由 X上理想族誘導(dǎo)出的＊X上的 I-拓?fù)?/h1>
2010-12-26 08:59:08馬春暉李生剛史艷維
東北師大學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版） 2010年3期
馬春暉,李生剛,史艷維
(1.陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,陜西西安710062;
2.西安建筑科技大學(xué)理學(xué)院,陜西西安710055;
3.西安培華學(xué)院基礎(chǔ)部,陜西西安710125)
由X上理想族誘導(dǎo)出的＊X上的 I-拓?fù)?/p>
馬春暉1,2,李生剛1,史艷維3
(1.陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,陜西西安710062;
2.西安建筑科技大學(xué)理學(xué)院,陜西西安710055;
3.西安培華學(xué)院基礎(chǔ)部,陜西西安710125)
在非標(biāo)準(zhǔn)擴(kuò)大模型下,利用集合X上全體理想之族,誘導(dǎo)出了集合X的非標(biāo)準(zhǔn)擴(kuò)張＊X上的一種拓?fù)洹狪-拓?fù)?研究了集合X上全體理想之族的基本性質(zhì)及理想族上、下確界存在的條件.在此基礎(chǔ)上,利用X上全體理想之族誘導(dǎo)出了＊X上的 I-拓?fù)?討論了 I-拓?fù)涞木o性、分離性等基本性質(zhì)及其在非標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)鋵W(xué)中的一些應(yīng)用.
非標(biāo)準(zhǔn)擴(kuò)大模型;理想;單子;I-拓?fù)?弱 Hausdo rff
非標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)鋵W(xué)是非標(biāo)準(zhǔn)分析理論的一個(gè)重要的研究方向[1],對(duì)它的研究是非標(biāo)準(zhǔn)分析理論前進(jìn)的主要?jiǎng)恿χ?非標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)鋵W(xué)的研究大致分為兩個(gè)方面:一是利用非標(biāo)準(zhǔn)分析理論的有關(guān)知識(shí)對(duì)拓?fù)鋵W(xué)中的概念和結(jié)論進(jìn)行非標(biāo)準(zhǔn)刻畫,進(jìn)而得到較原有結(jié)論簡(jiǎn)潔、直觀的結(jié)果[2-4];二是在集合X的非標(biāo)準(zhǔn)擴(kuò)張＊X上構(gòu)造出一種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),利用非標(biāo)準(zhǔn)模型的特性,討論其拓?fù)湫再|(zhì)[5-8].
本文主要是對(duì)非標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)鋵W(xué)的第二個(gè)研究方面做了一些嘗試性探討.在非標(biāo)準(zhǔn)擴(kuò)大模型下,利用集合X上全體理想之族,誘導(dǎo)出了集合X的非標(biāo)準(zhǔn)擴(kuò)張＊X上的一種拓?fù)洹狪-拓?fù)?討論了 I-拓?fù)涞木o性、分離性等基本性質(zhì)及其在非標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)鋵W(xué)中的一些應(yīng)用.
1 預(yù)備知識(shí)
2 理想族及其上、下確界
3 由X上的理想族誘導(dǎo)出的＊X上的拓?fù)洹狪-拓?fù)?/h2>
接下來討論 I-拓?fù)淇臻g(X,T)的分離性.
引理3.1 設(shè)A?＊X,則A°=ν(Id(A)),其中A°表示集合A在 I-拓?fù)淇臻g(X,T)中的內(nèi)部.
證明由于A?＊X,則 Id(A)是由A生成的X上的離散理想,即 Id(A)∈I,所以ν(Id(A))∈T.又ν(Id(A))= ∪{＊G|＊G?A},于是ν(Id(A))?A.假設(shè)G是包含在A中的 I-開集,則G≠＊X,于是存在I∈I,使得G=ν(I),這樣對(duì)于任意的I∈I,＊I?G?A,由 Id(A)的定義,I∈Id(A),即 I?Id(A),由引理2.1,G=ν(I)?ν(Id(A)).從而ν(Id(A))是包含在A中的最大 I-開集,即A°=ν(Id(A)).
引理3.2[9]ν(Id(＊X-{x}))=＊X-{x},當(dāng)且僅當(dāng)x∈X.
由引理3.1和引理3.2直接可得:
定理3.3 I-拓?fù)淇臻g(X,T)不是T1空間,進(jìn)而不是 Hausdorff空間.
但 I-拓?fù)淇臻g(X,T)仍具有以下弱分離性:
引理3.3 設(shè)A?X,則＊A既是 I-開集,又是 I-閉集.
