王積建，王曉紅

（浙江工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 a.基礎(chǔ)部；b.圖書館，浙江 溫州 325003）

全程跟蹤衛(wèi)星或飛船的測(cè)控站數(shù)量模型

王積建a，王曉紅b

（浙江工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 a.基礎(chǔ)部；b.圖書館，浙江 溫州 325003）

為了確定全程跟蹤衛(wèi)星或飛船的測(cè)控站數(shù)量，在不考慮地球自轉(zhuǎn)影響和考慮地球自轉(zhuǎn)影響的情況下，使用幾何方法分別建立了對(duì)衛(wèi)星或飛船進(jìn)行全程測(cè)控時(shí)所需要的最少測(cè)控站數(shù)量模型，并針對(duì)“神舟七號(hào)”飛船給出了所需最少測(cè)控站數(shù)量，估算出“神舟七號(hào)”飛船所能測(cè)控的有效范圍。

衛(wèi)星測(cè)控；數(shù)學(xué)建模；神舟飛船

0 引 言

近年來(lái)，神舟系列飛船的成功發(fā)射顯示了我國(guó)在航天領(lǐng)域取得的巨大成就，航天也成了人們普遍關(guān)注的熱門話題。2009年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模C題就是關(guān)于衛(wèi)星或飛船的跟蹤測(cè)控問(wèn)題，給出以下三個(gè)問(wèn)題：

（1）在所有測(cè)控站都與衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行軌道共面的情況下至少應(yīng)該建立多少個(gè)測(cè)控站才能對(duì)其進(jìn)行全程跟蹤測(cè)控？

（2）如果一個(gè)衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行軌道與地球赤道平面有固定的夾角，且在離地面高度為H的球面S上運(yùn)行?？紤]到地球自轉(zhuǎn)時(shí)該衛(wèi)星或飛船在運(yùn)行過(guò)程中相繼兩圈的經(jīng)度有一些差異，至少應(yīng)該建立多少個(gè)測(cè)控站才能對(duì)該衛(wèi)星或飛船可能飛行的區(qū)域全部覆蓋以達(dá)到全程跟蹤測(cè)控的目的？

（3）收集我國(guó)一個(gè)衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行資料和發(fā)射時(shí)測(cè)控站的分布信息，分析這些測(cè)控站對(duì)該衛(wèi)星所能測(cè)控的范圍。文獻(xiàn)[1]只是給出了一個(gè)解決以上三個(gè)問(wèn)題的基本思路，但缺乏完整性和可讀性。本文在此基礎(chǔ)上進(jìn)行深入、詳細(xì)的研究，完整地解決了衛(wèi)星或飛船的全程跟蹤測(cè)控問(wèn)題。

1 問(wèn)題1的解決

1.1 當(dāng)衛(wèi)星運(yùn)行軌道為圓時(shí)

衛(wèi)星運(yùn)行軌道為圓時(shí)的剖面如圖1所示。其中，設(shè)R為地球半徑；H為衛(wèi)星距離地面的高度；為衛(wèi)星觀測(cè)站的最低仰角；v為衛(wèi)星的線速度。

在圖1所示的三角形ODS中，利用正弦定理得：

圖1 衛(wèi)星運(yùn)行軌道為圓時(shí)的剖面

其中[]內(nèi)取整數(shù)部分。

這表明衛(wèi)星到地球表面的距離越大，一個(gè)測(cè)控站的觀測(cè)范圍越大，所需測(cè)控站的數(shù)目越少。

表1 衛(wèi)星或飛船在不同高度下所需測(cè)控站數(shù)量

每個(gè)測(cè)控站所能測(cè)控的時(shí)間為：

對(duì)于“神舟七號(hào)”飛船，H=343km，所需測(cè)控站數(shù)量為n=[11.5177]+1=12個(gè)。由v=7.820km/s可得出每個(gè)測(cè)控站所能測(cè)控的時(shí)間為t=3.61m i n。

1.2 當(dāng)衛(wèi)星運(yùn)行軌道為橢圓時(shí)

以地球中心為極點(diǎn)O，衛(wèi)星運(yùn)行軌道（橢圓）的左焦點(diǎn)F1在極點(diǎn)，射線F1F2為極軸，衛(wèi)星運(yùn)行軌道為橢圓時(shí)的剖面如圖2所示。

