彭 苗

(廈門理工學(xué)院 土木工程與建筑系， 福建 廈門 361024)

1 概 述

空間纜索自錨式懸索橋是近年來出現(xiàn)的一種新型結(jié)構(gòu)形式，由空間主纜和傾斜的吊索組成。主纜和吊索均為只受拉懸鏈線柔索，在荷載作用下表現(xiàn)出較強(qiáng)的空間幾何非線性。設(shè)計(jì)時給出了主纜在梁端和橋塔頂部的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)、吊索在梁上的錨固節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)、以及跨中點(diǎn)的豎向坐標(biāo)，對于其他主纜節(jié)點(diǎn)的空間坐標(biāo)均為未知，從而吊索長度也為未知變量。由于索的幾何非線性，主纜的坐標(biāo)位置有無窮多組解存在，同時對應(yīng)著不同的內(nèi)力值。本文討論了自錨式懸索橋空間纜索的求解方法，以確定主纜、吊索的空間位置和內(nèi)力。

2 單索的懸鏈線理論

設(shè)計(jì)試算時，一般先假設(shè)主纜和吊索的截面積，其自重集度是已知量；傾斜吊索下端承受的橋面集中豎向分力已知，但水平分力未知。吊索及兩吊索之間的主纜段均假定為其自身平面內(nèi)的懸鏈線索，根據(jù)懸鏈線理論[1]：

(1)

圖1 單索的懸鏈線方程

3 遞推-迭代計(jì)算流程

主纜在加勁梁或主塔鞍座的理論交點(diǎn)坐標(biāo)以及主跨跨中某點(diǎn)的垂度值或豎向坐標(biāo)作為設(shè)計(jì)指標(biāo)預(yù)先擬定，吊索間距也可事先擬定。另外，由于各吊索的下端豎向力分量已知，主跨的主纜即具備了完備求解條件?？傮w而言，主跨主纜求解的已知條件有：主纜、吊索的材料、截面等特性；吊索在加勁梁上的下錨點(diǎn)坐標(biāo)(AXi,AYi,AZi)，順橋向的吊桿間距d=AXi+1-AXi；主纜在首、末兩端的理論交點(diǎn)或錨固點(diǎn)坐標(biāo)(X1,Y1,Z1)和(Xn,Yn,Zn)，其中下標(biāo)“1”代表首端點(diǎn)，“n”代表末端點(diǎn)；主纜在跨中已知垂度值點(diǎn)的豎向坐標(biāo)Zsag；各吊索的下端豎向力分量Fiz。

截取中跨主纜為隔離體，其受力平衡如圖2所示。圖中，TXi、TYi、TZi分別代表主纜張力在三個坐標(biāo)軸OX、OY、OZ上的分量，PYi、PZi分別代表主纜受到的吊桿張力的橫向和豎向分量，q為主纜自重集度。如果給定一組首端主纜張力TX1、TY1、TZ1，則可以逐步遞推至末端得到各段主纜的線形和內(nèi)力值。如果恰好能夠滿足末端點(diǎn)的坐標(biāo)和已知垂度點(diǎn)的豎向坐標(biāo)，說明TX1、TY1、TZ1就是要求的未知張力，則主纜的線形即被確定下來。

圖2 主纜受力平衡示意圖

為此，提出如下分段懸鏈線的遞推-迭代計(jì)算方法[2]：

(5)計(jì)算下一主纜節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)：

(7)計(jì)算第i+1段索的左端點(diǎn)三個分力，

(8)按上述(1)～(7)方法連續(xù)遞推計(jì)算直至主纜末端點(diǎn)n；

(2)

其中el為允許偏差，一般取1×10-3即可滿足要求。

按上述計(jì)算流程，即可確定滿足要求的主跨主纜線形。

4 求解策略

所述的主纜線形迭代流程，實(shí)際上提出了以主纜首端張力分量TX1、TY1、TZ1為控制變量，以(Zsag，Yn，Zn)為目標(biāo)的多元非線性函數(shù)優(yōu)化求解問題。由于實(shí)際問題的確定性，可用以下函數(shù)關(guān)系表示為：