證明若A=X,則＊X顯然既是 I-開集,又是 I-閉集.若A?X,則由例2.1知,I(A)是X上的一個(gè)由A生成的主理想,這樣ν(I(A))=∩{＊G|G?X,G?A}=＊A,也就是說,對(duì)于任意的A?X,存在I(A)∈I,使得＊A=ν(I(A)),即＊A∈T.同理＊X-＊A=＊(X-A)是 I-開集,所以＊A又是 I-閉集.從而,對(duì)于任意的A?X,＊A既是 I-開集,又是 I-閉集.
定理3.4 I拓?fù)淇臻g(X,T)是弱 Hausdorff空間.
證明設(shè)x,y∈＊X,G是點(diǎn)x的任意一個(gè) I-開鄰域,并且y?G.由于y?G,所以G≠＊X,由 T的定義,存在X上的理想 I∈I,使得x∈G=ν(I),這樣,根據(jù)理想單子的定義,存在I∈I,x∈＊I?G.由引理3.3,＊I既是 I-開集,又是 I-閉集.從而＊X-＊I也既是 I-開集,又是 I-閉集.而＊X-＊I?＊X-G,于是y∈＊X-＊E.即存在 I-開集＊E和＊X-＊I,使得x∈＊I,y∈＊X-＊I,且＊I∩(＊X-＊I)= ?,亦即 I拓?fù)淇臻g(X,I)是弱 Hausdorff空間.
在一般拓?fù)淇臻g,有以下結(jié)論:
引理3.4[10]在任一拓?fù)淇臻g中,對(duì)于任意的閉集A,A∪B°?(A∪B)°,其中Y°表示集合Y在該拓?fù)淇臻g下的內(nèi)部.
定理3.5 設(shè)集合A既是 I-開集,又是 I-閉集,則對(duì)于任意的B?＊X,A°∪B°=(A∪B)°.
證明一方面,因?yàn)锳?A∪B,所以A°?(A∪B)°.同理可得B°?(A∪B)°,于是A°∪B°?(A∪B)°.另一方面,因?yàn)榧螦是 I-閉集,所以對(duì)于任意的B?＊X,A∪B°?(A∪B)°,而A又是 I-開集,所以A=A°,于是A°∪B°?(A∪B)°.從而,A°∪B°=(A∪B)°.
定理3.6 設(shè)A?＊X,則以下結(jié)論等價(jià):
(1)集合A是標(biāo)準(zhǔn)集合;
(2)集合A既是 I-開集,又 I-閉集;
(3)對(duì)于任意的B?＊X,A°∪B°=(A∪B)°.
證明只需證明(3)?(1).令B=＊X-A,則A°∪B°=(A∪B)°=(A∪(＊X-A))°=＊X°=＊X,由引理3.1,A°∪B°=ν(Id(A))∪ν(Id(B))=＊X,于是存在G∈Id(A),H∈Id(B)滿足＊G∪＊H=＊X,由Id(A)和 Id(B)的定義,A?＊G,B?＊H,所以A∪B=＊X,又A∩B= ?,因此A=＊G,即集合A是標(biāo)準(zhǔn)集合.
定理3.7 設(shè)集合A是 I-開集,I∈I,若對(duì)于任意的I∈I,A∪＊I≠＊X,則A∪ν(I)≠＊X.
證明顯然A≠＊X,否則對(duì)于任意的I∈I,A∪＊I=＊X.于是,由引理3.1和集合A是 I-開集,有A=A°=ν(Id(A)).因?yàn)閷?duì)任意的I∈I,A∪＊I≠＊X,所以ν(Id(A))∪＊I≠＊X,于是,對(duì)任意的G∈Id(A),＊G∪＊I≠＊X,由轉(zhuǎn)換原理,G∪I≠＊X.又由定理 2.3和定理 2.4,Id(A)∨I存在,因此＊X≠Id(A)∨ν(I)=ν(Id(A))∪ν(I)=A°∪ν(I)=A∪ν(I),即A∪ν(I)≠＊X.
[1] DAV ISM.App lied nonstandard analysis[M].New York:Wiley,1977:83-117.
[2] 史艷維,陳東立,馬春暉.理想收斂理論的非標(biāo)準(zhǔn)刻畫[J].西安建筑科技大學(xué)學(xué)報(bào),2005,37(2):294-296.
[3] 陳東立,馬春暉,苑文法.濾子收斂的非標(biāo)準(zhǔn)特征及其應(yīng)用[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2004,20(1):10-13.
[4] 陳東立,馬春暉,王平安.網(wǎng)收斂的非標(biāo)準(zhǔn)特征及其應(yīng)用[J].西安建筑科技大學(xué)學(xué)報(bào),2003,35(3):289-291.