圖2 衛(wèi)星運(yùn)行軌道為橢圓時(shí)的剖面

在圖2所示的三角形OAP1中，利用正弦定理得：

逐步遞推求解，直到 為止，此時(shí)確定的最后一個(gè)測(cè)控站為Pn。這樣一共有n+1個(gè)測(cè)控站。

由（4）、（5）、（6）式可求出近地點(diǎn)d1和遠(yuǎn)地點(diǎn)d2在不同組合下所需測(cè)控站數(shù)量（見(jiàn)表2）。

表2 橢圓軌道下所需測(cè)控站數(shù)量

以“神州七號(hào)”飛船為例，其近地點(diǎn)為200 km，遠(yuǎn)地點(diǎn)為343 km，通過(guò)計(jì)算得出需要14個(gè)測(cè)控站就可實(shí)現(xiàn)全程測(cè)控的目的?！吧裰萜咛?hào)”飛船14個(gè)測(cè)控站的坐標(biāo)（第一個(gè)測(cè)控站?。┮?jiàn)表3。

表3 “神州七號(hào)”飛船14個(gè)測(cè)控站的坐標(biāo)

畫出14個(gè)測(cè)控站點(diǎn)、地球表面曲線、飛船軌跡及每個(gè)測(cè)控站測(cè)控的范圍，如圖3所示。實(shí)線是地球表面曲線，五角星表示測(cè)控站，虛線表示飛船軌跡，圓點(diǎn)表示各個(gè)測(cè)控站測(cè)控的始點(diǎn)和終點(diǎn)，從每個(gè)測(cè)控站點(diǎn)出發(fā)的折線表示該測(cè)控站測(cè)控的范圍。

圖3 “神州七號(hào)”飛船14個(gè)測(cè)控站的分布

以下推導(dǎo)各個(gè)測(cè)控站所能測(cè)控的時(shí)間范圍。

該測(cè)控站所能測(cè)控的時(shí)間為：

以“神州七號(hào)”飛船為例，通過(guò)計(jì)算得出14個(gè)測(cè)控站所能測(cè)控的時(shí)間（見(jiàn)表4）。

表4 “神州七號(hào)”飛船14個(gè)測(cè)控站所能測(cè)控的時(shí)間

2 問(wèn)題2的解決

由于地球自轉(zhuǎn)的影響，飛船在運(yùn)行過(guò)程中的每一圈的星下線的位置都會(huì)向西偏移，如圖4所示[2]。

圖4 “神州七號(hào)”飛船星下線軌跡

任何一個(gè)地面上固定的測(cè)控站都無(wú)法觀測(cè)飛船的某些圈的運(yùn)行軌道段。根據(jù)飛船運(yùn)行軌道與地球赤道平面有固定夾角這一情況，假設(shè)飛船在離地面高度為H的球面S上運(yùn)行，此時(shí)飛船的運(yùn)行區(qū)域落在一個(gè)赤道周圍的球面的帶形區(qū)域中?？紤]到地球自轉(zhuǎn)時(shí)該飛船在運(yùn)行過(guò)程中的相繼兩圈的經(jīng)度有一些差異，希望通過(guò)一些測(cè)控站覆蓋區(qū)域以達(dá)到全程跟蹤監(jiān)測(cè)的目的。這需要計(jì)算所需覆蓋的面積和一個(gè)測(cè)控站所能覆蓋的區(qū)域面積，然后再計(jì)算這二者的比值。

2.1 一個(gè)測(cè)控站所能覆蓋的區(qū)域面積

由于地面一個(gè)測(cè)控站的測(cè)控范圍只考慮其與地平面夾角3°以上的空域，所以該測(cè)控站的測(cè)控范圍形成一個(gè)以測(cè)控站為頂點(diǎn)的圓錐體，如圖5所示。

圖5 以測(cè)控站為頂點(diǎn)的圓錐體

2.2 飛船形成的球形帶狀區(qū)域面積

飛船運(yùn)行的區(qū)域是球面上不包括南北兩極所在的球冠的帶狀區(qū)域，如圖6所示。

圖6 飛船形成的球形帶狀區(qū)域

2.3 計(jì)算測(cè)控站所需數(shù)量

覆蓋飛船運(yùn)行區(qū)域測(cè)控站所需數(shù)量為：

上面的計(jì)算只是一個(gè)非常粗略的估計(jì)，實(shí)際上每個(gè)測(cè)控站的測(cè)控區(qū)域免不了有些重合?？墒褂脠A內(nèi)接正六邊形覆蓋所涉及的區(qū)域，如圖7所示。

