林景波

(延邊大學(xué) 理學(xué)院物理系，吉林 延吉 133002)

1 引言

歐勒動(dòng)力學(xué)方程是描述剛體繞定點(diǎn)o轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，在確定剛體的運(yùn)動(dòng)情況過(guò)程中起重要作用[1].一般導(dǎo)出該方程采用的是矢量力學(xué)方法，通過(guò)作兩次簡(jiǎn)化而完成[2，3]，即：(1)采用固著在剛體上的動(dòng)坐標(biāo)系，以使六個(gè)慣量系數(shù)Ixx、Iyy、Izz、Ixy、Iyz、Izx都是常數(shù)；(2)取用o點(diǎn)上的慣量主軸為動(dòng)坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸，以消去慣量積Ixy、Iyz和、Izx.而本文所提出的導(dǎo)出方法雖然在描寫(xiě)剛體動(dòng)能時(shí)也取慣量主軸為動(dòng)坐標(biāo)軸，但是導(dǎo)出過(guò)程卻完全區(qū)別于上述方法，采用的是分析力學(xué)方法，用哈密頓力學(xué)中的正則方程直接導(dǎo)出歐勒動(dòng)力學(xué)方程，這種方法體現(xiàn)出哈密頓力學(xué)在解決力學(xué)體系問(wèn)題時(shí)的優(yōu)越性，從一個(gè)側(cè)面表明在哈密頓力學(xué)中由于引入了正則變量，使其具有完備的理論價(jià)值和實(shí)踐價(jià)值[4].

2 用正則方程導(dǎo)出歐勒動(dòng)力學(xué)方程

圖1 歐勒角

如圖1所示[5]，剛體繞定點(diǎn)o轉(zhuǎn)動(dòng)，o-ξηζ為固定坐標(biāo)系，o-xyz為固著在剛體上，隨剛體一起轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)坐標(biāo)系，當(dāng)取o點(diǎn)上的慣量主軸為固著在剛體上的動(dòng)坐標(biāo)軸ox、oy、oz時(shí)，剛體動(dòng)能可表示為：

若用圖1中的歐勒角及相應(yīng)的歐勒角速度表示剛體角速度在本體慣量主軸坐標(biāo)軸上的分量，有：

因勢(shì)能V一般不包含廣義速度[6]，所以由L=T-V，得：

(1)

由(1)式解出:

(2)

按哈密頓函數(shù)定義：[7]

(3)

將(2)式代入(3)式中得哈密頓函數(shù)H表達(dá)式為:

正則方程可由(3)式求得：

其中Qψ為對(duì)應(yīng)于自轉(zhuǎn)角Ψ的外力矩，即外力矩在O2軸的分量，可以表示為Qψ=M3，則有：

上式是歐勒動(dòng)力學(xué)方程的第三式，其余的第一式和第二式，則不能直接由關(guān)于θ和φ的相應(yīng)拉格朗日方程求得.因?yàn)槿鐖D1所示，由推出的正則方程知:θ和φ只有分別繞ON和Oζ軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)才改變，而不是在繞Ox和Oy軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)改變.而根據(jù)已求得的式子具有關(guān)于角速度的對(duì)稱性，其余的第一式和第二式可以這樣處理：使每個(gè)慣量主軸輪流處于Oz軸的地位，輪換主軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和對(duì)應(yīng)角速度分量的排列順序，按照第三式可直接寫(xiě)出.于是歐勒動(dòng)力學(xué)方程如下：

[1]周衍伯.理論力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1986：210.

[2]A.Ⅱ.馬爾契夫.理論力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2006：139.

[3]GoldsteinH，PooleC，SafkoJ.ClassicalMechanics[M].3rded.AddisonWesley，2002:130.

[4]宮衍香，馬秋紅.哈密頓和哈密頓力學(xué)[J].現(xiàn)代物理知識(shí)，2006，18(5):65.

[5]孟志鵬，王志平.歐勒角的獲得[J].延安大學(xué)學(xué)報(bào)學(xué)報(bào)，1998，19(3):47.

[6]鞠國(guó)興.關(guān)于分析力學(xué)中勢(shì)能的一個(gè)注記[J].大學(xué)物理，2007，26(12):20.

[7]薛紜，羅紹凱.分析力學(xué)基本問(wèn)題及其變分原理的研究進(jìn)展[J].上海應(yīng)用技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，25(4):45.