王延慶，梁 力，郭星輝，樓玲娜

(1.東北大學(xué) 應(yīng)用力學(xué)研究所，沈陽 110004;2.東北大學(xué) 資源與土木工程學(xué)院，沈陽 110004)

薄壁圓柱殼被廣泛應(yīng)用于導(dǎo)彈、無人飛機(jī)、衛(wèi)星外殼以及發(fā)動機(jī)等許多工程機(jī)械中。長期以來，學(xué)者們對于圓柱殼非線性振動的研究大多局限在模態(tài)相隔較遠(yuǎn)的情況［1-5］，對于模態(tài)相隔較近的情況研究則不多。如果模態(tài)相距很近，那么相鄰模態(tài)之間會產(chǎn)生耦合作用，對圓柱殼非線性振動的分析影響很大，這給此類問題的研究帶來了一定的困難。在多自由度非線性系統(tǒng)中，當(dāng)某些線性固有頻率存在近似可通約關(guān)系時(shí)，振動系統(tǒng)的各階模態(tài)強(qiáng)烈地耦合，能量不斷交換，產(chǎn)生內(nèi)共振。這將對工程中時(shí)常發(fā)生的超諧波與亞諧波共振產(chǎn)生重要影響，因此對內(nèi)共振的研究有著重要的意義。白鴻柏［6］對密集模態(tài)間的非線性耦合作用做了初步研究，重點(diǎn)考察了密集模態(tài)組的整體表現(xiàn)。Thomas［7］利用擾動法分析了簡諧激振下薄壁球殼的1∶1∶2內(nèi)共振。Abe［8］采用打靶法，研究了夾支薄壁殼在兩個(gè)反對稱模態(tài)之間產(chǎn)生的1∶1內(nèi)共振。在國內(nèi)外的文獻(xiàn)中，對于圓柱殼鄰近模態(tài)內(nèi)共振問題的研究還很少，此類問題仍需要更多的討論與分析。

本文以電機(jī)升高片的層合圓柱外殼為研究模型，根據(jù)Donnell’s非線性簡化殼理論，建立了系統(tǒng)的非線性振動方程，采用Galerkin方法對振動方程進(jìn)行離散化。然后應(yīng)用平均法，求解了系統(tǒng)包含兩個(gè)相鄰軸向模態(tài)的非線性振動響應(yīng)，得到了反映復(fù)雜內(nèi)共振的幅頻特性曲線，表明系統(tǒng)存在1∶1內(nèi)共振現(xiàn)象。最后與數(shù)值模擬進(jìn)行了比較，并且得到了不同參數(shù)對層合薄壁圓柱殼復(fù)雜振動響應(yīng)的影響。

1 振動方程

考慮一端固定，一端自由的層合薄壁圓柱殼模型(如圖1)，鋪層材料為玻璃纖維布，它由玻璃纖維正交均勻交織而成，各單層的鋪設(shè)角均為0°，截面幾何形狀如圖2所示。

各向同性層合殼第k層的物理方程［9］:

其中Kx，Kθ為中面彎曲撓曲率，Kxθ為中面扭曲率，Qij為折減剛度矩陣，元素表達(dá)式為:

其中:Ek為第k層的彈性模量，μk為第k層的泊松比。

考慮層合圓柱殼的彈性模量隨激振力頻率變化而變化，兩者有如下關(guān)系［10］:

層合殼內(nèi)力表達(dá)式為［9］:

在幾何方程中考慮非線性因素，利用薄殼理論及Donnell’s非線性簡化殼理論得到層合薄壁圓柱殼非線性振動方程［11，12］:

具體表達(dá)式見附錄(A1);c為阻尼系數(shù);F(t)為外激振力，作用位置x0=0.34 m，θ0=π/24 rad，表達(dá)式為:

2 平均法過程

本文采用平均法來求解非線性振動方程。由文獻(xiàn)［2］可知，周向模態(tài)N對圓柱殼非線性振動特性的影響很小，而軸向模態(tài)M影響相對較大，并且考慮到Donnell’s理論對N≥5較為精確，因此本文選擇雙模態(tài)(M=1，2;N=6)來分析圓柱殼的非線性動力學(xué)行為。位移形式如下:

利用Galerkin法對振動方程(5)離散化，得到關(guān)于A1，6，B1，6，A2，6，B2，6的 4 個(gè)二階非線性常微分方程 (見附錄中A2)。

令:

則模態(tài)方程組(A2)可以用矩陣形式表示為:

其中Z=［q1q2q3q4q5q6q7q8］T，B，F(xiàn)，N由模態(tài)方程組(A2)變形得到。

現(xiàn)構(gòu)造矩陣:

則矩陣 Ω 與矩陣B具有相同的特征值 ± ω1，6i，± ω2，6i，設(shè)U為B的特征值所對應(yīng)的特征向量組成的矩陣，V為矩陣Ω的特征值對應(yīng)的特征向量組成的矩陣，則有下式成立:

設(shè)矩陣P=UV-1，則從方程(13)得到:

