222002 江蘇省連云港市新海實(shí)驗中學(xué) 姜 洋

面積比條件下的中考壓軸題探究

222002 江蘇省連云港市新海實(shí)驗中學(xué) 姜 洋

面積比條件下的問題是指在圖形的運(yùn)動變化過程中，兩個圖形滿足一定的比值，從而在平面直角坐標(biāo)系中探求某點(diǎn)的坐標(biāo)、某直線的解析式、某拋物線的解析式等等.這樣的問題常常作為中考壓軸題，或作為壓軸題的一個子問題出現(xiàn).本文對2010年的這類中考題進(jìn)行問題的重構(gòu)(再發(fā)現(xiàn)、再發(fā)明)，親歷問題(可能)的生長過程;自覺運(yùn)用波利亞的“解題表”中的回顧反思環(huán)節(jié)，融會貫通面積問題的數(shù)學(xué)思維，以提高解決這類中考壓軸題的有效度.

1 面積比條件下點(diǎn)的確定

問題1 (2010年深圳)如圖1，拋物線y=ax2+c(a＞0)經(jīng)過梯形ABCD的四個頂點(diǎn)，梯形的底AD在x軸上，其中 A(－2，0)，B(－1，－3).

(1)求拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)M為y軸上任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M到A，B兩點(diǎn)的距離之和為最小時，求此時點(diǎn)M的坐標(biāo);

(3)在第(2)問的結(jié)論下，拋物線上的點(diǎn)P使S△PAD=4S△ABM成立，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖1

解 求得拋物線的解析式為 y=x2－4，點(diǎn) M(0，－2).由于△AOM，△BNM 都為等腰直角三角形，從而△ABM是直角三角形，求出S=×2×=2.如

△ABM圖 2，由于 S△PAD=4S△ABM，可求得△ADP的邊AD上的高為4，從而點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是4或－4，代入拋物線解析式得 P1(2，4)，P2(－ 2，4)，P3(0，－4).

圖2

問題2 (改編于2010年成都市中考壓軸題)如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(－3，0)，B(－1，0)，C(0，3)，點(diǎn) P 是線段 AC 上一點(diǎn)，設(shè)△ABP，△BPC 面積分別是 S△ABP，S△BPC，且 S△ABP:S△BPC=2∶3，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解 根據(jù)高相同，三角形面積之比等于底之比，S△ABP∶S△BPC=2 ∶3，稍作轉(zhuǎn)化可得點(diǎn)P將線段 AC分割為2∶3.過點(diǎn)P作x，y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)D，E.PD與CO組成A型，AP ∶AC=2 ∶5，從而 PD ∶CO=2 ∶5，可求出 PD=;同理PE=

圖3

將問題2稍作拓展:

問題3 將問題1中的“點(diǎn)P是線段AC上一點(diǎn)”改為“點(diǎn)P是直線AC上一點(diǎn)”.

解 此時點(diǎn)P可能出現(xiàn)在線段AC的延長線或反向延長線上.當(dāng)點(diǎn) P在線段 AC的延長線上時，S△ABP＞S△BPC，與題意不符;當(dāng)點(diǎn)P在線段AC的反向延長線上時，S△ABP＜ S△BPC，則一定會出現(xiàn) S△ABP∶S△BPC=2 ∶3.仍然是過點(diǎn)P作x，y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn) D，E，構(gòu)造A型或X型求解得 P(－9，－6).因此點(diǎn) P的坐標(biāo)為()，(－9，－6).

點(diǎn)評 問題1中，△ABM是確定的，即靜止不動的，而△ADP是底靜止，點(diǎn)P待定，有了以上的動靜分析，根據(jù)面積比列出方程就容易了.問題2中，△ABC是靜止不動的，而直線PB繞著定點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，從而△ABP，△BPC變化運(yùn)動.△ABP，△BPC分別以AP，PC為底，則高相同，面積比轉(zhuǎn)化為線段比，從而點(diǎn)P易求.

