陳廣生

(廣西現(xiàn)代職業(yè)技術(shù)學(xué)院 計(jì)算機(jī)工程系,廣西 河池 547000)

1 引言

(1)

這里,常數(shù)因子π是最佳值.不等式(1)稱為Hilbert重級(jí)數(shù)不等式,它在分析學(xué)有重要應(yīng)用[2],其等價(jià)式是

(2)

這里,常數(shù)因子π2是最佳值.

文獻(xiàn)[1,3]給出了式(1)、(2)如下的經(jīng)典推廣:

(3)

(4)

文獻(xiàn)[4]給出了(1)式的積分形式的推廣，文獻(xiàn)[5，6]對(duì)文獻(xiàn)[4]的結(jié)果加以推廣與改進(jìn)，文獻(xiàn)[7]給出了(1)式的最佳推廣.

2002年，楊等[8]給出了式(3)及式(4)的如下推廣:

(5)

(6)

B(u,v)是如下定義的β函數(shù)[9]:

(7)

最近，文獻(xiàn)[10]給出了式(1)的如下多參數(shù)推廣:

(8)

(9)

本文通過(guò)引入正參數(shù)c及改進(jìn)權(quán)函數(shù)的方法，給出了式(8)的積分形式的推廣.作為應(yīng)用，建立了其等價(jià)式及一些特殊結(jié)果.

2 引理

(10)

則有

(11)

證明 固定x，在式(10)的積分作變換令u=yc/xc，則由式(7)，有

(12)

則式(11)為真.

由式(12)可得

(13)

(14)

證明 固定y，在積分I中作變換u=xc/yc,由式(7)得，可計(jì)算得

故估計(jì)式(14)為真.

3 主要結(jié)果

則有

(15)

這里，常數(shù)因子

是最佳值.

證明 由Holder不等式，有

(16)

再由式(11)、(13)可得式(15).

(17)

證明 令

(y∈(0,∞))，

則由(式15)，可求得

(18)

因而有

(19)

由式(15)知，式(18)及(19)都嚴(yán)格不等號(hào)，故有式(17).

反之，設(shè)式(17)為真，由Holder不等式，有

因此由式(17)，有式(15)，故式(15)與(17)式等價(jià).

若式(17)的常數(shù)因子不是最佳值，同法及應(yīng)用式(20)，可得式(15)的常數(shù)因子也不是最佳值的矛盾.

當(dāng)r=p，s=q及t=0時(shí)，由式(15)和(17)可以導(dǎo)出:

當(dāng)r=q，s=p及t=0時(shí)，由式(19)和(21)可以導(dǎo)出

當(dāng)r=q，s=p及t=1時(shí)，由式(15)和(17)可以導(dǎo)出

[1]HardyG.H,LittlewoodJE,PolyaG.Inequalities[M].Cambridge:CambridgeUniversityPress,1952．

[2]MitrinovicD.S.,PecaricJ.E,FinkA.M.InequalitiesInvolvingFunctionsandTheirIntegralsandDerivatives[M].Boston:KluwerAcademicPublishers,1991.

[3]HardyG.H.NotonatheorowmofHilbertconcerningseriesofpositiveterms[J].Proc.LondonMath.Soc.,RecordsofProc.Xlv-Xlvi,1925,23(2).

[4]YANGBi.cheng.OnHilbert'sIntegralInequality[J].JMathAnalAppl.,1998,220: 778-785．

[5]YANGBi.cheng.OnageneralHardy—Hilbert’sIntegralInequalitywithavalue[J].ChineseAnnalsMath.,2000,21A(4):401-408.

[6]YANGBi.cheng.OnHardy—Hilbert’sIntegralInequality[J].JMathAnalAppl., 2001,261:295-306.

[7]YANGBi.cheng.OnageneralizationofHilbert’sdoubleseriestheorm[J].JnanjingUniv.-math.Biquarterly,2001,18(1):145-152.

[8]YANGBi.Cheng.DebnathL.OntheextendedHardy-Hilbert’sinequality[J].JMathAnalAppl.,2002,272:187-199．

[9]WangZ.X.,GuoD.R.,Anintroducetospecialfunction[M].Beijing:SciencePress,1979.

[10]楊必成.參量化的Hilbert不等式[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2006,49(5):1121-1126.