張家平

(華南理工大學(xué) 金融工程研究中心， 廣東 廣州 510006)

一、 前言

當(dāng)前， 結(jié)構(gòu)性產(chǎn)品市場迅猛發(fā)展， 并以其豐富投資品種、 擴大投資者選擇、 按投資者的風(fēng)險偏好“量身定制”投資產(chǎn)品(即具有不同優(yōu)先等級的分券)、 轉(zhuǎn)移信用風(fēng)險等特征吸引了金融機構(gòu)、 學(xué)術(shù)團體、 信用評級機構(gòu)、 金融監(jiān)管部門的廣泛關(guān)注。2008年的金融危機只是使結(jié)構(gòu)性產(chǎn)品市場的發(fā)展受到一時阻礙， 絲毫沒有減少人們對結(jié)構(gòu)性產(chǎn)品， 尤是CDO的關(guān)注和研究熱情*專門匯集信用風(fēng)險及其定價工作論文及專著的網(wǎng)站www.defaultrisk.com， 每周約有20篇的關(guān)于CDO定價和風(fēng)險度量的新論文出現(xiàn)。。CDO是以債券、 貸款、 結(jié)構(gòu)性產(chǎn)品、 甚至CDO產(chǎn)品構(gòu)成的資產(chǎn)組合為擔(dān)保而發(fā)行的， 按照一定優(yōu)先等級進行支付權(quán)利金和承擔(dān)損失的證券， 即分券(tranches)。因此， CDO 的價值主要由信用風(fēng)險決定： CDO 的發(fā)起人定期向投資者支付權(quán)利金(也即CDO 的價值)， 以獲得在違約發(fā)生時向投資者要求損失賠償?shù)臋?quán)利。從量化的角度來看， 如何計算一段時期內(nèi)信用資產(chǎn)組合整體違約損失的聯(lián)合概率分布是對CDO 進行研究分析的基礎(chǔ)。

對現(xiàn)有的模型和方法也有一些粗略的分類， 一是沿用單資產(chǎn)信用風(fēng)險模型的分類， 將CDO定價模型劃分為結(jié)構(gòu)方法和簡化方法。結(jié)構(gòu)方法又稱為企業(yè)價值方法、 默頓方法， 是由默頓基于期權(quán)理論[1]提出的違約風(fēng)險模型[2]， 并由Hull等擴展到組合信用風(fēng)險模型。[3]基于統(tǒng)計理論的簡化方法， 又稱為強度模型(intensity model)， 是Jarrow和Tunbull首次提出，[4]并由Dufie和Garlenu推廣到組合水平對相依違約強度進行建模[5]； Sch?nbucher等人在更一般的copula框架下分析違約強度的相依結(jié)構(gòu)。[6]二是最近提出的自下而上(bottom-up)和自上而下(top-down)方法。Kay Giesecke按這種分類方法對組合信用風(fēng)險度量模型與方法進行了綜述。[7]自下而上方法是從組合中各資產(chǎn)的違約強度通過加總推導(dǎo)出組合的違約強度， 而自上而下方法在無套利方式下直接對組合損失的隨機動態(tài)機制進行建模。[8]

上述分類方法僅僅從建模出發(fā)點的不同對各種模型與方法進行粗略的分類， 并沒有進一步分析各模型之間的內(nèi)在聯(lián)系以及模型改進的路線圖， 不利于模型之間的比較與評價。再者， 分類方法的包容性存在一定局限， 比如第二種分類方法只是針對簡化模型， 沒有包括結(jié)構(gòu)模型。因此， 我們迫切需要一個相對統(tǒng)一的框架， 能夠把現(xiàn)有的大部分模型納入這個框架， 找出人們對CDO產(chǎn)品定價和風(fēng)險度量的認(rèn)識和模型改進的內(nèi)在邏輯進程， 便于模型的比較與評價。這是本文的主要目的。我們發(fā)現(xiàn)因子方法(factor approach)能夠擔(dān)當(dāng)這個重任。因子方法以其包容性、 開放性將大部分現(xiàn)有模型包含在該框架中， 如圖1所示。

圖1 因子方法框架圖

從圖1可以看出， 因子copula模型在刻畫多元違約相關(guān)性中最具競爭力， 而且在此框架內(nèi)很容易對模型進行拓展， 這一點與陳田和秦學(xué)志在對CDO定價模型綜述中的結(jié)論是一致的。[9]