問題4 將問題1中的“點(diǎn)P是線段AC上一點(diǎn)”改為“點(diǎn)P在直線x=－5上”.

解 設(shè)點(diǎn)P(－5，t)，直線x=－5與x軸的交點(diǎn)為D.

情況1 當(dāng) t≥0時，如圖4，直接求△BPC的面積很困難，轉(zhuǎn)而用四邊形PDOC的面積減去△BPD(若 t=0，則 S△BPD=0)，△BOC 的面積，從而

圖4

由于 S△ABP∶S△BPC=2 ∶3，

建立方程，解得 t=6，即 P(－5，6).

當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時，要注意特殊情況:點(diǎn)P與AC共線(此時t=－2)，點(diǎn)P與BC共線(此時t=－12).

情況2 當(dāng) －2＜t＜0時，如圖5，設(shè)PC與x軸交于點(diǎn)E，由PD與CO構(gòu)造的X型，求得DE=，BE=4 －DE=

從而 S△ABP= － t，S△BPC=S+S=12+t.

△BEC△BEP2

圖5

由 S△ABP:S△BPC=2 ∶3，解得 t= －3，即 P(－5，－3).

這里我們發(fā)現(xiàn)t=－3不符合情況2的條件，應(yīng)當(dāng)舍去.但是仔細(xì)觀察，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)－12＜t＜－2時，解題的方法及最后所構(gòu)成的方程不變，所以分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)當(dāng)調(diào)整.預(yù)想的“情況3，當(dāng) －12＜t＜ －2時”不需要，t= －2不應(yīng)作為分類的標(biāo)準(zhǔn).應(yīng)與情況2合并，情況2的條件應(yīng)改為“－12＜t＜0”結(jié)論是 t= －3，即 P(－5，－3).

點(diǎn)評 (1)情況3舍去的t=6恰好與情況1的結(jié)果相同，這是偶然的，還是必然的呢?其實(shí)當(dāng)t＞3時，直線PC與x軸交于點(diǎn)E，運(yùn)用與情況2，3相同的方法，所構(gòu)造的方程與情況3恰好是同解的.

(2)求解S△BPC的方法中，情況1與2，3不同，而情況2，3的方法具有一般性.若按照情況2，3采用構(gòu)造點(diǎn)E(直線PC與x軸的交點(diǎn))的方法，分類的標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)當(dāng)調(diào)整，分為t＞3;t=3;0＜t＜3;－12＜t＜0;t＜ －12五種情況.

(3)分類討論的標(biāo)準(zhǔn)不是一蹴而就的，教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)將分類的原因及分類的標(biāo)準(zhǔn)的產(chǎn)生過程體現(xiàn)出來，促進(jìn)學(xué)生生成數(shù)學(xué)體驗.

問題5 將問題1中的“點(diǎn)P是線段AC上一點(diǎn)”改為“點(diǎn)P在直線y=x+8上”.

類比問題4，解決此題學(xué)生會更加充滿自信.

點(diǎn)評 問題串的設(shè)置不僅能讓學(xué)生在探求三角形的面積時更具有技巧性，例如靈活地將目標(biāo)三角形與周圍的圖形結(jié)合成一個規(guī)則的整體，而且問題2，3，4的逐步深入可以滿足不同層次的學(xué)生的需要.

2 面積比條件下直線的確定

問題6 (2010年陜西省中考壓軸題)問題探究

(1)請你在圖6中作一條直線，使它將矩形ABCD分成面積相等的兩部分;

(2)如圖7點(diǎn)M是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，請你在圖5中過點(diǎn)M作一條直線，使它將矩形ABCD分成面積相等的兩部分.

