章林柯，江 涌，何 琳

（1海軍工程大學(xué) 振動與噪聲研究所，武漢 430033；2防化研究院，北京 102205）

喬列斯基分解應(yīng)用于偏相干問題的可行性研究

章林柯1，江 涌2，何 琳1

（1海軍工程大學(xué) 振動與噪聲研究所，武漢 430033；2防化研究院，北京 102205）

在應(yīng)用傳統(tǒng)的偏相干方法進(jìn)行噪聲源識別時(shí)，計(jì)算條件輸入和耦合較為繁瑣、復(fù)雜。文章首先通過對偏相干和喬列斯基分解的分析，得到兩者之間的關(guān)系；進(jìn)一步運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，從理論上證明了喬列斯基分解應(yīng)用于偏相干問題的可行性；然后指出對歸一化互譜矩陣進(jìn)行喬列斯基分解，可直接得到各源的貢獻(xiàn)比大?。蛔詈蠼o出了應(yīng)用喬列斯基分解解決偏相干問題的一般步驟。艙段試驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的可行性和實(shí)時(shí)性。

偏相干；噪聲源識別；多輸入/輸出模型；喬列斯基分解

1 引 言

多輸入/輸出（MIMO）模型因其結(jié)構(gòu)簡單，且考慮了各點(diǎn)之間的相互關(guān)系，在噪聲源的測量與分析中得到了廣泛的應(yīng)用[1-3]。對于MIMO模型，可以將其看成是由多個(gè)多輸入單輸出（MISO）模型構(gòu)成的，所以在下面主要以MISO為例進(jìn)行闡述。當(dāng)各噪聲源之間相互獨(dú)立時(shí)，常相干方法就能夠得到各源的貢獻(xiàn)比大小。但當(dāng)噪聲源之間存在耦合時(shí)，常相干法會過高地估計(jì)各源的貢獻(xiàn)比大小。而偏相干法能夠扣除一定的耦合，正確地估計(jì)出各源的貢獻(xiàn)比大小[4-5]。

偏相干方法要求首先對輸入源進(jìn)行排序，然后計(jì)算條件輸入、輸入和輸出之間的耦合。計(jì)算條件輸入和耦合的傳統(tǒng)方法較為繁瑣、復(fù)雜，影響了工程上的實(shí)時(shí)性。國內(nèi)學(xué)者張寶成首先提到可用喬列斯基分解來解決偏相干問題[6]，但并未給出詳細(xì)的理論證明。在輸入源排序正確的前提下，本文將利用數(shù)學(xué)歸納法，得到喬列斯基分解的結(jié)果和偏相干解之間的關(guān)系，從理論上證明了可以利用互譜矩陣的喬列斯基分解得到各噪聲源的貢獻(xiàn)比大小。最后，艙段試驗(yàn)驗(yàn)證了該方法可以提高偏相干方法的實(shí)時(shí)性，方便偏相干方法的工程應(yīng)用。

2 偏相干和喬列斯基分解的基本理論

2.1 偏相干法

偏相干分析的本質(zhì)在于對輸入進(jìn)行一次線性變換，使得變換后的條件輸入之間互不相關(guān)。在正確排序下，變換后的第一輸入為原第一輸入；變換后的第二輸入為原第二輸入扣除它與原第一輸入相關(guān)分量的剩余，因而它與第一輸入相互獨(dú)立；以此類推，變換后第i輸入為原第i輸入扣除它與原第1，2，…，i-1輸入相關(guān)分量的剩余，它與變換后1，2，…，i-1輸入相互獨(dú)立[1]。其變換前后的原理框圖分別如圖1和圖2所示：

2.2 喬列斯基分解

在滿足偏相干法的假設(shè)下，該矩陣是對稱正定的，滿足喬列斯基分解的條件[8]。分解使得Sxe=R′*R，其中R為上三角矩陣[9]，即

3 可行性證明

由（2）、（3）式可知，條件輸入自譜Zii和耦合Lij必須循環(huán)迭代計(jì)算。即必須先計(jì)算Z11，才能計(jì)算L1j，然后才能計(jì)算Z22、L2j，如此反復(fù)。所以下面將用數(shù)學(xué)歸納法，得到喬列斯基分解結(jié)果和偏相干方法之間的聯(lián)系，證明可用喬列斯基分解對偏相干問題進(jìn)行求解。

