鄧若曦

(武漢理工大學(xué)理學(xué)院,湖北武漢430070)

自從1963年Lorenz發(fā)現(xiàn)混沌吸引子以來[1],混沌動(dòng)力學(xué)作為非線性科學(xué)的一個(gè)重要分支引起了廣大科學(xué)技術(shù)人員的高度重視。由于混沌具有初值敏感性,人們普遍認(rèn)為混沌同步非常困難。直到1990年P(guān)ecora和Carroll提出了驅(qū)動(dòng)響應(yīng)同步方法,使Lorenz混沌系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)同步,混沌同步理論和應(yīng)用才迅速成為一個(gè)新的研究熱點(diǎn)。近年來,由于混沌同步在保密通信、信號(hào)處理、電路設(shè)計(jì)等領(lǐng)域表現(xiàn)出強(qiáng)勁的應(yīng)用前景,各國(guó)學(xué)者高度重視并投入到這一研究領(lǐng)域中來,使得混沌控制和同步方法得到了蓬勃發(fā)展[2～10]。筆者針對(duì)文獻(xiàn) [11]中的投影同步定義,作了適當(dāng)?shù)男薷?并且分別從同結(jié)構(gòu)和異結(jié)構(gòu)的投影同步來討論混沌系統(tǒng)在保密通訊的應(yīng)用,將有用的信號(hào)進(jìn)行加密、掩蓋和不失真的恢復(fù)。

1 投影同步

定義1 考慮下面2個(gè)混沌系統(tǒng):

式中,xm,xs是2個(gè)n維狀態(tài)向量?！甿'和‘s'代表驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng),f,g:Rn→Rn是向量值函數(shù)。如果存在控制器u,使得:

式中,α為一常數(shù),那么,2個(gè)混沌系統(tǒng)(1)完成投影同步。

在系統(tǒng)(1)中,當(dāng) f=g,系統(tǒng)(1)就成為同結(jié)構(gòu)的投影同步;當(dāng)f≠g,系統(tǒng) (1)就成為異結(jié)構(gòu)的投影同步。在下面的討論中,筆者從兩方面來討論該方法在保密通訊中的應(yīng)用。

2 同結(jié)構(gòu)的投影同步應(yīng)用

采用1996年由Milanovic等提出的改進(jìn)混沌掩蓋保密通信方案[12]。設(shè)需要傳輸?shù)男盘?hào)為h(t),m(t)=x1+h(t)為發(fā)送器和接收器之間的通信混合的疊加信號(hào),該信號(hào)分別反饋在發(fā)送端和接收端,這樣,傳輸信號(hào)的發(fā)送端動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)為:

式中,a=36,b=3,c=20。接收端為一個(gè)同結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng):

選取反饋控制器為:

其中 ,e1=αx 2-x1,e2=αy 2-y 1,e3=αz 2-z1。

定理1 當(dāng)k＞c+a/4時(shí),系統(tǒng)(2)與系統(tǒng)(3)實(shí)現(xiàn)同結(jié)構(gòu)投影同步。

證明 由系統(tǒng)(2)與系統(tǒng)(3)有如下誤差系統(tǒng):

當(dāng)k ＞c+a/4時(shí),˙V ＜0,故誤差系統(tǒng)(4)趨于0。

定理1表明,當(dāng)誤差系統(tǒng)(4)趨于零時(shí),則αx 2-x1→0,接收端的恢復(fù)信號(hào)為h′(t)=m(t)-αx 2=x1+h(t)-αx2→h(t),這意味著同步發(fā)生時(shí),發(fā)送器發(fā)送的信號(hào)能夠不失真的被接收器接收并恢復(fù),并且只需使用較簡(jiǎn)單的反饋控制器。

在數(shù)值仿真中,設(shè)發(fā)送端動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(2)與接收端動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(3)的初值分別為(1,2,3),(3,1,5),k=10+c+a/4,α=2。傳輸?shù)挠杏眯盘?hào)為h(t)=50的方波信號(hào),es=h(t)-h′(t)為恢復(fù)信號(hào)與有用信號(hào)的誤差,仿真結(jié)果如圖1所示。圖1中分別表示傳輸?shù)挠杏眯盘?hào)h(t)、疊加信號(hào)m(t)、接收恢復(fù)端的有用信號(hào)h′(t)、恢復(fù)信號(hào)與有用信號(hào)的誤差信號(hào)。若傳輸?shù)挠杏眯盘?hào)為h(t)=7sin(3πt)的正弦信號(hào),相應(yīng)的仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 正弦信號(hào)加密仿真結(jié)果

圖1 方波信號(hào)加密仿真結(jié)果

3 異結(jié)構(gòu)的投影同步應(yīng)用

設(shè)需要傳輸?shù)男盘?hào)為h(t),m(t)=x1=h(t)為發(fā)送器和接收器之間的通信混合的疊加信號(hào),該信號(hào)分別反饋在發(fā)送端和接收端,這樣,傳輸信號(hào)的發(fā)送端動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)為:

接收端為另一不同結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng):

選取反饋控制器為:

定理2 當(dāng)k＞20+(18×18)/35時(shí),系統(tǒng)(5)與系統(tǒng)(6)實(shí)現(xiàn)異結(jié)構(gòu)投影同步。

證明 由系統(tǒng)(5)與系統(tǒng)(6),有如下誤差系統(tǒng):

當(dāng)k＞20+(18×18)/35時(shí),˙V＜0,故誤差系統(tǒng)(7)趨于零。

數(shù)值仿真類似于定理1,圖3中分別表示傳輸?shù)挠杏眯盘?hào)h(t)、疊加信號(hào)m(t)、接收恢復(fù)端的有用信號(hào)h′(t)、恢復(fù)信號(hào)與有用信號(hào)的誤差信號(hào)。若傳輸?shù)挠杏眯盘?hào)為h(t)=7sin(3πt)的正弦信號(hào),相應(yīng)的仿真結(jié)果如圖4所示。仿真圖驗(yàn)證了該方法的有效性。

圖3 方波信號(hào)加密仿真結(jié)果

圖4 正弦信號(hào)加密仿真結(jié)果

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