呂其寶 高彩琳 王秀娟

（天津大學 理學院，天津 300072）

一類具有反饋控制和時滯的離散系統(tǒng)的持久性

呂其寶 高彩琳 王秀娟

（天津大學 理學院，天津 300072）

研究了一類具有反饋控制和時滯的離散漁業(yè)捕獲系統(tǒng)的持久性，利用比較原理得到了系統(tǒng)持久存在的充分條件.

持久性；反饋系統(tǒng)；時滯；比較原理

0 引言

考慮下面在漁業(yè)中廣泛應用的微分方程［1－4］：

其中N（t）為生物種群的數(shù)量，L（t，N）為種群的單位增長率，M（t，N）為種群的單位死亡率，F(xiàn)（t）為人均捕獲量.

其中r＞0，控制種群密度依賴的快慢，a，K，b∈C（［0，∞），［0，∞）），他們利用研究了（2）的持久性和全局吸引的周期解的存在性.Wang［6］利用重合度理論得到了（2）存在全局吸引的周期解的一些充分條件.

近幾年，許多學者對離散系統(tǒng)進行了大量的研究，相對于連續(xù)的系統(tǒng)而言，離散系統(tǒng)在很多情況下更接近實際情況，而且在數(shù)值計算方面也能為連續(xù)模型提供有效的數(shù)值模型，例如［7－9］.

Zhang，Li和 Ye［10］研究了（2）具有自反饋控制的離散模型

他們得到了系統(tǒng)持久穩(wěn)定和存在概周期解的的充分條件.然而在現(xiàn)實世界中，種群的數(shù)量不僅與當代有關，而且與前代甚至前幾代都有很大的關系，鑒于此，本文研究與（3）相應地出現(xiàn)時滯的情況.

考慮系統(tǒng)

對于每一個有界序列｛f（n）｝，我們定義

1 相關引理

我們首先考慮下面的微分方程

其中a（n），b（n），K（n）為定義在Z上實的有界序列，am＞0，bm＞0，K m＞0.

引理1 如果N（n）是（5）滿足初始條件N（n）＞0的非負解，滿足am＞b M，則存在一個正數(shù)，使得

引理1的證明過程和文獻［10］中的Proposition3.1相似，在這里我們就不再證明了.

接下來考慮另一個微分方程

其中γ（n），ω（n）為定義在Z上實的有界序列，0＜γm≤γM＜1，ωm≥0.

引理2［9］如果N（n）是（5）滿足初始條件N（n）＞0的非負解，有

2 持久性

命題1 假設（H1）和（H2）成立，并且滿足（H3）：am＞b M，那么對（4）的任意解有：

這是矛盾的，由此可得命題2成立.

定理1 假設（H1），（H2）和（H3）成立，則系統(tǒng)（4）是持久的.

證明 由引理2和命題2可知

綜上命題1和命題2我們可知，定理1成立.

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［9］Xu Jiaobo，Teng Zhizhong.Permanence for a nonautonomous discrete single-species system with delays and feedback control［J］.Applied Mathematics Letters，2010，23：949-954

［10］Zhang Tianwei，Li Yongkun，Ye Yuan.Persistence and almost periodic solutions for a discrete fishing model with feedback control［J］.Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2011，16：1 564-1 573

Permanence of a Discrete System with Feedback Control and Delays

Lv Qibao Gao Cailing Wang Xiujuan
（College of Science，Tianjin University，Tianjin 300072，China）

The permanence of a discrete fishing system with feedback control and delays was investigated.By using comparison principle，sufficient conditions for ensuring the permanence of the system are obtained.

permanence；feedback；time delay；comparison principle

王映苗】

1672-2027（2011）03-0001-04

O175.1

A

2011-03-08

國家自然科學基金（11071185，10771159）.

呂其寶（1986-），男，山東濱州人，天津大學理學院在讀碩士研究生，主要從事動力系統(tǒng)研究.