許業(yè)友

(華南理工大學(xué) 金融工程研究中心， 廣東 廣州 510006)

資產(chǎn)定價(jià)是數(shù)理金融學(xué)的重要內(nèi)容， 涉及到證券及其衍生產(chǎn)品的定價(jià)、 利率期限結(jié)構(gòu)理論。金融衍生產(chǎn)品定價(jià)過(guò)程中， 需要對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格運(yùn)動(dòng)過(guò)程作出假設(shè)。著名的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型就假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程為幾何布朗運(yùn)動(dòng)， 也就是資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布。該模型在一系列嚴(yán)格假設(shè)的基礎(chǔ)上， 得出了數(shù)學(xué)上近乎完美的歐式看漲期權(quán)的閉形解析公式。但正態(tài)分布對(duì)市場(chǎng)數(shù)據(jù)的擬合出現(xiàn)較大偏差， Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型受到質(zhì)疑。實(shí)證研究表明金融資產(chǎn)的對(duì)數(shù)收益率的概率密布分布具有比正態(tài)分布大的峰度， 是有偏分布。收益率的波動(dòng)率具有聚類現(xiàn)象， 并不為常數(shù)。為了更好地描述資產(chǎn)價(jià)格運(yùn)動(dòng)過(guò)程， 必須尋找能擬合市場(chǎng)的有偏、 超出峰度和波動(dòng)率聚類等特征的分布。Lévy過(guò)程正是在這樣的背景下被引入到金融應(yīng)用中。本文擬利用Lévy過(guò)程中的Meixner過(guò)程對(duì)滬深300指數(shù)進(jìn)行擬合， 并與正態(tài)分布進(jìn)行比較。

一、 文獻(xiàn)綜述

大量實(shí)證研究表明股票市場(chǎng)收益率不符合正態(tài)分布， 而是明顯偏離正態(tài)分布， 具有尖峰和厚尾等特性。Osborne在1964年描繪股票市場(chǎng)收益率的密度函數(shù)時(shí)， 就注意到了密度函數(shù)的尾部比本來(lái)應(yīng)有的“近似正態(tài)”形狀要肥胖； Cootner主編的經(jīng)典文集《股票市場(chǎng)價(jià)格的隨機(jī)性》發(fā)表后， 一般人都接受了價(jià)格變化的分布形狀具有肥胖的尾部這一事實(shí)， 但對(duì)此正態(tài)性形狀的偏離含義卻無(wú)定論； Mandelbrot在1964年提出了收益率可能屬于“穩(wěn)定帕雷托”分布， 這種分布具有無(wú)定義或無(wú)限的方差， 嚴(yán)重動(dòng)搖了股票市場(chǎng)收益率或價(jià)格變化的近似正態(tài)分布假說(shuō)； Falma在1965年完整研究了股票日收益率， 發(fā)現(xiàn)收益率是負(fù)偏斜的， 在左邊的尾部比在右邊的尾部有更多的觀測(cè)值； Sharpe在《資產(chǎn)組合理論和資本市場(chǎng)》中也注意到了這一點(diǎn)； Turner和Weigel在1990年對(duì)1928-1990年的S&P指數(shù)的日收益率進(jìn)行了研究， 發(fā)現(xiàn)與正態(tài)分布相比較， S&P指數(shù)的日收益率分布是負(fù)偏斜的， 在均值附近有更大的收益率頻數(shù)等。市場(chǎng)價(jià)格的非正態(tài)分布特性并不限于美國(guó)股票市場(chǎng)， Sterge在對(duì)歐洲美元合約的期貨價(jià)格的研究中發(fā)生了同樣的尖峰態(tài)分布， 非常大的價(jià)格變化出現(xiàn)次數(shù)相當(dāng)于正態(tài)分布所預(yù)言的兩到三倍(Peters， EE.， 1994)。[1]