由（6）式出發(fā)，可得

即上三角矩陣對角線上第一個(gè)元素的平方等于偏相干中第一條件輸入的自譜。

由（2），（9）式可知，偏相干方法中第一個(gè)條件輸入的自譜

當(dāng) i=1 時(shí)，由（7）式可得

對上式兩邊同時(shí)除以R11，結(jié)合（10）式可得

由上式可知，將上三角矩陣R的第一行元素除以其對角線上的元素R11，即可求得偏相干中輸入和輸出之間的耦合。即喬列斯基分解求得第一輸入的貢獻(xiàn)大小與偏相干求得第一條件輸入的貢獻(xiàn)大小相等。

假設(shè)i=l時(shí)，兩種方法（喬列斯基分解、偏相干）得到的輸入自譜和耦合相等，即

由（3）、（12）式可知，當(dāng)i=1時(shí)，偏相干中輸入和輸出之間的耦合表示為

則當(dāng)i=l+1時(shí)，由（8）式可知，喬列斯基分解可得

由（15）式可知，上式可改寫成

由上式可知，上三角矩陣R對角線上第l+1個(gè)元素的平方等于偏相干中第l+1個(gè)條件輸入的自譜。且當(dāng)i=l+1時(shí)，由（7）式可知，喬列斯基分解可得

在偏相干方法中，條件互譜

其中〈〉表示集平均。由（15）式可知

將（22）式代入（18）式中，可得

由上式可知，將上三角矩陣R第l+1行元素除以其對角線上的元素，即可得第l+1個(gè)條件輸入與其他輸入輸出之間的耦合。綜上所述，對輸入輸出的互譜矩陣進(jìn)行喬列斯基分解，可求得偏相干中條件輸入的自譜和耦合。

4 歸一化的喬列斯基分解

4.1 一般的喬列斯基分解

由文獻(xiàn)[10]可知，喬列斯基的分解式可以改寫成

由偏相干可知，矩陣R最后一列元素的模的平方和等于輸出自譜。因此，直接將矩陣R最后一列對應(yīng)元素的模的平方除以輸出自譜，即可得到對應(yīng)輸入的貢獻(xiàn)比大小。

4.2 歸一化的喬列斯基分解

與一般的喬列斯基分解不同，歸一化的喬列斯基分解要求在分解前，先對互譜矩陣作歸一化處理，即：將互譜矩陣的每一元素除以對應(yīng)行對角元素的平方根和對應(yīng)列對角元素的平方根，使得歸一化的互譜矩陣的對角元素為1。即

G就稱為歸一化的互譜矩陣，其中rij為對應(yīng)輸入之間或輸入輸出之間常相干函數(shù)的平方根。

由上式可知，對上三角矩陣P最后一列對應(yīng)元素取模、求平方，即可得到對應(yīng)輸入的貢獻(xiàn)比大小，即pc（i）=（i=1,2,…,m,m+1 ）。且它們的和為1，其中最后一項(xiàng)為噪聲的貢獻(xiàn)比大小。因此，歸一化分解的結(jié)果直觀，易于理解。

4.3 喬列斯基分解求解偏相干問題的步驟

通過以上分析，總結(jié)出應(yīng)用喬列斯基分解求解偏相干問題的步驟如下所示：

（1）對原始輸入、輸出數(shù)據(jù)時(shí)延補(bǔ)償，然后計(jì)算其互譜矩陣Sxe；

（2）求取Sxe對角線上每一元素的均方根，構(gòu)成矩陣d；

（3）計(jì)算歸一化互譜矩陣G=d-1Sxed-1，然后對G進(jìn)行喬列斯基分解，得到上三角矩陣P；

（4）對矩陣P最后一列的每一元素，計(jì)算其模的平方，就可以得到各輸入源的貢獻(xiàn)比大小。

通過以上步驟可以確定各源貢獻(xiàn)比大小，當(dāng)然這是在輸入源的正確排序假設(shè)下。

5 試驗(yàn)研究

為驗(yàn)證上述算法的可行性和實(shí)時(shí)性，在艙段模型中進(jìn)行了噪聲源識別試驗(yàn)，模型如圖3所示。在模型內(nèi)安裝有三個(gè)噪聲源設(shè)備，分別為激振器、電機(jī)和海水泵。在設(shè)備的基座和內(nèi)、外殼體上布置相應(yīng)的加速度傳感器，其中內(nèi)殼上4個(gè)，外殼體6個(gè)。

激振器的頻率360Hz，激勵(lì)電壓由150mV開始，每隔15mV遞增一個(gè)工況到420mV。其中當(dāng)激勵(lì)電壓增加到330mV時(shí)，將電機(jī)關(guān)閉。海水泵保持狀態(tài)不變，總共工況為19個(gè)。采樣頻率為2 048Hz，采樣時(shí)間為8s。