F(TX1，TY1，TZ1)=U

(3)

其中：

F(TX1,TY1,TZ1)=(f1,f2,f3),U=(ZsagYnZn)T，fj=fj(TX1,TY1,TZ1),(j=1,2,3)代表上述遞推關(guān)系。

式(3)無明顯表達(dá)式，令：

Ψ(TX1,TY1,TZ1)=F-U=0；

(4)

(5)

故式(4)改寫為線性方程

(6)

令

(7)

式(6)化為

(8)

由此得到迭代求解格式

(9)

式中，k代表迭代次數(shù)。由于fj表達(dá)式未知，應(yīng)用數(shù)值方式求解Jk。Jk代表切線矩陣，實(shí)際上只能得到割線矩陣以近似代替切線矩陣。該矩陣的計(jì)算方法是：

(3)由上步結(jié)果計(jì)算矩陣Jk的第一列元素：

(10)

同理可計(jì)算Jk的其它元素。

矩陣Jk確定以后，即可按式(9)計(jì)算迭代變量。上述步驟實(shí)際上構(gòu)造了牛頓類迭代格式的求解方法，迭代過程中使用了割線矩陣Jk。在對不同結(jié)構(gòu)布置的空間主纜懸索橋計(jì)算中發(fā)現(xiàn)，如果結(jié)構(gòu)具有對稱形式，在每個迭代步中使用變化的割線矩陣Jk，能夠很快收斂到精確解。但當(dāng)主纜的布置在順橋向不對稱時，割線矩陣Jk易出現(xiàn)奇異，此時用不變的割線矩陣J0代入求解，計(jì)算過程穩(wěn)定且仍然能夠較快的收斂于精確解。

5 算 例

根據(jù)上述理論，編制了空間主纜線形計(jì)算程序。該程序不僅適用于具有空間主纜和吊索形式的懸索橋，也適用于平面纜索形式的懸索橋。下面給出永宗大橋的算例。永宗大橋是世界上第一座具有空間纜索形式的公鐵兩用自錨式懸索橋。該橋長550 m，中跨為300 m，兩邊跨各為125 m。主纜和吊索采用空間布置，主纜間距在塔頂為3.0 m，在主跨跨中處為30.142 m，在邊跨錨點(diǎn)處為34.858 m。吊桿在橫橋向傾斜，順橋向無傾斜。橋面豎曲線半徑為14472 m，下錨點(diǎn)之間的橫向距離為31.92 m。

主纜在中跨跨中垂度為60 m。主纜在邊跨的錨點(diǎn)坐標(biāo)、主塔頂?shù)腎P點(diǎn)坐標(biāo)以及吊索下端在加勁梁上的錨點(diǎn)坐標(biāo)和豎向力均為已知。采用變割線矩陣和不變割線矩陣求解方法均可以很快收斂。表1給出了計(jì)算主纜節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和原設(shè)計(jì)坐標(biāo)的對比，其中X、Y、Z分別代表順橋向、橫橋向、豎向坐標(biāo)值。由表中數(shù)值可見，本文計(jì)算值與原設(shè)計(jì)值符合程度較好。根據(jù)本文所述方法計(jì)算出來的坐標(biāo)值，Y向最大差別為0.015 m，Z向最大差別為0.011 m。產(chǎn)生差異的原因是少數(shù)設(shè)計(jì)參數(shù)取值以及計(jì)算方法不同。由此可以證明本文所述方法及程序是正確的。

表1 主纜節(jié)點(diǎn)坐標(biāo) m

6 結(jié) 語

本文以單索的懸鏈線方程為基礎(chǔ)，根據(jù)自錨式懸索橋空間纜索系統(tǒng)的受力平衡，提出了空間主纜和吊索的線形和內(nèi)力的遞推-迭代計(jì)算流程，并采用數(shù)值方式形成割線矩陣近似代替切線矩陣，構(gòu)造牛頓類迭代格式進(jìn)行求解。通過永宗大橋的算例驗(yàn)證表明了該計(jì)算方法是可行的，計(jì)算結(jié)果誤差較小，可用于類似懸索橋空間主纜和吊索的幾何位形和內(nèi)力的求解。

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