝常用的施工設(shè)備［1－3］。此外，也可用于懸索橋加勁梁的安裝施工［4］。

主纜是纜索吊裝系統(tǒng)最主要的承重軌道。通常一個構(gòu)件由兩個吊點同時起吊，但一直以來有關(guān)雙吊點主纜弧長、垂度和水平張力等，均按兩吊點的合力作用于吊點中心，采用單吊點公式開展［5］。目前國內(nèi)對無支架纜索吊裝系統(tǒng)吊裝節(jié)段的扣索力、預(yù)抬量研究較多，但對纜索系統(tǒng)本身的研究很少［6－8］。楊勝［9］利用MATLAB數(shù)學(xué)運(yùn)算工具編寫了主纜計算程序，但主纜垂度和水平張力等仍按單吊點法計算。文獻(xiàn)［10］推導(dǎo)了雙吊點主纜的相關(guān)公式，但弧長和垂度公式有誤;在比較單吊點法和雙吊點法計算誤差時，僅分析了主纜跨徑的變化，而忽略了其他參數(shù)變化對計算誤差的影響。

隨著橋梁跨度的不斷增大，對計算精度和施工控制要求也在相應(yīng)提高。筆者根據(jù)主纜靜力平衡原理，建立了單跨雙吊點主纜以各吊點位置為分界點的主纜分段曲線方程，推導(dǎo)了相應(yīng)的主纜水平張力和垂度計算公式，分析了主纜跨徑、纜索自重、雙吊點間距和吊重等因素對主纜水平張力的影響。結(jié)果表明:按單吊點法或雙吊點法計算單跨雙吊點主纜水平張力，其差異主要受雙吊點間距與主纜跨徑之比的影響，且主纜水平張力的差異隨雙吊點間距與主纜跨徑之比的減小而減小，當(dāng)兩者之比在0.05以內(nèi)時，用兩種方法計算得到的水平張力的相對誤差也在5%以內(nèi)，可忽略不計。

1 單跨雙吊點主纜相關(guān)公式推導(dǎo)

兩端固定于地壟或其他錨固裝置，中間支承于兩塔架的主纜為3跨連續(xù)索。當(dāng)兩邊跨跨度較小時，為簡化計算，常忽略其影響，同時不計兩塔架位移，視主纜與塔架平滾(或索鞍)的接觸點不會滑動，這樣主纜就可以按兩端固定的單跨主纜計算［5］。圖1為單跨雙吊點主纜計算簡圖。

圖1 單跨雙吊點主纜計算簡圖Fig.1 Calculation diagram of main cable with double-lifts in single span

圖1中:HA為左端塔頂A處主纜的水平張力;VA為左端塔頂A處支點反力;HB為右端于塔頂B處主纜的水平張力;VB為右端塔頂B處的支點反力;β為主纜弦傾角，β=arctan(h/l);g0為主纜自重荷載集度;g為主纜按跨徑均勻分布的自重荷載集度;t為主纜左吊點距左索塔A的水平距離;a為左右兩吊點間距;l為主纜跨度;P為作用于主纜上的集中荷載(P/2表示荷載由兩吊點均勻分擔(dān));h為兩索塔高差。

1.1 基本假定

1)主纜在跨間只承受張力而不承受彎矩［5］;2)在主纜跨中各處主纜的水平張力大小相等，HA=HB=Hx=H［5］;

3)構(gòu)件吊重由兩個吊點平均分擔(dān)。

1.2 主纜弧長S的計算

1.2.1 左、右索塔處支反力

左索塔(A點)支反力:

式中:HA為距A點水平距離為t處(左吊點)的主纜水平張力;其余參數(shù)含義同上。

右索塔(B點)支反力:

1.2.2 主纜曲線方程

作用有雙吊點的主纜(圖1)，其線形由左塔頂(A點)至左吊點(C點)、左吊點至右吊點(D點)、右吊點至右塔頂(B點)3個分段曲線組成。主纜弧長可通過其曲線方程求得。