把設(shè)備基座上的測點(diǎn)作為輸入，內(nèi)、外殼上的測點(diǎn)作為輸出。在對原始輸入、輸出數(shù)據(jù)時(shí)延補(bǔ)償后，分別利用（2）、（3）式進(jìn)行常規(guī)的頻域偏相干分析，（26）、（27）式和（29）式進(jìn)行基于喬列斯基分解的頻域偏相干方法分析。其中外殼上16號測點(diǎn)作為輸出時(shí)，主要噪聲源貢獻(xiàn)比大小如圖4所示（為便于分析，只畫出激振器和電機(jī)的貢獻(xiàn)大小）。

由圖4可知，兩種方法（基于喬列斯基分解和常規(guī)的偏相干方法）得到主要噪聲源的貢獻(xiàn)比大小相互吻合，驗(yàn)證了喬列斯基分解應(yīng)用于偏相干方法的可行性。

在電機(jī)關(guān)閉以前，激振器的貢獻(xiàn)比隨著激勵(lì)電壓的增大是振蕩變化的。主要原因是在這些工況中，電機(jī)始終是主要噪聲源。電機(jī)貢獻(xiàn)比的變化導(dǎo)致激振器的貢獻(xiàn)比發(fā)生相應(yīng)的變化。當(dāng)電機(jī)關(guān)閉后，激振器上升為主要噪聲源。且其貢獻(xiàn)比大小隨著激勵(lì)電壓的增大而增大，說明該方法可用于噪聲源貢獻(xiàn)比的動態(tài)識別。

把內(nèi)、外殼上的所有測點(diǎn)都作為輸出，形成3輸入10輸出的MIMO模型。分別采用兩種方法在PC機(jī)（CPU P4 2.4GHz）上進(jìn)行分析，所用時(shí)間如表1所示。

表1 兩種方法所消耗時(shí)間的比較Tab.1 Comparison of time consumption between two methods

由上表可知，基于喬列斯基分解的偏相干方法與常規(guī)的偏相干方法相比，時(shí)間節(jié)省了近2s。尤其是當(dāng)實(shí)艇內(nèi)、外殼體上部有大量的傳感器時(shí)，基于喬列斯基分解的偏相干噪聲源識別方法將可以提高源識別的實(shí)時(shí)性。

6 結(jié) 論

偏相干方法可以扣除輸入源之間的一定耦合，在艦艇、汽車等的噪聲源識別中得到了廣泛的應(yīng)用。本文運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，從理論上證明了喬列斯基分解應(yīng)用于偏相干求解的可行性。并指出對歸一化互譜矩陣進(jìn)行喬列斯基分解，可直接得到各噪聲源的貢獻(xiàn)比大小。艙段試驗(yàn)驗(yàn)證了基于喬列斯基分解的偏相干噪聲源識別方法的可行性和實(shí)時(shí)性。

由于上述結(jié)論是在各輸入源正確排序下得到的，因此，輸入之間的因果性檢測（判斷輸入之間耦合產(chǎn)生的根本原因）就十分關(guān)鍵。由于只利用了信號的二階統(tǒng)計(jì)信息，偏相干法只能解決同一頻帶上的單向耦合問題。對于同一頻帶上的雙向耦合噪聲源識別，因?yàn)槊ば盘柼幚砜衫眯盘柕母唠A統(tǒng)計(jì)量，將是一個(gè)值得期待的方向。

[1]王之程,陳宗岐,于 氵風(fēng),劉文帥.艦船噪聲測量與分析[M].北京:國防工業(yè)出版社,2004.

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Study on the feasibility of applying Cholesky decomposition to partial coherence

ZHANG Lin-ke1,JIANG Yong2,HE Lin1
(1 Institute of Noise and Vibration,Naval University of Engineering,Wuhan 430033,China;
2 Institute of Chemical Defense,Beijing 102205,China)

The computation of conditional inputs and couplings is complicated when using traditional partial coherence methods to identify noise sources.In this paper,a simpler calculating method for engineering practice is presented.Firstly,the relationship between Cholesky decomposition and partial coherence was derived.Secondly,the feasibility of applying Cholesky decomposition to partial coherence calculation problems was validated by mathematical induction method.Then the percentage of each source’s contribution was determined after Cholesky decomposition of the normalized cross-spectral matrix.The process of applying Cholesky decomposition to partial coherence problems was proposed lastly.The feasibility and real time capability of this method was validated by cabin test.

partial coherence;noise source identification;multiple input/output model;Cholesky decomposition

TB567

A

1007-7294（2011）05-0556-07

2010-08-13 修改日期：2011-03-24

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（50775218）；國防預(yù)研基金（9140A0050506JB11）

章林柯（1977-），男，海軍工程大學(xué)博士，Email:zhanglk1999@gmail.com。