二、 因子copula模型及其拓展

因子copula模型是CDO定價和風(fēng)險度量模型中最具活力的一個分支， 其最簡單的形式， 單因子正態(tài)copula模型(one-factor Gauss copula model)已成為行業(yè)定價和風(fēng)險度量的標(biāo)準(zhǔn)模型。同時， 因子copula模型具有良好的擴展性， 以不斷改進對CDO顯示價格的擬合效果。

在copula模型中， 違約時間的聯(lián)合分布可寫成一維的邊緣分布和copula函數(shù)的組合， Copula模型能將相依結(jié)構(gòu)(dependence structure)從聯(lián)合分布中分離出來， 并與邊緣分布無關(guān)等優(yōu)良性質(zhì)廣泛運用于金融領(lǐng)域的多元分析。對copula方法的介紹及其在金融領(lǐng)域的運用可參考文章后面的參考文獻第[10]和[11]。[10]52-125， [11]134-187

P(τ1≤t1, Lτn≤tn)=C(F1(t1), LFn(tn))

在這個框架下， 相依結(jié)構(gòu)和邊緣分布可以分開處理。通常， 邊緣違約概率Fi(ti)可以從不同資產(chǎn)的信用違約互換權(quán)利金數(shù)據(jù)中推出， 或者根據(jù)信用評級機構(gòu)的歷史數(shù)據(jù)推出。因此， 他們可以看做是市場輸入變量。由于相依結(jié)構(gòu)是不可觀測的， 只能通過選擇不同的copula函數(shù)來刻畫違約相依結(jié)構(gòu)。這是因子copula定價模型最重要的一步， 當(dāng)然也受到較多質(zhì)疑。在信用風(fēng)險領(lǐng)域， 因子copula方法首次由David Li[注]美籍華人Li被稱為華爾街的精算天才， 其單因子正態(tài)copula模型被學(xué)界與期權(quán)定價的B-S公式相提并論， 并極大的推動了結(jié)構(gòu)性產(chǎn)品市場的發(fā)展。引入，[12]由Schünbucher進一步發(fā)展[13]。

因子copula模型是一類特殊的copula模型， 其違約時間的相依結(jié)構(gòu)服從因子框架。具體地說， 相依結(jié)構(gòu)由一些隱含變量V1, …, Vn決定， 每個變量Vi表示成由共同風(fēng)險因子Z和特殊風(fēng)險因子εi構(gòu)成的二元函數(shù)。

Vi=f(Z,εi),i=1, L,n

在一般copula框架下， 損失分布的計算要求n次連續(xù)積分。因子copula方法的好處在于， 由于因子的維度要要比N低得多， 從而大大簡化了計算。

(一)加法因子copula(additive factor copula)模型

加法因子copula模型族在CDO分券定價中使用的最為廣泛。在這類模型中， 函數(shù)f表示共同因子與特殊因子是相加的， 隱含變量V1, …, VN通過相依參數(shù)ρ聯(lián)系起來。

(5)

根據(jù)前面的分析， 可得出條件違約概率Pt(Z)為：

(6)

在大多數(shù)運用中， Z和εi， i=1, …, N屬于相同的分布， 以使通過卷積后得到封閉解。

這類模型中最受歡迎[注]最受歡迎不在于其準(zhǔn)確性， 而在于計算簡單， 易于處理。如同正態(tài)分布是在刻畫資產(chǎn)收益率分布中最常采用的形式， 但我們知道現(xiàn)實資產(chǎn)收益率不服從正態(tài)分布。的模型形式就是所謂的因子正態(tài)copula模型， 即Z和εi， i=1, …, n為服從獨立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機變量， 從而隱含變量V1, …, VN亦為正態(tài)分布。Vasicek在信用風(fēng)險領(lǐng)域首次引入這種設(shè)定方法[注]Vasicek沒有直接采用copula函數(shù)這個名稱， Li推出Vasicek模型與單因子正態(tài)copula模型是等價的。[14]， 而在統(tǒng)計學(xué)上稱之為多元概率模型。盡管因子正態(tài)copula模型計算簡單、 易于處理， 但它也有一些眾所周知的缺陷： 不能完全擬合所有具有相同期限的標(biāo)準(zhǔn)CDO分券的市場報價， 存在相關(guān)系數(shù)微笑或相關(guān)系數(shù)傾斜等與模型設(shè)定不符的現(xiàn)象。

