王玉梅

(菏澤學(xué)院 數(shù)學(xué)系,山東 菏澤 274015)

1 問(wèn)題的提出與分析

1.1 問(wèn)題提出

衛(wèi)星和飛船在國(guó)民經(jīng)濟(jì)和國(guó)防建設(shè)中有著重要的作用，對(duì)它們的發(fā)射和運(yùn)行過(guò)程進(jìn)行測(cè)控是航天系統(tǒng)的一個(gè)重要組成部分，理想的狀況是對(duì)衛(wèi)星和飛船(特別是載人飛船)進(jìn)行全程跟蹤測(cè)控.

測(cè)控設(shè)備只能觀測(cè)到所在點(diǎn)切平面以上的空域，且在與地平面夾角3度的范圍內(nèi)測(cè)控效果不好，實(shí)際上每個(gè)測(cè)控站的測(cè)控范圍只考慮與地平面夾角3度以上的空域.在一個(gè)衛(wèi)星或飛船的發(fā)射與運(yùn)行過(guò)程中，往往有多個(gè)測(cè)控站聯(lián)合完成測(cè)控任務(wù)，如神州七號(hào)飛船發(fā)射和運(yùn)行過(guò)程中測(cè)控站的分布如圖1[1]所示.

利用模型分析衛(wèi)星或飛船的測(cè)控情況，請(qǐng)分析問(wèn)題：在所有測(cè)控站都與衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行軌道共面的情況下至少應(yīng)該建立多少個(gè)測(cè)控站才能對(duì)其進(jìn)行全程跟蹤測(cè)控？

1.2 問(wèn)題的分析

本題主要是通過(guò)建立衛(wèi)星全程測(cè)控模型，解決對(duì)衛(wèi)星或飛船運(yùn)行軌道的全程跟蹤測(cè)控至少所需的測(cè)控站點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.由題目所給信息分析得出，只要所建立的測(cè)控站點(diǎn)滿足衛(wèi)星或飛船在低軌道[2]的運(yùn)行情況，它就必滿足在中、高軌道的運(yùn)行情況.

對(duì)于該問(wèn)題，將地球及衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行軌道理想化.由于低軌道的運(yùn)行范圍是在離地面200 km到400 km之間，在所有測(cè)控站都與衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行軌道共面的情況下，依據(jù)所給的信息，分別計(jì)算出衛(wèi)星或飛船在200 km與400 km所需設(shè)立的測(cè)控站點(diǎn)數(shù)，以此計(jì)算出在所有測(cè)控站點(diǎn)都與衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行軌道共面的情況下至少應(yīng)建立的測(cè)控站點(diǎn)數(shù)目.

圖2 測(cè)控站點(diǎn)與運(yùn)行軌道平面圖Fig.2 Monitoring the site plans with the orbit

2 模型的建立與求解

2.1 模型假設(shè)

1)發(fā)射地點(diǎn)的降水、地面風(fēng)速小于8 m/s、水平能見(jiàn)度大于20 km；

2)發(fā)射前8 h至發(fā)射后1 h，場(chǎng)區(qū)30 km至40 km范圍內(nèi)無(wú)雷電活動(dòng)；

3)發(fā)射所經(jīng)過(guò)空域3 km至18 km高空最大風(fēng)速小于70 m/s，此外發(fā)射前后9 h不能有雷電；

4)衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行軌道以及地球都假設(shè)為理想的圓形；

5)衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行軌道都是以地心為中心.

2.2 符號(hào)說(shuō)明

R:地球半徑(km)

H：衛(wèi)星或飛船距地面的高度(km)

α：測(cè)控設(shè)備與地平面的夾角(α=3°)

2β：一個(gè)測(cè)控站觀測(cè)衛(wèi)星范圍的弧長(zhǎng)所對(duì)的圓心角

X:X=AC(如圖2)

n:測(cè)控站的站點(diǎn)數(shù)

θ：衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行軌道與地球赤道平面的固定夾角

r1：北緯22.5°處與赤道面平行的圓面的半徑

n1：北緯22.5°處所需要的測(cè)控站點(diǎn)數(shù)目

n2：北緯45°處所需要的測(cè)控站點(diǎn)數(shù)目

n3：北緯67.5°處所需要的測(cè)控站點(diǎn)數(shù)目

n4：北級(jí)極點(diǎn)處所需要的測(cè)控站點(diǎn)數(shù)目

n0：北半球總共需要的測(cè)控站點(diǎn)數(shù)目

v1：衛(wèi)星運(yùn)行速度

v2：地球自轉(zhuǎn)速度

d：測(cè)控站點(diǎn)所能測(cè)控范圍的直徑(圖五CD長(zhǎng)度)

t：使運(yùn)行范圍得到最大測(cè)控的時(shí)間

ω：在星下點(diǎn)軌跡[3]中兩相鄰測(cè)控站點(diǎn)所對(duì)應(yīng)地心的圓心角

S1: 一個(gè)測(cè)控站點(diǎn)所能測(cè)出的衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行軌道面積

2.3 模型建立

2.3.1 衛(wèi)星低軌道 在所有測(cè)控站都與衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行軌道共面的情況下，只需考慮低軌道運(yùn)行的情況，因?yàn)樵谛l(wèi)星發(fā)射的過(guò)程中只要低軌道階段在測(cè)控范圍內(nèi)，那么剩余的兩個(gè)階段自然會(huì)在測(cè)控范圍之中，這是由于，高度越高被同一測(cè)控站測(cè)控到的范圍越大[4].基于低軌道的運(yùn)行范圍在離地面200 km到400 km之間，根據(jù)題目所述：測(cè)控設(shè)備只能觀測(cè)到所在點(diǎn)切平面以上且與地平面夾角3度以上的領(lǐng)域，依此建立衛(wèi)星全程測(cè)控模型，以地心為圓心，以R+h為半徑做與地球同心的一個(gè)圓,視為衛(wèi)星低軌道運(yùn)行的軌道,如圖2.