相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)利用具體的Lévy過(guò)程擬合股票收益率作了詳細(xì)的研究。Madan and Seneta (1987， 1990)建議使用方差伽瑪過(guò)程(Variance Gamma process， VG process)。Eberlein和Keller (1995) 建議雙曲模型(Hyperbolic Model)， 而Barndorff Nielsen (1995)則選擇正態(tài)逆高斯分布。在一系列文獻(xiàn)中， Eberlein和他的合作者建立了廣義雙曲模型(Generalized Hyperbolic Model)， 前述三種模型是廣義雙曲模型的特例。Carr et al.(2002)引入CGMY模型， 有些研究人員也稱其為KoBoL模型。Schoutens(2002)利用Meixner過(guò)程對(duì)世界主要股票指數(shù)進(jìn)行擬合， 相對(duì)于正態(tài)分布擬合， 取得了明顯的改進(jìn)效果。[2]

國(guó)內(nèi)實(shí)證研究方面， 王新宇等(2006)分別采用穩(wěn)定分布、 漸近帕累托分布和截?cái)嗔芯S分布擬合中國(guó)股票市場(chǎng)收益統(tǒng)計(jì)分布， 對(duì)我國(guó)滬深股市收益的統(tǒng)計(jì)分布特征和市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)律進(jìn)行了定量比較研究。實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)中國(guó)股市收益分布的中間部分適合用穩(wěn)定分布描述， 分布的尾部適合用尾部指數(shù)大于2 的漸近帕累托分布描述， 即是具有尖峰厚尾特征的有限方差不對(duì)稱分布， 揭示出中國(guó)股市中高收益事件比低收益事件發(fā)生的更為頻繁， 深圳市場(chǎng)比上海市場(chǎng)的投資風(fēng)險(xiǎn)要高。[3]李道葉(2007)則在非線性框架下研究了我國(guó)股市收益率特征。結(jié)論認(rèn)為： 第一， 我國(guó)股票市場(chǎng)價(jià)格收益率行為不符合有效市場(chǎng)假定， 收益率分布存在明顯尖峰厚尾行為， 收益率存在長(zhǎng)期相關(guān)性與持續(xù)性。第二， 我國(guó)股票市場(chǎng)價(jià)格收益率行為存在周期性現(xiàn)象， 具有一定數(shù)量的非規(guī)則周期。第三， 異方差模型在我國(guó)股票市場(chǎng)能得到很好的擬合， 好壞消息對(duì)指數(shù)收益率變化的沖擊是不對(duì)稱的， 交易成本的上調(diào)對(duì)股票市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)性有明顯的影響， 而下調(diào)則影響甚微。第四， 如果把股票市場(chǎng)視為一個(gè)復(fù)雜性系統(tǒng)， 分形與混沌等理論檢驗(yàn)表明我國(guó)股票市場(chǎng)價(jià)格收益率具有明顯非線性特征， 最少可用4個(gè)狀態(tài)變量建立滬深兩市大盤指數(shù)價(jià)格序列系統(tǒng)模型。第五， 兩市股價(jià)波動(dòng)具有明顯的時(shí)變性、 聚類性及共動(dòng)性， 風(fēng)險(xiǎn)與收益間關(guān)系不顯著； 用ARIMA模型對(duì)我國(guó)股票市場(chǎng)收益率波動(dòng)預(yù)測(cè)效果一般。[4]

馮雅琴等(2005)利用Esscher變換和風(fēng)險(xiǎn)中性Esscher測(cè)度探討了復(fù)合泊松過(guò)程和Meixner過(guò)程驅(qū)動(dòng)的歐式看漲期權(quán)定價(jià)公式。陳旭(2007)利用幾何Lévy過(guò)程研究了從屬市場(chǎng)的期權(quán)定價(jià)， 以及交換期權(quán)和外匯期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題。萬(wàn)建平(2007)研究了基于雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型的可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)。[5]