以左邊塔頂A點作為整個坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點，沿HA方向作為x軸，沿VA方向作為y軸，并設(shè)點C距點A的水平距離為t。將主纜曲線從A點至C點分為第1段，從C點至D點分為第2段，其坐標(biāo)表示為從D點到點B分為第3段，其坐標(biāo)表示分別為:x∈ (0，t) 、x∈(t，t+a) 、x∈(t+a，l) 。

對于A－C段主纜曲線，可建立圖2所示的計算簡圖。

圖2 主纜A－C段計算示意Fig.2 Calculation diagram of segmentA－Cof main cable

圖2中:Hx為A－C段上距A點水平距離為x處主纜水平張力;Vx為A－C段上距A點水平距離為x處主纜豎向分力;其于參數(shù)含義同圖1。

對A點取矩，由∑MA=0

由:∑V=0，得:Vx=VA－gx

可得出A－C段主纜的曲線方程:

式中:據(jù)基本假定2)，因HA=HB=Hx=H，為此以后各式中Hx均表示為H。

同理，參照圖3、圖4，可得C－D段和D－B段弧的曲線方程。

圖3 主纜C－D段計算示意Fig.3 Calculation diagram of segmentC－Dof main cable

圖4 主纜D－B段x∈(t+a，l)計算示意Fig.4 Calculation diagram of segmentD－B x∈ (t+a，l)of main cable

將3個曲線方程聯(lián)立，即為主纜曲線的分段方程，如式(4):

1.2.3 主纜弧長S的計算

將上式展開成級數(shù)，取前兩項得:

將式(5)因式分解、合并同類項得單跨雙吊點主纜的弧長計算式:

文獻(xiàn)［10］由于弧長公式推導(dǎo)有誤，因此，退化計算后得不到與式(7)相同結(jié)果，導(dǎo)致后續(xù)水平張力方程和垂度的計算式也相應(yīng)有誤。

1.3 主纜水平張力普遍方程

第1狀態(tài):設(shè)載有吊重的跑車Pmax(Pmax為最大吊重和跑車及起重設(shè)備的總重)位于主索跨度的中間以此作為變化前的標(biāo)準(zhǔn)平衡狀態(tài)。第2狀態(tài):設(shè)荷載Px≤Pmax，荷載左吊點位于距A支點距離為t處，與此狀態(tài)相對應(yīng)的主索曲線長度為St，支座A處主纜張力為Tt，水平張力為Ht。

在上述2個平衡狀態(tài)中，主索曲線長度的改變，是由于主索在不同荷載位置作用下張力變化而引起的彈性變形ΔS所產(chǎn)生，其值可用式(8)計算:［1］

將式(6)代入式(8)，可得雙吊點纜索水平張力普遍方程:

式中:Hmax為最大吊重位于跨中時主纜的水平張力;G為主纜總重，G=gl;E為主纜彈性模量;F為主纜截面積;P為作用于主纜上的任意集中荷載;P≤Pmax;其余參數(shù)含義同上。

1.4 安裝時主纜張力方程及主纜垂度計算

1.4.1 主纜安裝時的張力方程

式中:H0為主纜的安裝水平張力;P0為跑車等空載時的重量;其余參數(shù)含義同上。1.4.2 左、右吊點垂度普遍公式

左吊點垂度計算簡圖如圖5。

圖5 左吊點垂度計算簡圖Fig.5 Calculation diagram of sag in leftlift

圖5中:Ht為左吊點處主纜的水平張力;Vt為左吊點處主纜的豎向分力。

對x=t位置取矩，由∑Mt=0，即:

可得左吊點垂度計算式:

同理，據(jù)右吊點垂度計算簡圖(圖6)，可得右吊點的垂度計算式。

圖6 右吊點垂度計算簡圖Fig.6 Calculation diagram of sag in rightlift

圖6中:Ht'為右吊點處主纜的水平張力;Vt'為右吊點處主纜的豎向分力。

右吊點垂度計算式:

式中:t'為右吊點距支點A的水平距離，t'=t+a;其余參數(shù)含義同上。

1.4.3 安裝垂度計算式

當(dāng)安裝吊重P位于跨中，將0代入左吊點垂度計算公式，或?qū)⒋胗业觞c垂度計算公式均可求得雙吊點的安裝垂度計算公式:

1.4.4 吊重最大時主纜垂度計算式

主纜最大垂度計算公式:

2 單、雙吊點公式計算誤差控制

因主纜的相關(guān)計算都是基于主纜最大水平張力開展后續(xù)計算，故只對雙吊點纜索按單吊點法和雙吊點法計算的最大水平張力進(jìn)行比較。

2.1 單、雙吊點法最大水平張力計算公式差異

主纜按單吊點法計算最大垂度的公式如式(15):

式中:fmax為主纜的最大垂度;其余參數(shù)含義同上。

對比式(14)可知，式(15)是當(dāng)a=0時的特例。

記:雙吊點主纜利用單吊點法與雙吊點法計算水平張力的相對誤差為δ，計算如式(16):

令:δ≤0.05(工程容許誤差)，則式(17)可改寫成以k為自變量的不等式方程:

求解該不等式，得到k＞0的k值范圍為:

當(dāng)k≤0.05的時候，δ＜0.05，即:雙吊點主纜計算可選用單吊點法公式滿足工程誤差要求。

對式(19)的右邊進(jìn)行計算:

綜上分析，雙吊點纜索在滿足以下2個推論之一時，采用單吊點法公式計算均滿足工程誤差要求。

推論1:當(dāng)k＜0.05時，δ＜0.05。

推論2:當(dāng)0.05≤k≤ μ時，δ≤0.05，(μ=

2.2 算例及分析

主纜跨徑l=217.04m，兩吊點間距a=13m，兩岸高差h=4m，E=75 600 MPa，拱肋最大凈重P1=400 kN，吊具、配重及施工荷載P0=50 kN，Pmax=P1+P0=450 kN，主纜單位自重集度g0=0.44 kN/m，主纜弦傾角 β =0.012(弧度)。

因此:

因k＞0.05且k＞μ，不滿足2個推論的要求。

不宜采用單吊點公式計算。下面用單、雙吊點法分

表1 算例單吊點法與雙吊點法最大水平張力計算誤差Tab.1 Calculation tolerance of maximal horizontal tension with the method of singelift and doublelifts in a certain project

主纜自重和吊點間距不變的情況下，在不同主纜跨度和不同吊重下最大水平張力的相對誤差。計算結(jié)果如表2～表4。

表2 當(dāng)Pmax=450 kN時k、θ變化對δ的影響Tab.2 Influence of the variation ofk、θ on δ whenPmaxis 450 kN

表3 當(dāng)Pmaxis 1 000 kN時k、θ變化對δ的影響Tab.3 Influence of the variation ofk、θ on δ whenPmaxis 1 000 kN

表4 當(dāng)Pmaxis 1 500 kN時k、θ變化對δ的影響Tab.4 Influence of the variation ofk、θ on δ whenPmaxis 1 500 kN

通過表2～表4數(shù)據(jù)證明:本文的2個推論是正確的。

3 結(jié)語

根據(jù)無支架纜索吊裝系統(tǒng)單跨雙吊點主纜受力及曲線形態(tài)，給出了主纜分段曲線弧長表達(dá)式，推導(dǎo)了主纜垂度、水平張力等計算公式。分析了主纜自重、跨徑、吊點間距、最大吊重等因素對主纜水平張拉的影響，為今后主纜計算提供理論依據(jù)，且可提高計算精度。

由于主纜在自然環(huán)境中受到溫度變化的影響會發(fā)生伸縮，但本文公式中未計入溫差影響，對此，讀者可參考文獻(xiàn)［5］，在此不再贅述。

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