代玉霞

(湖北大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430062)

0 引言

Peres,Simon,Solomyak在文獻(xiàn)[4]中證明了Hausdorff測(cè)度為0但填充測(cè)度正有限的自相似集的存在性.Hutchinson在文獻(xiàn)[5]中證明了在開集條件下，有 s=dimSE且Hs(E)>0.

其中dimSE為E的相似維數(shù).

1 定義及記號(hào)

定義1 稱單調(diào)不減函數(shù)g:[0,∞)→[0,∞)為維函數(shù)，如果g右連續(xù)且g(t)=0當(dāng)且僅當(dāng)t=0.

定義2 設(shè)集E?,g為維函數(shù)，E的g-Hausdorff測(cè)度定義為,

其中

下確界取遍E的所有δ覆蓋(稱{Ui}為E的一個(gè)δ覆蓋，如果∪Ui?E且對(duì)任意i有|Ui|≤δ).

E的g-預(yù)填充測(cè)度定義為

其中

上確界取遍E的所有δ填充(稱不交球族{Bi}為E的一個(gè)δ填充，如果對(duì)任意i有xi∈E及|Bi|≤δ).

E的g-填充測(cè)度定義為

定義3 設(shè){f1,…,fn}為中相似比依次為{c1,…,cn}的IFS，E為其生成的自相似集，即E為非空緊集且滿足.E的相似維數(shù)s=dimSE定義為方程的唯一解.稱{f1,…,fn}滿足開集條件(OSC)，如果存在非空開集V?,使得是不交并且含于V.

本文用Ik表示數(shù)字{1,2,…,n}生成的k項(xiàng)序列全體，I表示生成的有限序列全體.對(duì)序列σ=i1…ik∈Ik,σ|j表取σ的前j項(xiàng)所得的序列，σ*表去掉σ的最后一項(xiàng)所得序列，σ*i表在σ的末尾添一項(xiàng)i所得的序列，用fσ=fi1…fik表示復(fù)合，記cσ=ci1…cik.對(duì)集E?，記|E|為E的直徑.記Br為半徑為r的球.記#Q為集合Q的元素的個(gè)數(shù).

2 定理及其證明

定理1 設(shè)集E?為由滿足OSC的生成的自相似集，其中fi的相似比為ci,0

(1)

則

為證明本文的結(jié)論，我們先引入下面幾個(gè)引理.其中引理1是一個(gè)基本的幾何事實(shí).引理2是質(zhì)量分布原理的一個(gè)推廣.

引理1[2]設(shè){Vi}是的不交開子集族，每個(gè)Vi包含一個(gè)半徑為a1r的球且包含在一個(gè)半徑為a2r的球中，則任何半徑為r的球B至多與個(gè)Vi的閉包相交.

引理2[1]設(shè)集E?,μ是上的測(cè)度.若存在c>0,δ>0,使得任何集U?,|U|≤δ,有μ(U)≤cg(|U|),則Hg(E)≥μ(E)/c.

引理2的證明設(shè){Ui}為E的一個(gè)δ覆蓋，則μ(E)≤μ(∪Ui)≤∑μ(Ui)≤c∑g(|Ui|).

引理3 滿足條件(1)的維函數(shù)g為加倍的，即存在常數(shù)α>1使得g(2t)≤αg(t).

從而g為加倍的.

注 加倍條件意味著對(duì)任意c>0,存在常數(shù)α>1使得g(ct)≤αg(t).

定理1的證明由于對(duì)集E?總有Hg(E)≤Pg(E)≤,只需證明不等式0

第1步，證明0

(1)估計(jì)下界.設(shè)I∞為{1,2,…,n}生成的無限序列的全體，對(duì)任意σ=i1…ik∈Ik,用Iσ表由I∞中那些以σ開頭的序列形成的柱集.在I∞上分布質(zhì)量μ，使得 μ(Iσ)=g(cσ)=g(ci1…cik).

這樣定義的μ確實(shí)為I∞上的一個(gè)質(zhì)量分布，因?yàn)橛?1)式有

從而有

Qr=σ|k∶σ∈I∞,cσ|k|E|≤r

選取a1和a2使得V包含一個(gè)半徑為a1的球且包含在半徑為a2的球中,即Ba1?V?Ba2,則對(duì)任意σ=i1…ik∈Qr,fσ(V)包含一個(gè)半徑為ci1…cika1的球，因此也包含一個(gè)半徑為cmina1|E|-1r的球；同時(shí)包含在半徑為ci1…cika2的球中，因此也包含在半徑為a2|E|-1r的球中，即

Bcmin a1|E|-1r?fσ(V)?Ba2|E|-1r,

由引理1有

#Q≤(1+2a2)n(a1cmin)-n=M.

從而

(2)

其中c為正常數(shù)，最后一個(gè)不等號(hào)由g的加倍性質(zhì)可得.

由引理2即得

令k→∞得Hg(E)<∞.這完成了第一步的證明.

(3)

(4)

對(duì)任意1≤i≤m,記xi∈E為Bi的中心，取σ∈I∞使得π(σ)=xi,則存在σ的一個(gè)前綴σ(i)∈I使得

(5)

可見hi=fσ(i)∶E→E∩Bi,并且對(duì)任意x,y∈E有

|hi(x)-hi(y)|=cσ(i)|x-y|.

則F是E的一個(gè)自相似子集.記φ(t)=g(t)tλ.因?yàn)間是加倍的，由引理3有φ(2t)≤2αφ(t),從而φ也為加倍的.對(duì)每個(gè)k，對(duì)每個(gè) i1…ik∈Jk,定義

(6)

則μ為F上的一個(gè)質(zhì)量分布.

任意U，U∩F≠?,|U|

(7)

則U最多與一個(gè)k級(jí)集hi1…ik(E)相交.

從而由(1)式及(3-7)式及g的加倍性得

其中b僅依賴于|E|、cmin及g的加倍常數(shù),c為正常數(shù).從而由引理2有

Hg(t)tλ(F)≥μ(F)/cd-λ>0,

致謝：這篇論文的完成得到了我的導(dǎo)師文勝友教授的建議、指導(dǎo)和鼓勵(lì)，在此表示最誠(chéng)摯的謝意！

參考文獻(xiàn)：

[1] Falconer K J.Techniques in fractal geometry[M].New York:Sping-Verlag John Wiley and Sonsinc,1997.

[2] Feng D J,Hua S,Wen Z Y.Some relations between packing pre-measure and packing measure[J].Bull London Math Soc,1999,31:665-670.

[3] Mattila P.Geomentry of sets and measures in Euclidean spaces[M].Cambridge:Cambridge Press,1995.

[4] Peres Y,Simon K,Solomyak B.Self-similar sets of zero Hausdorff measure and positive packing measure[J].Israel J Math,2000,117:353-379.

[5] Hutchinson J E.Fractals and self-similarity[J].Indiana Univ Math J,1981,30:713-747.

[6] Falconer K J.Fractal geometry:mathematical foundations and applications[M].New York:Sping-Verlag John Wiley and Sons,1990.