二、 滬深300指數(shù)的經(jīng)驗(yàn)特征

滬深300指數(shù)是由上海和深圳證券市場(chǎng)中選取300只A股作為樣本編制而成的成份指數(shù)， 指數(shù)基期是2004年12月31日， 指數(shù)基點(diǎn)1000點(diǎn)。滬深300指數(shù)是上海證券文易所和深圳證券交易所第一次聯(lián)合發(fā)布的反映A股市場(chǎng)整體走勢(shì)的指數(shù)。它的推出， 豐富了市場(chǎng)現(xiàn)有的指數(shù)體系， 增加了一項(xiàng)用于觀察市場(chǎng)走勢(shì)的指標(biāo)， 有利于投資者全面把握市場(chǎng)運(yùn)行狀況， 也進(jìn)一步為指數(shù)投資產(chǎn)品的創(chuàng)新和發(fā)展提供了基礎(chǔ)條件。我國(guó)擬推出的股指期貨就將以其為標(biāo)的資產(chǎn)。研究滬深300指數(shù)的收益分布特征， 選擇合適的模型進(jìn)行擬合， 對(duì)將來(lái)充分利用股指期貨套期保值功能、 有效規(guī)避股票現(xiàn)貨市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)來(lái)說(shuō)， 具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

(一)數(shù)據(jù)描述

本文的研究對(duì)象為滬深300指數(shù)收益率序列。樣本周期為2005年4月8日至2009年10月22日， 共1104個(gè)觀測(cè)值， 然后把樣本數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為連續(xù)復(fù)利日收益率， 得到樣本容量為1103的收益率序列。統(tǒng)計(jì)分析表明， 滬深300指數(shù)收益率序列的分布具有超出峰度、 有偏等特征， 也具有其它金融序列中常見的波動(dòng)聚類現(xiàn)象。

圖1 滬深300指數(shù)日對(duì)數(shù)收益率序列

表1是樣本收益率的描述性統(tǒng)計(jì)特征。樣本期間， 滬深300指數(shù)的日均收益率為0.11%， 年度化波動(dòng)率為35%， 超出峰度5.04， 偏度0.018。

表1 樣本收益率的統(tǒng)計(jì)特征

(二)經(jīng)驗(yàn)分布

為了獲得滬深300指數(shù)的經(jīng)驗(yàn)概率密度分布， 本文采用高斯核密度估計(jì)方法估計(jì)其經(jīng)驗(yàn)分布。估計(jì)的密度函數(shù)如下；

(1)

圖2給出了樣本的高斯核估計(jì)密度分布和正態(tài)分布(以樣本均值為均值， 樣本方差為方差的正態(tài)分布)。從圖中可知， 正態(tài)分布在擬合樣本數(shù)據(jù)方面， 尤其是對(duì)峰度的擬合， 表現(xiàn)出很大的差距。

圖2 樣本的核密度估計(jì)和正態(tài)分布密度

三、 Lévy過(guò)程建模

(一)Lévy過(guò)程的定義

具有連續(xù)樣本路徑的Brownian運(yùn)動(dòng)和純跳的Poisson過(guò)程均屬于Lévy過(guò)程。Lévy過(guò)程最本質(zhì)的特征是具有平穩(wěn)獨(dú)立增量。首先我們給出Lévy過(guò)程的定義。

令X=(X(t),t≥0)為一定義在概率空間(Ω， F，P)上的實(shí)值隨機(jī)過(guò)程， 若它滿足：

(1) 對(duì)?n≥1和0≤t0

(2)X(0)=0a.s，

(3)X(s+t)-X(s)的分布不依賴于s，

(4)X隨機(jī)連續(xù)， 即對(duì)?a>0,s≥0，

(2)

則X是一Lévy過(guò)程。

Lévy過(guò)程是具有無(wú)窮可分(infinitely divisible)分布函數(shù)的隨機(jī)過(guò)程。記Lévy過(guò)程的特征函數(shù)為φX(u)=E(eiuX)， 則累積量(cumulant)特征函數(shù)Ψ(u)=logφX(u)， 也稱為特征指數(shù)， 滿足Lévy-Khintchine公式：

(3)

其中，γ∈R，σ2≥0，ν是列維測(cè)度。(γ，σ2，ν(dx))稱為列維特征三元組。

從Lévy-Khintchine公式可知， 一個(gè)Lévy過(guò)程由三個(gè)部分組成： 線性確定性部分、 布朗運(yùn)動(dòng)和純跳躍過(guò)程， Lévy測(cè)度控制跳是如何發(fā)生的。