因子copula模型最大的優(yōu)點在于容易擴展。[15]215-234從上面的模型設(shè)定可以看出， 第一， 改進風(fēng)險因子的分布， 以反映金融資產(chǎn)收益率或風(fēng)險因子的尖峰、 肥尾、 偏斜等特征。第二， 改進對風(fēng)險因子相依結(jié)構(gòu)的刻畫， 錯誤的相依結(jié)構(gòu)會導(dǎo)致對信用資產(chǎn)組合風(fēng)險的嚴(yán)重低估。[16]通過選擇合適的copula函數(shù)以逼近CDO參考資產(chǎn)組合真實的違約相依結(jié)構(gòu)。一些學(xué)者采用具有肥尾特征的t-copula來研究信用風(fēng)險問題，[17-21]t-copula的極限形式就是正態(tài)copula。同樣， t-copula模型具有與正態(tài)copula模型類似的缺陷。

為解決相關(guān)系數(shù)微笑等正態(tài)copula模型的， 一些學(xué)者使用不同的分布來改進模型， 如雙t分布[22]、 正態(tài)逆高斯分布(NIG)[23]、 雙正態(tài)逆高斯分布[24]、 雙方差Gamma分布[25]、 Lévy分布[26]259-278等， Wang等人討論了其他具有肥尾分布的因子copula模型[27]263-286。

注意以上因子copula模型的分析都是假定回收率R和相關(guān)系數(shù)ρ是固定不變， 一個很自然的擴展就是將他們隨機化。Andersen等人提出了RFL(random factor loading)模型和隨機回收率模型[28]對該假定進一步放松， 將它們設(shè)定為隨機的參數(shù)。

(二)阿基米德copula方法

阿基米德copula具有顯性的表達式， 并用1到2個參數(shù)來度量相依關(guān)系等優(yōu)點在金融領(lǐng)域、 尤其是在信用風(fēng)險建模中獲得廣泛的運用。尤其是阿基米德copula本身是可交換的， 因此可采用因子模型的表達式， Marshall等人最早推出了阿基米德copula數(shù)的因子表達式[29]。 每一個阿基米德copula可以用逆拉普拉斯變換φ(.)和共同因子Z聯(lián)系起來。在該方法下， 隱含變量表示為：

(14)

其中φ-1(.)表示拉普拉斯變換， εi， i=1, …, N為獨立均勻分布隨機變量。則隨機向量(V1, …, VN)的聯(lián)合分布就是φ-阿基米德copula。如果隱含變量是均勻分布的， 則條件違約概率可寫成：

Pt(Z)=exp(-φ(F(t))Z)

(15)

在信用風(fēng)險領(lǐng)域， 運用最廣泛的阿基米德copula函數(shù)是Clayton、 Gumbel和Frank copula函數(shù)。文獻[13]30-33主要討論Clayton copula在CDO定價和風(fēng)險度量中運用， 而文獻[21], [34]進一步討論Gumbel、 Frank等其它阿基米德copula函數(shù)在信用風(fēng)險建模中的運用。

三、 多元分布因子模型

直接對多元分布建模， 而不借助copula函數(shù)對違約相依結(jié)構(gòu)的描述， 是刻畫違約相依結(jié)構(gòu)的另一種重要方法。多元分布因子模型克服了因子copula模型中copula函數(shù)的選擇問題。

(一)多元結(jié)構(gòu)因子方法

多元結(jié)構(gòu)因子模型是單資產(chǎn)信用風(fēng)險定價中的首次通過時間模型(first passage time model)在多資產(chǎn)情況下的推廣， 該模型假定違約時間是隨機的， 為資產(chǎn)價值低于某個閥值的首次通過時間[35]。Arvanitis和Gregory 在多元正態(tài)分布背景下研究一籃子信用衍生產(chǎn)品定價時提出多元結(jié)構(gòu)因子模型[36]98-153。Hull等人考察了單因子多元正態(tài)結(jié)構(gòu)模型對CDO分券的定價。[3]

該模型假設(shè)， CDO參考組合具有n個企業(yè)(或債務(wù)人)， 資產(chǎn)價值的變化機制V1, …, Vn可簡單的表示為n個相關(guān)的布朗運動。有：

(16)

其中， Z、 V1, …, Vn獨立的標(biāo)準(zhǔn)維納過程， 當(dāng)過程變量Vi低于某個常數(shù)閥值c(不同的資產(chǎn)具有相同的閥值)。然后， 相應(yīng)的違約時間表示為：