[5] 陳東立,馬春暉,史艷維.拓?fù)涞姆菢?biāo)準(zhǔn)定義[J].西北大學(xué)學(xué)報(bào),2006,36(3):348-351.
[6] 陳東立,馬春暉,史艷維.＊Tx的結(jié)構(gòu)及其性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)研究與評(píng)論,2007,27(4):671-673.
[7] 陳東立,馬春暉,史艷維.度量空間中的擬近標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)及度量空間的非標(biāo)準(zhǔn)完備化[J].陜西師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008,36(3):10-12.
[8] 陳庭勇,殷樹友,林和平.RBF人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)定義與解的唯一性證明[J].東北師大學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,41(3):30-35.
[9] LUXEMBURGW A J.A general theo ry of monads[M].New Yo rk:Halt,1969:7-23.
[10] KELLEY J L.General topology[M].New York:Sp ringer-Verlag,1955:107-123.
The I-topology on＊X induced by the fam ily of ideals on set X
MA Chun-hui1,2,L ISheng-gang1,SH I Yan-wei3
(1.College of Mathematics and Information Science,Shanxi Normal University,Xi'an 710062,China;
2.School of Science,Xi'an University of A rchitecture and Technology,Xi'an 710055,China;
3.Department of Basic Courses,Xi'an Peihua University,Xi'an 710125,China)
The I-topology on＊Xwas induced by the family of all ideals onXunder the nonstandard enlarged model.Firstly,some p ropertiesof idealsand conditionsof existence of the sup reme and infium of a family of ideals onXwere discussed.Then the I-topology on＊Xwas defined,and some topological p roperties were show n.A t last,some app lications of I-topology in nonstandard topology were obtained.
nonstandard enlarged model;ideals;monad;I-topology;weakly Hausdorff
O141.41;O189.11
110·31
A
1000-1832(2010)03-0013-05
2009-12-27
陜西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2007A 12);西安建筑科技大學(xué)青年科技基金資助項(xiàng)目(QN0736).
馬春暉(1980—),男,博士研究生,主要從事格上拓?fù)鋵W(xué)和應(yīng)用非標(biāo)準(zhǔn)分析研究;李生剛(1959—),男,教授,博士研究生導(dǎo)師,主要從事格上拓?fù)鋵W(xué)與擬陣鄰域研究.
(責(zé)任編輯陶 理)
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馬春暉,李生剛,史艷維
(1.陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,陜西西安710062;
2.西安建筑科技大學(xué)理學(xué)院,陜西西安710055;
3.西安培華學(xué)院基礎(chǔ)部,陜西西安710125)
由X上理想族誘導(dǎo)出的＊X上的 I-拓?fù)?/p>
馬春暉1,2,李生剛1,史艷維3
(1.陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,陜西西安710062;
2.西安建筑科技大學(xué)理學(xué)院,陜西西安710055;
3.西安培華學(xué)院基礎(chǔ)部,陜西西安710125)
在非標(biāo)準(zhǔn)擴(kuò)大模型下,利用集合X上全體理想之族,誘導(dǎo)出了集合X的非標(biāo)準(zhǔn)擴(kuò)張＊X上的一種拓?fù)洹狪-拓?fù)?研究了集合X上全體理想之族的基本性質(zhì)及理想族上、下確界存在的條件.在此基礎(chǔ)上,利用X上全體理想之族誘導(dǎo)出了＊X上的 I-拓?fù)?討論了 I-拓?fù)涞木o性、分離性等基本性質(zhì)及其在非標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)鋵W(xué)中的一些應(yīng)用.
非標(biāo)準(zhǔn)擴(kuò)大模型;理想;單子;I-拓?fù)?弱 Hausdo rff
非標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)鋵W(xué)是非標(biāo)準(zhǔn)分析理論的一個(gè)重要的研究方向[1],對(duì)它的研究是非標(biāo)準(zhǔn)分析理論前進(jìn)的主要?jiǎng)恿χ?非標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)鋵W(xué)的研究大致分為兩個(gè)方面:一是利用非標(biāo)準(zhǔn)分析理論的有關(guān)知識(shí)對(duì)拓?fù)鋵W(xué)中的概念和結(jié)論進(jìn)行非標(biāo)準(zhǔn)刻畫,進(jìn)而得到較原有結(jié)論簡(jiǎn)潔、直觀的結(jié)果[2-4];二是在集合X的非標(biāo)準(zhǔn)擴(kuò)張＊X上構(gòu)造出一種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),利用非標(biāo)準(zhǔn)模型的特性,討論其拓?fù)湫再|(zhì)[5-8].