(二)Meixner過(guò)程

Lévy過(guò)程在應(yīng)用中產(chǎn)生了很多具體的概率密度分布， 如VG分布、 NIG分布、 CGMY分布、 Hyperbolic Model， 以及Meixner分布。文獻(xiàn)[2]利用多個(gè)分布對(duì)多個(gè)股票指數(shù)建模， 發(fā)現(xiàn)Meixner過(guò)程對(duì)指數(shù)的擬合較好。本文選擇Meixner過(guò)程對(duì)滬深300指數(shù)的收益率系列進(jìn)行建模。

Meixner過(guò)程源自正交多項(xiàng)式理論， 首先由Schoutens和Teugels(1998)提出， Grigelionis(1999)認(rèn)為Meixner過(guò)程可以更好的擬合股票收益率。Meixner過(guò)程的分布密度函數(shù)為：

fMeixner(x;a,b,d,m)

(4)

其中a>0； -π 0，m為實(shí)數(shù)。Meixner過(guò)程的特征函數(shù)為：

φMeixner(u;a,b,d,m)

(5)

Meixner過(guò)程的Lévy特征三元組為(γ， 0，v(dx))， 其中：

(6)

(7)

從Meixner過(guò)程的Lévy特征三元組可知， Meixner過(guò)程是不含布朗運(yùn)動(dòng)的純跳躍過(guò)程。 表2給出了Meixner分布的均值等數(shù)字特征量的參數(shù)表達(dá)式。 從公式可知， 當(dāng)參數(shù)b=0時(shí)， Meixner分布為對(duì)稱分布(未進(jìn)行均值校正)， 均值和偏度為零。

表2 Meixner過(guò)程的數(shù)字特征

(三)市場(chǎng)模型與擬合

假設(shè)金融市場(chǎng)中風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格運(yùn)動(dòng)過(guò)程St=S0exp(Xt)， 其中Χ={Χt，t≥0}為Meixner過(guò)程。因此該模型中風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的對(duì)數(shù)收益率log(St+1/St)是一個(gè)具有獨(dú)立和平穩(wěn)分布增量的隨機(jī)序列， 即服從Meixner分布的隨機(jī)過(guò)程。本文采用Meixner過(guò)程對(duì)樣本數(shù)據(jù)的收益率序列進(jìn)行擬合。首先用最大似然估計(jì)法(MLE)對(duì)Meixner分布的參數(shù)進(jìn)行了估計(jì)， 結(jié)果如表3。

表3 Meixner分布的參數(shù)估計(jì)

圖3 樣本的核密度估計(jì)和擬合的Meixner分布

圖3是根據(jù)估計(jì)的Meixner分布參數(shù)繪出的Meixner分布的概率密度函數(shù)。為了便于比較， 也繪制了樣本數(shù)據(jù)的高斯核估計(jì)分布密度。與圖2的正態(tài)分布相比， Meixner分布較好地?cái)M合了樣本數(shù)據(jù)的超出峰度、 偏度和半厚尾現(xiàn)象。

滬深300指數(shù)作為我國(guó)未來(lái)股指期貨的標(biāo)的資產(chǎn)， 研究其分布特征， 尋找相應(yīng)的隨機(jī)過(guò)程模擬其隨機(jī)行為， 對(duì)未來(lái)進(jìn)行股指期貨投資， 構(gòu)建于其上的權(quán)證等衍生產(chǎn)品設(shè)計(jì)、 開發(fā)、 投資等具有重要意義。

本文利用滬深300指數(shù)樣本數(shù)據(jù)， 首先用高斯核密度法估計(jì)了樣本的經(jīng)驗(yàn)分布， 證實(shí)滬深300指數(shù)收益率序列的分布具有超出峰度、 有偏， 收益率的波動(dòng)率有聚類特征， 正態(tài)分布在擬合滬深300指數(shù)收益率時(shí)出現(xiàn)較大偏差。在此背景下， 提出采用Lévy過(guò)程中的Meixner過(guò)程對(duì)市場(chǎng)進(jìn)行建模， 并對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行了擬合。實(shí)證結(jié)果表明： Meixner過(guò)程能較好地?cái)M合樣本數(shù)據(jù)的超出峰度和偏度。

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