τi=inf{t≥0|Vi, t≤c},i=1, Ln

違約概率在已知共同因子過程Z的條件下是獨立的。當(dāng)違約事件的發(fā)生是可交換的時， 根據(jù)Finetti定理， 違約概率一定存在， 式(16)依然屬于單因子框架。多元結(jié)構(gòu)因子模型與因子copula模型相比較， 有以下不同： 一是在多元結(jié)構(gòu)模型中違約概率不能以封閉解的形式寫出， 因此只能采用模擬方法來估計違約損失分布。二是多元結(jié)構(gòu)模型的共同因子Zt是隨時間而變化的， 因此是一個動態(tài)模型； 而前面討論的因子copula模型是靜態(tài)的。三是兩類模型對違約相依結(jié)構(gòu)的刻畫不同， 多元結(jié)構(gòu)模型無須事先假定參考資產(chǎn)組合的違約相依結(jié)構(gòu)， 直接根據(jù)估計出來的多元聯(lián)合損失分布反映債務(wù)人的違約相依關(guān)系。

多元結(jié)構(gòu)因子模型具有與首次到達時間模型相似的缺陷， 即只能采用Monte Carlo模擬的方法來進行估計， 計算非常耗時。對該類模型的拓展主要是對因子服從的隨機過程的改進上， 以提高計算效率和擬合效果。

(二)多元泊松方法

CDO定價的多元泊松方法是將可靠性理論(reliability theory)， 又稱為沖擊模型， 移植到信用風(fēng)險建模中。多元泊松模型認(rèn)為違約時間是多元泊松過程發(fā)生第一次跳躍的時間， 當(dāng)泊松過程Nti發(fā)生第一次跳躍， 將引發(fā)資產(chǎn)i的違約。違約事件的相依關(guān)系由引發(fā)一組資產(chǎn)以給定概率違約的系統(tǒng)事件或共同沖擊之間的相依關(guān)系決定。在此框架下， 我們討論最簡單的情形， 即每次違約事件由特殊的死亡沖擊(fatal shock, 即導(dǎo)致違約發(fā)生)或共同沖擊引發(fā)， 共同沖擊不一定是死亡沖擊[注]注意特殊沖擊與共沖擊類似于因子模型中的特殊因子和共同因子。。則可導(dǎo)致資產(chǎn)i違約的泊松過程表示為：

(17)

根據(jù)以上的分析， 可得違約概率為：

如同多元結(jié)構(gòu)因子模型， 多元泊松方法依然屬于單因子框架， 而且因子隨時間改變， 所以該方法是動態(tài)方法， 并得到違約概率是離散的隨機變量。

四、 仿射強度因子模型

(18)

在仿射模型中， 違約時間的相依關(guān)系主要體現(xiàn)在違約強度的相依結(jié)構(gòu)上。Duffie等人提出違約強度的因子表達式以刻畫違約強度的相依結(jié)構(gòu)。[8]

其中， α為非負(fù)參數(shù)， 反映了共同因子xt的重要性并控制違約強度的相依關(guān)系， x和xi是獨立的， 并服從仿射跳躍擴散(AJD, affine jump diffusion)過程。選擇AJD過程有以下兩個優(yōu)點： 一是違約強度λi也服從于仿射跳躍擴散過程， 從而可得到違約概率的解析表達式； 二是能得到靈活的違約強度的動態(tài)機制。缺陷是仿射強度模型不能所有期限的信用違約互換的報價， 參數(shù)校準(zhǔn)過程比較復(fù)雜。

仿射強度模型對違約強度引入因子模型， 并且因子是隨時間變化而改變的， 所以是動態(tài)模型。Gregory和Laurent較早采用仿射模型的因子表達式推出違約概率分布，[32]，[44-45]進一步推廣了仿射強度模型， 增加參數(shù)選擇的靈活性， 為參數(shù)校準(zhǔn)和CDO分券定價發(fā)展更有效率的數(shù)值計算方法。Feldhutter運用信用違約互換和CDO分券價差的大量數(shù)據(jù)， 對仿射強度模型進行實證研究， 發(fā)現(xiàn)該模型與CDO分券的盯市(Marked-to-market)價差的匹配能力較好， 但不能抓住高級分券利差的變化。[46]