本文主要是對(duì)非標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)鋵W(xué)的第二個(gè)研究方面做了一些嘗試性探討.在非標(biāo)準(zhǔn)擴(kuò)大模型下,利用集合X上全體理想之族,誘導(dǎo)出了集合X的非標(biāo)準(zhǔn)擴(kuò)張＊X上的一種拓?fù)洹狪-拓?fù)?討論了 I-拓?fù)涞木o性、分離性等基本性質(zhì)及其在非標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)鋵W(xué)中的一些應(yīng)用.
1 預(yù)備知識(shí)
2 理想族及其上、下確界
3 由X上的理想族誘導(dǎo)出的＊X上的拓?fù)洹狪-拓?fù)?/h2>
接下來討論 I-拓?fù)淇臻g(X,T)的分離性.
引理3.1 設(shè)A?＊X,則A°=ν(Id(A)),其中A°表示集合A在 I-拓?fù)淇臻g(X,T)中的內(nèi)部.
證明由于A?＊X,則 Id(A)是由A生成的X上的離散理想,即 Id(A)∈I,所以ν(Id(A))∈T.又ν(Id(A))= ∪{＊G|＊G?A},于是ν(Id(A))?A.假設(shè)G是包含在A中的 I-開集,則G≠＊X,于是存在I∈I,使得G=ν(I),這樣對(duì)于任意的I∈I,＊I?G?A,由 Id(A)的定義,I∈Id(A),即 I?Id(A),由引理2.1,G=ν(I)?ν(Id(A)).從而ν(Id(A))是包含在A中的最大 I-開集,即A°=ν(Id(A)).
引理3.2[9]ν(Id(＊X-{x}))=＊X-{x},當(dāng)且僅當(dāng)x∈X.
由引理3.1和引理3.2直接可得:
定理3.3 I-拓?fù)淇臻g(X,T)不是T1空間,進(jìn)而不是 Hausdorff空間.
但 I-拓?fù)淇臻g(X,T)仍具有以下弱分離性:
引理3.3 設(shè)A?X,則＊A既是 I-開集,又是 I-閉集.
證明若A=X,則＊X顯然既是 I-開集,又是 I-閉集.若A?X,則由例2.1知,I(A)是X上的一個(gè)由A生成的主理想,這樣ν(I(A))=∩{＊G|G?X,G?A}=＊A,也就是說,對(duì)于任意的A?X,存在I(A)∈I,使得＊A=ν(I(A)),即＊A∈T.同理＊X-＊A=＊(X-A)是 I-開集,所以＊A又是 I-閉集.從而,對(duì)于任意的A?X,＊A既是 I-開集,又是 I-閉集.
定理3.4 I拓?fù)淇臻g(X,T)是弱 Hausdorff空間.
證明設(shè)x,y∈＊X,G是點(diǎn)x的任意一個(gè) I-開鄰域,并且y?G.由于y?G,所以G≠＊X,由 T的定義,存在X上的理想 I∈I,使得x∈G=ν(I),這樣,根據(jù)理想單子的定義,存在I∈I,x∈＊I?G.由引理3.3,＊I既是 I-開集,又是 I-閉集.從而＊X-＊I也既是 I-開集,又是 I-閉集.而＊X-＊I?＊X-G,于是y∈＊X-＊E.即存在 I-開集＊E和＊X-＊I,使得x∈＊I,y∈＊X-＊I,且＊I∩(＊X-＊I)= ?,亦即 I拓?fù)淇臻g(X,I)是弱 Hausdorff空間.
在一般拓?fù)淇臻g,有以下結(jié)論:
引理3.4[10]在任一拓?fù)淇臻g中,對(duì)于任意的閉集A,A∪B°?(A∪B)°,其中Y°表示集合Y在該拓?fù)淇臻g下的內(nèi)部.
定理3.5 設(shè)集合A既是 I-開集,又是 I-閉集,則對(duì)于任意的B?＊X,A°∪B°=(A∪B)°.
證明一方面,因?yàn)锳?A∪B,所以A°?(A∪B)°.同理可得B°?(A∪B)°,于是A°∪B°?(A∪B)°.另一方面,因?yàn)榧螦是 I-閉集,所以對(duì)于任意的B?＊X,A∪B°?(A∪B)°,而A又是 I-開集,所以A=A°,于是A°∪B°?(A∪B)°.從而,A°∪B°=(A∪B)°.
定理3.6 設(shè)A?＊X,則以下結(jié)論等價(jià):
(1)集合A是標(biāo)準(zhǔn)集合;
(2)集合A既是 I-開集,又 I-閉集;
(3)對(duì)于任意的B?＊X,A°∪B°=(A∪B)°.