那么會(huì)有:

cos(90°+α)=[R2+X2-(R+H)2]/2*R*X

(1)

cosβ=[R2+(R+H)2-X2]/2*R*(R+H)

(2)

n=360°/(2*β)

(3)

由式(1)、(2)和式(3)，并通過(guò)Matlab程序計(jì)算得到：

當(dāng)R=6 400 km，H=200 km時(shí)：

n≈16

當(dāng)R=6 400 km，H=400 km時(shí)：

n≈11

這也就是說(shuō)，當(dāng)衛(wèi)星距地面400 km時(shí)至少要有11個(gè)測(cè)控點(diǎn)才可以對(duì)其進(jìn)行全程跟蹤測(cè)試；當(dāng)衛(wèi)星距地面200 km時(shí)至少要有16個(gè)測(cè)控點(diǎn)才能完成對(duì)衛(wèi)星的全程跟蹤測(cè)控.所以說(shuō)，在所有測(cè)控站點(diǎn)都與衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行軌道共面的情況下至少應(yīng)建立16個(gè)測(cè)控站才能對(duì)其進(jìn)行全程跟蹤測(cè)控.

2.3.2 地球靜止軌道 此種情況是指：當(dāng)衛(wèi)星在高度為35 786 km的赤道上空自西向東運(yùn)行時(shí)，圍繞地球一周的時(shí)間恰好為23小時(shí)56分4秒，即與地球自轉(zhuǎn)一周的時(shí)間相同，這就是所謂的地球靜止軌道[5].當(dāng)衛(wèi)星在此軌道上運(yùn)行時(shí)，只需要一個(gè)測(cè)控站點(diǎn)就可以完成對(duì)其全程跟蹤測(cè)控的目的.

3 模型的檢驗(yàn)與推廣

3.1 模型的評(píng)價(jià)

1)本模型基本符合題目的要求，能夠較好地反映實(shí)際情況.

2)可以將所述問(wèn)題的模型推廣到衛(wèi)星移動(dòng)通信系統(tǒng)[6]中，使其與地面通信連接達(dá)到更好的效果，從而擴(kuò)大其服務(wù)范圍.

3)對(duì)于所述問(wèn)題的模型，可將其推廣使用到其它衛(wèi)星或飛船，以促進(jìn)國(guó)家航天事業(yè)的發(fā)展.

4)模型所求測(cè)控站點(diǎn)數(shù)目是把所有測(cè)控站點(diǎn)看做固定不動(dòng)來(lái)求得的，對(duì)于海上測(cè)控船來(lái)說(shuō)它是可以移動(dòng)的，因此模型所求結(jié)果存在一定誤差是可以理解的.

3.2 模型的改進(jìn)方向

一方面，如果測(cè)控站點(diǎn)得以移動(dòng)，那么可以減少對(duì)衛(wèi)星或飛船建立全程測(cè)控站點(diǎn)時(shí)的投資，節(jié)省國(guó)家資源.另一方面，由于模型是在理想狀態(tài)下來(lái)建立的，故所求的全程測(cè)控站點(diǎn)數(shù)為一近似值，在實(shí)際應(yīng)用中，可根據(jù)具體情況適當(dāng)?shù)脑黾踊騽h減相應(yīng)的測(cè)控站點(diǎn)數(shù)目.

[1] 新華社.神七測(cè)控通信系統(tǒng)由11站5船組成分布[EB/OL].(2008-09-24)[2011-02-03].http://www.gov.cn/jrzg/2008-09/24/content_1104882.htm.

[2] 魏占新，王強(qiáng)，姚建.低軌衛(wèi)星傾斜軌道設(shè)計(jì)及優(yōu)化[J].上海航天,2010(3):26-29.

[3] 程蘆穎,許厚澤.衛(wèi)星測(cè)高數(shù)據(jù)權(quán)的確定[J].測(cè)繪通報(bào),2003(7):1-3.

[4] 張克明.衛(wèi)星測(cè)控站站點(diǎn)設(shè)置的基本原理分析與探討[J].西安航空技術(shù)高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào),2010,28(1):4-5.

[5] 梁斌,徐文福,李成.地球靜止軌道在軌服務(wù)技術(shù)研究現(xiàn)狀與發(fā)展趨勢(shì)[J].宇航學(xué)報(bào),2010,31(1):1-11.

[6] 劉麗華,郭偉,劉偉.LEO衛(wèi)星網(wǎng)基于時(shí)間和距離的位置更新策略[J].通信技術(shù),2010,43(6):64-67.