五、 結(jié)論

因子方法為大量的CDO定價和風(fēng)險度量模型提供了一個統(tǒng)一的框架， 這對模型比較與選擇、 抓住定價和風(fēng)險度量模型的核心和未來發(fā)展趨勢具有重要意義。通過上面的分析， CDO因子方法框架具有以下四個優(yōu)點：

第一， 因子方法框架能容納大部分主要的CDO定價和風(fēng)險度量模型。近年來， 除因子copula模型外， 多元因子模型、 仿射強度因子模型也獲得了較快發(fā)展， 為違約相依結(jié)構(gòu)的度量提供了一種替代的方法。

第二， 因子方法是個開放的框架， 很容易進行拓展。可以看出， 有三條主線對CDO定價和風(fēng)險度量模型進行拓展。一是改進因子分布或服從的隨機過程、 共同因子的相依結(jié)構(gòu)。二是對因子模型參數(shù)的隨機化。三是多因子模型和動態(tài)因子模型的發(fā)展。現(xiàn)有的CDO定價和風(fēng)險度量模型基本上都是按這三個方向展開的。

第三， 因子模型作為一種降維技術(shù)， 是解決違約相依結(jié)構(gòu)維度問題的重要工具， 能極大的提高計算效率， 有些模型能得出違約分布的解析或半解析的結(jié)果。

第四， 隨著多元分析理論與實踐的發(fā)展， 一些新的降維技術(shù)不斷被提出來。如獨立成分析， 作為主成份分析和因子分析的進化版本， 在工程和信號系統(tǒng)領(lǐng)域獲得廣泛運用。我們有必要研究獨立成分分析在組合資產(chǎn)定價和風(fēng)險度量中的運用， 充分利用獨立成分分析計算的準(zhǔn)確性和高效性。

參考文獻：

[1] Black F, Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities [J]. Journal of Political Economy， 1973(3): 637-654.

[2] Merton R C. On the pricing of corporate debt: the risk structure of interest rates [J]. Journal of Finance， 1974(2): 449-470.

[3] Hull J, Predescu M, White A. The valuation of Correlation-dependent credit derivatives using a structural model [R]. New York: University of Toronto, 2005.

[4] Jarrow R A, Turnbull S M. Pricing derivatives on financial securities subject to credit risk [J]. Journal of Finance. 1995(5): 53-85.

[5] Duffie D, G arleanu N. Risk and the valuation of collateralized debt obligations [J]. Financial Analyst Journal, 2001(2): 51-59.

[6] Schonbucher P, Schubert D. Copula dependent default risk in intensity models [J]. Journal of Derivatives， 2001(3): 1-25.

[7] Giesecke K. Portfolio credit risk: top-down vs bottom-up [M]//Cont R. Frontiers in Quantitative Finance: Credit risk and Volatility modeling. Hoboken: John Wiley & Sons, 2009: 251-268.

[8] Schonbucher P J. Portfolio losses and the term structure of loss transition rates: a new methodology for the pricing of portfolio credit derivatives [J]. Journal of Computational Finance, 2006(1): 11-35.

[9] 陳田， 秦學(xué)志. 債務(wù)抵押債券(CDO)定價模型研究綜述 [J]. 管理學(xué)報， 2008(4): 616-624.

[10] Nelsen R B. An Introduction to Copulas [M]. New York: Springer, 2006.

[11] Cherubini U, Luciano E, Vecchiato W. Copula Methods in Finance [M]. England: John Wiley & Sons Ltd, 2004.

[12] Li D. On default correlation: a copula approach [J]. Journal of Fixed Income， 2001(9): 43-54.

[13] Schonbucher P J, Schubert D. Copula dependent default risk in intensity models [J]. Journal of Derivatives, 2001(3): 1-25.

[14] Vasicek O. Loan portfolio value [J]. Risk， 2002(12): 160-162.

[15] Cowell F, Racheva B, Truck S. Recent advances in credit risk management [M]//Georg Bol, Rachev S T. Risk Assessment Decisions in Banking and Finance. Heidelberg: Springer, 2009:

[16] Embrechts P, Mcneil A, Straumann D. Correlation: Pitfalls and Alternatives [J]. Risk， 1999(12): 69-71.

[17] Andersen L, Sidenius J, Basu S. All your hedges in one basket [J]. Risk， 2003(11): 67-72.

[18] Frey R, Mcneil A. Dependent defaults in models of portfolio credit Risk [J]. Journal of Risk， 2003(1): 59-92.