證明只需證明(3)?(1).令B=＊X-A,則A°∪B°=(A∪B)°=(A∪(＊X-A))°=＊X°=＊X,由引理3.1,A°∪B°=ν(Id(A))∪ν(Id(B))=＊X,于是存在G∈Id(A),H∈Id(B)滿足＊G∪＊H=＊X,由Id(A)和 Id(B)的定義,A?＊G,B?＊H,所以A∪B=＊X,又A∩B= ?,因此A=＊G,即集合A是標(biāo)準(zhǔn)集合.
定理3.7 設(shè)集合A是 I-開集,I∈I,若對(duì)于任意的I∈I,A∪＊I≠＊X,則A∪ν(I)≠＊X.
證明顯然A≠＊X,否則對(duì)于任意的I∈I,A∪＊I=＊X.于是,由引理3.1和集合A是 I-開集,有A=A°=ν(Id(A)).因?yàn)閷?duì)任意的I∈I,A∪＊I≠＊X,所以ν(Id(A))∪＊I≠＊X,于是,對(duì)任意的G∈Id(A),＊G∪＊I≠＊X,由轉(zhuǎn)換原理,G∪I≠＊X.又由定理 2.3和定理 2.4,Id(A)∨I存在,因此＊X≠Id(A)∨ν(I)=ν(Id(A))∪ν(I)=A°∪ν(I)=A∪ν(I),即A∪ν(I)≠＊X.
[1] DAV ISM.App lied nonstandard analysis[M].New York:Wiley,1977:83-117.
[2] 史艷維,陳東立,馬春暉.理想收斂理論的非標(biāo)準(zhǔn)刻畫[J].西安建筑科技大學(xué)學(xué)報(bào),2005,37(2):294-296.
[3] 陳東立,馬春暉,苑文法.濾子收斂的非標(biāo)準(zhǔn)特征及其應(yīng)用[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2004,20(1):10-13.
[4] 陳東立,馬春暉,王平安.網(wǎng)收斂的非標(biāo)準(zhǔn)特征及其應(yīng)用[J].西安建筑科技大學(xué)學(xué)報(bào),2003,35(3):289-291.
[5] 陳東立,馬春暉,史艷維.拓?fù)涞姆菢?biāo)準(zhǔn)定義[J].西北大學(xué)學(xué)報(bào),2006,36(3):348-351.
[6] 陳東立,馬春暉,史艷維.＊Tx的結(jié)構(gòu)及其性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)研究與評(píng)論,2007,27(4):671-673.
[7] 陳東立,馬春暉,史艷維.度量空間中的擬近標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)及度量空間的非標(biāo)準(zhǔn)完備化[J].陜西師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008,36(3):10-12.
[8] 陳庭勇,殷樹友,林和平.RBF人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)定義與解的唯一性證明[J].東北師大學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,41(3):30-35.
[9] LUXEMBURGW A J.A general theo ry of monads[M].New Yo rk:Halt,1969:7-23.
[10] KELLEY J L.General topology[M].New York:Sp ringer-Verlag,1955:107-123.
The I-topology on＊X induced by the fam ily of ideals on set X
MA Chun-hui1,2,L ISheng-gang1,SH I Yan-wei3
(1.College of Mathematics and Information Science,Shanxi Normal University,Xi'an 710062,China;
2.School of Science,Xi'an University of A rchitecture and Technology,Xi'an 710055,China;
3.Department of Basic Courses,Xi'an Peihua University,Xi'an 710125,China)
The I-topology on＊Xwas induced by the family of all ideals onXunder the nonstandard enlarged model.Firstly,some p ropertiesof idealsand conditionsof existence of the sup reme and infium of a family of ideals onXwere discussed.Then the I-topology on＊Xwas defined,and some topological p roperties were show n.A t last,some app lications of I-topology in nonstandard topology were obtained.
nonstandard enlarged model;ideals;monad;I-topology;weakly Hausdorff
O141.41;O189.11
110·31
A
1000-1832(2010)03-0013-05
2009-12-27
陜西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2007A 12);西安建筑科技大學(xué)青年科技基金資助項(xiàng)目(QN0736).
馬春暉(1980—),男,博士研究生,主要從事格上拓?fù)鋵W(xué)和應(yīng)用非標(biāo)準(zhǔn)分析研究;李生剛(1959—),男,教授,博士研究生導(dǎo)師,主要從事格上拓?fù)鋵W(xué)與擬陣鄰域研究.
(責(zé)任編輯陶 理)
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