圖7 圓內(nèi)接正六邊形區(qū)域

3 問(wèn)題3的解決

“神舟七號(hào)”飛船在第583 s飛船與火箭分離，隨后飛船正常進(jìn)入預(yù)定軌道，飛船在近地點(diǎn)200 km、遠(yuǎn)地點(diǎn)343 km的橢圓軌道，入軌飛行速度7.820 km/s。實(shí)施變軌后，在距地球表面約343 km的近圓工作軌道運(yùn)行，飛行一圈需要90 m i n[3]?！吧裰燮咛?hào)”飛船測(cè)控通信系統(tǒng)，除了5艘遠(yuǎn)望號(hào)測(cè)量船外，在國(guó)內(nèi)有主場(chǎng)站、喀什站、和田站、東風(fēng)站、青島站、渭南站、廈門站7個(gè)地面測(cè)控站；在國(guó)外也有卡拉奇站、馬林迪站、圣地亞哥站、納米比亞站4個(gè)地面測(cè)控站;還有遠(yuǎn)一站等5個(gè)測(cè)控站,以上16個(gè)測(cè)控站組成了一個(gè)“神舟七號(hào)”飛船的監(jiān)控天網(wǎng)，時(shí)刻掌握著相關(guān)信息，并發(fā)送指令，全程保護(hù)安全[4]?！吧裰燮咛?hào)”飛船16個(gè)測(cè)控站的經(jīng)緯度見(jiàn)表5。

表5 “神舟七號(hào)”飛船16個(gè)測(cè)控站的經(jīng)緯度

使用O r b i t r o n軟件，在（局部）世界地圖上動(dòng)態(tài)描繪出“神舟七號(hào)”飛船的星下線軌跡，并根據(jù)各個(gè)測(cè)控站的經(jīng)緯度利用網(wǎng)格法求測(cè)控覆蓋率，如圖8所示。需要說(shuō)明的是，飛船運(yùn)行區(qū)域的投影網(wǎng)格的長(zhǎng)度是從西經(jīng)180°到東經(jīng)180°，寬度是從南緯42.2°到北緯42.2°。

圖8 網(wǎng)格法求測(cè)控覆蓋率

利用網(wǎng)格法可估算“神舟七號(hào)”飛船的測(cè)控覆蓋率[5]。將飛船運(yùn)行的球形帶狀區(qū)域面積在地球表面上的投影展開成網(wǎng)格平面，畫出每個(gè)測(cè)控站所能測(cè)控的范圍（用圓面積表示），通過(guò)計(jì)算所有測(cè)控站所能測(cè)控的有效面積之和與飛船運(yùn)行的區(qū)域面積的比值，就是測(cè)控覆蓋率。

“神舟七號(hào)”飛船軌道剖面如圖9所示。

圖9 “神舟七號(hào)”飛船軌道剖面

4 結(jié)束語(yǔ)

使用幾何方法建立了對(duì)衛(wèi)星或飛船進(jìn)行全程測(cè)控時(shí)所需最少測(cè)控站數(shù)量模型，并針對(duì)“神舟七號(hào)”飛船給出了所需最少測(cè)控站數(shù)量，估算出“神舟七號(hào)”飛船所能測(cè)控的有效范圍。因此，具有思路清晰、方法簡(jiǎn)捷、模型簡(jiǎn)單、結(jié)果準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)，尤其適合高職學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)和能力水平。

[1] 周義倉(cāng)，譚永基. 衛(wèi)星和飛船的跟蹤測(cè)控問(wèn)題的命題和評(píng)注[ J ] .工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2009，26 (增刊二) :189-195.

[2] 查春明.神舟七號(hào)載人飛船運(yùn)行軌跡圖[EB/OL].(2008-09-26)[2011-01-18].http://news.qq.com/a/20080926/002700.htm.

[3] 神七飛行任務(wù)計(jì)劃曝光:27 日下午6 時(shí)左右出艙[EB/OL].(2008-09-23)[2011-01-18].http://www.chinanews.com/gn/news/2008/09-23/1390490.shtml.

[4]5 艘巨輪加11 個(gè)地面站組成測(cè)控天網(wǎng)護(hù)神七[EB/OL].(2008-09-26)[2011-01-18].http://news.sohu.com/20080926/n259755655.shtml.

[5] 鐘志平，鄭思穎，羅凱. 航天測(cè)控網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型[ J ] .工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2009，26 （增刊二）:177-178.

Quantitative Model on Monitoring and Control Stations of Traching Satellites or Spaceships

WANG Jijiana, WANG Xiaohongb(a. Basic Courses Department;b. Library, Zhejiang Industry and Trade Polytechnic, Wenzhou,325003, China)

To determine the number of on monitoring and control stations of tracking satellites or spaceships, in both the case of disregarding and regarding the influence of the rotation of the earth, a quantitative model of the fewest on monitoring and control stations of tracking satellites or spaceships by geometric methods is established. In addition, in view of "Shenzhou VII" manned spaceship, the fewest monitoring and control stations needed is presented and the effective range "Shenzhou VII" manned spaceship can cover is estimated.

Satellite monitoring and control; Mathematical modeling; Shenzhou VII manned spaceship

V556

A

1671-4326(2011)02-0042-06

2011-02-24

王積建（1966—），男，甘肅景泰人，浙江工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部副教授，碩士；王曉紅（1965—），女，遼寧遼陽(yáng)人，浙江工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院圖書館館員.

王瑋明]