問題解決

圖6

圖7

如圖8，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OBCD是某市將要籌建的高新技術(shù)開發(fā)區(qū)用地示意圖，其中 DC∥OB，OB=6，CD=4，開發(fā)區(qū)綜合服務(wù)管理委員會(其占地面積不計)設(shè)在點(diǎn) P(4，2)處.為了方便駐區(qū)單位準(zhǔn)備過點(diǎn)P修一條筆直的道路(路寬不計)，并且是這條路所在的直線l將直角梯形OBCD分成面積相等的兩部分，你認(rèn)為直線l是否存在?若存在求出直線l的表達(dá)式;若不存在，請說明理由

圖8

解 (1)如圖6;

(2)如圖7連接AC，BC相交于P，則P為矩形對稱中心.作直線MP，直線MP即為所求.

如圖8存在直線l，過點(diǎn)D作DA⊥OB，垂足為點(diǎn)A，則點(diǎn)P(4，2)為矩形ABCD的對稱中心.從而過點(diǎn)P的直線只要平分△DOA的面積即可.易知，在OD邊上必存在點(diǎn)H使得PH將△DOA面積平分，則直線PH平分梯形OBCD的面積，即直線PH為所求直線l.

設(shè)直線PH的表達(dá)式為y=kx+b，且過點(diǎn)P(4，2).

∴ 2=4k+b，即 b=2－4k;∴ y=kx+2－4k;

∵直線OD的表達(dá)式為y=2x，

而PH與線段AD的交點(diǎn)F(2，2－2k)，

點(diǎn)評 從圖7遷移到圖8，學(xué)生還是比較困難的.一方面是因為圖6，圖7運(yùn)用幾何作圖的方法找到了等積分割線，而圖6中梯形OBCD或△ODA不是中心對稱圖形，則它沒有中心，運(yùn)用同樣的幾何作圖法找到等積分割線很困難，圖8運(yùn)用了代數(shù)方法——待定系數(shù)法，或者稱之為解析法.另一方面，圖7中只是一個矩形(一個整體)利用中心找等積分割線，圖8則需要將原圖形轉(zhuǎn)化為兩部分來看待，學(xué)生不易轉(zhuǎn)化出來，而點(diǎn)P恰恰是矩形ABCD的中心，這也是不易觀察出來.

其實(shí)點(diǎn)P是否是矩形ABCD的中心并不是問題的關(guān)鍵.若點(diǎn)P不是矩形ABCD的中心，則設(shè)HP交BC于點(diǎn)I，求出點(diǎn)I坐標(biāo)，再求四邊形CDFI(可能是梯形或平行四邊形)的面積，四邊形CDFI與△DHF的面積之和等于梯形OBCD面積的一半，可構(gòu)造方程解決問題.顯然以上的解析法具有一般性，不會因為點(diǎn)P的位置受到改變.但是點(diǎn)P的位置不同，可能導(dǎo)致等積分割線與梯形OBCD的交點(diǎn)位置不確定.

類比問題6，我們可以將點(diǎn)P設(shè)置在梯形周長上，形內(nèi)，形外.

問題7 在問題6的條件下，試求過邊OD中點(diǎn)的面積平分線.

問題8 在問題6的條件下，試求過點(diǎn)(3，2)的面積平分線.

問題9 在問題6的條件下，試求過點(diǎn)(－1，0)的面積平分線.

點(diǎn)評 從問題6到問題7，8，9體現(xiàn)了問題變化生長的過程，突出方法的本質(zhì)不變性，而解析法的探究應(yīng)用反映了高觀點(diǎn)知識的滲透，為將來的高中學(xué)習(xí)作好理解上的鋪墊.

3 面積比條件下拋物線的確定

問題10 (2010年天津)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=－x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為E.

(1)若b=2，c=3，求此時拋物線頂點(diǎn)E的坐標(biāo);

(2)將(1)中的拋物線向下平移，若平移后，在四邊形ABEC中滿足 S△BCE=S△ABC，求此時直線 BC的解析式;

(3)將(1)中的拋物線作適當(dāng)?shù)钠揭?，若平移后，在四邊形ABEC中滿足S△BCE=2S△AOC，且頂點(diǎn)E恰好落在直線y=－4x+3上，求此時拋物線的解析式.