[19] Mashal R, Naldi M, Zeevi A. Extreme events and multiname credit derivatives [M]//Gregory J. Credit Derivatives: The Definitive Guide. Landon:Risk Books, 2003: 313-338.

[20] Demarta S, Mcneil A. The t copula and related copulas [J]. International Statistical Review， 2005(1): 111-129.

[21] Schloegl L, Okane D. A note on the large homogeneous portfolio approximation with the student t copula [J]. Finance and Stochastics, 2005(4): 577-584.

[22] Hull J, White A. Valuation of a CDO and an nth to default CDS without Monte Carlo simulation [J]. Journal of Derivatives， 2004(2): 8-23.

[23] Guegan D, Houdain J. Collateralized debt obligations pricing and factor models: a new methodology using normal inverse Gaussian distributions [J]. Journal of Structured Finance, 2005(5): 12-35.

[24] Kalemanova A, Schmid B, Werner R. The normal inverse Gaussian distribution for synthetic CDO pricing [J]. Springer， 2007(3): 80-93.

[25] Moosbrucker T. Pricing CDOs with correlated variance gamma ditributions [J]. Journal of Quantitative finance, 2006(8): 1-34.

[26] Albrecher H, Ladoucette S, Schoutens W. A generic one-factor Levy model for pricing synthetic CDOs [M]//Rache V S. Advances in Mathematical Finance. Landon: Birkh?user, 2007: 259-278.

[27] Wang D, Rachev S, Fabozzi F. Pricing Tranches of CDO and a CDS index: recent advances and future research [M]//Bol G, Rachev S, Wurth R. Risk Assessment: Decisions in Banking and Finance. Heidelberg: Physica-Verlag, 2009: 263-286.

[28] Andersen L, Sidenius J. Extensions to the Gaussian copula: random recovery and random factor loading [J]. Journal of Credit Risk， 2005(1): 29-70.

[29] Marshall A, Olkin I. Families of multivariate distributions [J]. Journal of American Statistical Association, 1988(7): 834-841.

[30] Laurent J, Gregory J. Basket default swaps, CDOs and factor copulas [J]. Journal of Risk， 2005(4): 103-122.

[31] Gregory J, Laurent J. I will survive [J]. Risk， 2003(6): 103-107.

[32] Madan D, Konikov M, Marinescu M. Credit and basket default swaps [R]. Bloomberg LP, 2004.

[33] Friend A, Rogge E. Correlation at first sight [J]. Economic Notes， 2005(2): 155-183.

[34] Rogger E, Schonbucher P. Modelling dynamic portfolio credit risk [R]. Imperial College, 2003.

[35] Black F, Cox J. Valuing corporate securities: some effects of bond indenture provisions [J]. Journal of Finance， 1976(1): 351-367.

[36] Marshall A, Olkin I. A multivariate exponential distribution [J]. Journal of the American Statistical Association, 1967(2): 30-44.

[37] Arvanitis A, Gregory J. Credit: the complete guide to pricing, hedging and risk management [M]. London: Risk Books, 2004.

[38] Lindskog F, Mcneil A. Common Poison shock models: applications to insurance and credit risk modeling [J]. ASTIN Bulletin， 2003(2): 209-238.

[39] Duffie D, Singleton K. Simulating correlated defaults [J]. Journal of Financial Risk, 1999(4): 23-41.

[40] Wong D. Copula from the limit of multivariate binary model [J]. Journal of American Statistical Association, 2000(4): 35-67.

[41] Giesecke K. A simple exponential model for dependent defaults [J]. Journal of Fixed Income, 2003(12): 74-83.

[42] Brigo D, Pallavicini A, Torresetti. CDO calibration with the dynamic generalized Poisson loss model [J]. Risk， 2007(5): 70-75.

[43] Brigo D, Pallavicini A, Torresetti R. Cluster-based extension of the generalized Poisson loss dynamics and consistency with single names [J]. Internatonal Journal of Theoretical and Applied Finance， 2007(4): 607-631.

[44] Mortensen A. Semi-analytical valuation of basket credit derivatives in intensity-based models [J]. Journal of Derivatives， 2006(4): 8-26.

[45] Eckner A. Computational techniques for basic affine models of portfolio credit risk [J]. Journal of Risk, 2007(6): 1-43.

[46] Feldhutter P. An empirical investigation of an intensity-based model for pricing CDO tranches [J]. Journal of Empirical Finance, 2007(3): 1-25.