圖9

解法1 (1)求得拋物線的解析式為y=－x2+2x+3，即y= －(x－1)2+4，拋物線頂點(diǎn) E的坐標(biāo)為(1，4).

(2)將(1)中的拋物線向下平移，則頂點(diǎn)E在對稱軸x=1上，有b=2，

∴拋物線的解析式為y=－x2+2x+c(c＞0).

∴此時，拋物線與y軸的交點(diǎn)為C(0，c)，頂點(diǎn)為E(1，1+c).

如圖10，過點(diǎn)E作EF∥CB與x軸交于點(diǎn)F，連接CF，則 S△BCE=S△BCF.

(3)根據(jù)題意，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為 E(h，k)(h＞0，k＞0)，則拋物線的解析式為 y=－(x－h(huán))2+k，此時，拋物線與y軸的交點(diǎn)為C(0，－h(huán)2+k)，與x軸的交點(diǎn)為A(h－，0)，B(h+，0)＞h＞0).

過點(diǎn)E作 EF∥CB與 x軸交于點(diǎn) F，連接 CF，則S△BCE=S△BCF.由 S△BCE=2S△AOC，∴ S△BCF=2S△AOC.得 BF=2AO=2(－h(huán)).

設(shè)該拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D，

點(diǎn)評 (Ⅰ)(2)中通過等積變換構(gòu)造了點(diǎn)F，從而構(gòu)造了△EDF，利用Rt△EDF∽Rt△COB構(gòu)造方程.這樣的解題思路比較精妙，筆者反思這樣的方法學(xué)生能想到嗎?能否有其它的方法呢?

解法2 采用“合”的方法，將△BCE與△OBC結(jié)合成一個整體，得四邊形OBEC，四邊形OBEC又可以看作梯形ODEC與△DBE結(jié)合而成，從而

解法3 采用“分”的方法，將△BCE分割成△GEC和△GEB兩部分.設(shè)BC與ED交于點(diǎn)G，GD∥CO，構(gòu)成A型，求得GD=1+c－，EG=DE －GD=從而

筆者認(rèn)為解法2、3種更合理、簡潔.

(Ⅱ)顯然第解法2、3思路種在(3)中也是可行的，留給讀者解決，本文不再贅述.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最佳途徑是反璞歸真，在學(xué)習(xí)者的頭腦中，經(jīng)歷知識(可能的)發(fā)生、發(fā)展過程，需要教師為之設(shè)計一個知識可能的生長過程，使學(xué)生經(jīng)歷這個過程，像歷史在戲劇中的重演.設(shè)計(可能的)知識生長過程，可以通過參與研究，從做數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，積累豐富的經(jīng)歷.雖然數(shù)學(xué)問題變化多端，但總有共性，數(shù)學(xué)研究的經(jīng)歷、經(jīng)驗，具有一般性，日常解題和重大數(shù)學(xué)發(fā)明發(fā)現(xiàn)之間，并沒有不可逾越的鴻溝(波利亞語).可見，研究的經(jīng)歷有助于數(shù)學(xué)教學(xué)的設(shè)計.

面積比條件下的中考壓軸題屬于高認(rèn)知水平任務(wù)，從教師的教學(xué)方式方面分析，不是要求教師進(jìn)行透徹講解或包辦代替學(xué)生的思維，而是要求教師為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個適合于學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的問題情境，以利于學(xué)生探索，探索過程中教師通過適時的介入、引導(dǎo)、啟發(fā)與點(diǎn)撥，為學(xué)生提供教練式的教學(xué)支援，并與學(xué)生相互交流、共同進(jìn)行研究和評價，同時還要對自己的思維方向及學(xué)生的探究活動進(jìn)行適時調(diào)控以保持任務(wù)的高認(rèn)知水平.

20110323)