Z=Y，Y=PX，τ=ωt，并在式(11)等號兩端前乘P-1，得到微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形:

其中ε為小參數(shù)。

設(shè)激振力頻率ω在某一固定頻率ω0附近變化(這里 ω0= ω1，6)，即:

式中σ是協(xié)調(diào)參數(shù)，表示外激勵頻率ω與ω0的接近程度。

將式(16)代入式(15)，把1/(1+εσ)項(xiàng)展開成冪級數(shù)后，保留小參數(shù)ε的一次項(xiàng)，得:

引入振幅和相角ai，φi(i=1，…，4):

將式(18)中的xi(i=1，2，…，8)對 τ求導(dǎo)并代入式(17)，然后對其應(yīng)用平均法原理，則可以得到平均方程。為求平均方程定常解，令所有一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)等于零，可以得幅頻方程如下:

其中Ri(i=1，2，…，28)為平均化產(chǎn)生的積分系數(shù)。

3 近似解析解

圓柱殼的幾何及材料參數(shù)如下:長度L=0.34 m，中面半徑R=0.090 75 m，層數(shù)n=5，單層厚hk=0.000 1 m，泊松比 μk=0.3，殼體密度 ρk=1 951 kg/m3，兩階固有頻率 ω1，6=174.27 × 2π rad/s，ω2，6=179.52×2π rad/s。可以發(fā)現(xiàn)兩階固有頻率非常接近，因此系統(tǒng)可能存在1:1內(nèi)共振。根據(jù)方程(19)得到穩(wěn)態(tài)解的幅頻特性曲線，采用李雅普諾夫一次近似理論判斷穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性，結(jié)果如圖3所示。其中實(shí)線表示穩(wěn)定的周期解，虛線表示不穩(wěn)定的周期解。

圖3 幅頻特性曲線 (F0=10 N，c=24.7 Nsm-3)Fig.3 Frequency-response curves for F0=10 N，c=24.7 Nsm-3

圖4 時(shí)間響應(yīng)(F0=10 N，c=24.7 Nsm-3，ω =177.8 ×2π rad/s)Fig.4 Response curves for F0=10 N，c=24.7 Nsm-3，ω =177.8 ×2π rad/s

本文考慮外激振力在第一階固有頻率附近。從圖3中看出，不僅系統(tǒng)的第一階模態(tài)被激勵起來，第二階模態(tài)也同樣被激勵，幅頻特性曲線出現(xiàn)多個(gè)解支，并且表現(xiàn)出硬特性。當(dāng)通過σ=0時(shí)，兩階模態(tài)表現(xiàn)出不同的變化趨勢，其中第一階模態(tài)解支A對應(yīng)的幅值開始變小，而第二階模態(tài)解支A對應(yīng)的幅值則相反，會繼續(xù)增大。當(dāng)σ增加到1.34時(shí)，開始出現(xiàn)多值性，出現(xiàn)解支B，B的兩條分支都隨著σ的增大而增大，并且在σ=1.34～5區(qū)間內(nèi)第二階模態(tài)出現(xiàn)了封閉的環(huán)解。之后隨著σ的增加，兩階模態(tài)都陸續(xù)出現(xiàn)兩個(gè)分支C和D，當(dāng)?shù)谝浑A模態(tài)處于上半支時(shí)，第二階模態(tài)跳躍到下半支，它們的變化趨勢相反。圖3中幅頻曲線的變化特點(diǎn)說明，在第一階固有頻率附近，由于兩階模態(tài)頻率十分接近，它們之間存在強(qiáng)烈的耦合，兩階模態(tài)彼此影響牽制，能量在它們之間傳遞，產(chǎn)生了1∶1內(nèi)共振。而立方非線性帶有內(nèi)共振的系統(tǒng)，能量可以很容易地從高階模態(tài)傳輸?shù)降碗A模態(tài)，反之則不然［13］，因此第一階模態(tài)響應(yīng)大于第二階模態(tài)響應(yīng)。

從圖4的時(shí)間響應(yīng)中可以更直觀地看出兩階模態(tài)間的能量交換，在恒定的激勵作用下，模態(tài)響應(yīng)值不確定，可以在不同解支之間跳躍，當(dāng)?shù)谝浑A模態(tài)的響應(yīng)較大時(shí)，第二階模態(tài)的響應(yīng)較小，反之亦然。

圖5給出近似解析解與數(shù)值解的比較，其中數(shù)值解采用4階Runge-Kutta方法得到。從圖中可以看出，二者變化趨勢及拐點(diǎn)的位置都相同，只是幅值上有一些偏差。這主要是由于復(fù)合材料動態(tài)彈性模量隨激振力頻率而變化［10］，數(shù)值解中考慮了這種變化，而在解析法中無法考慮這種關(guān)系，僅取激勵頻率等于第一階固有頻率時(shí)的彈性模量來近似，所以造成了一些誤差。但這不影響我們對系統(tǒng)動力學(xué)行為的定性分析。

圖5 平均法與數(shù)值法比較(F0=10 N，c=24.7 Nsm-3)Fig.5 Frequency-response curves got by averaging method and Runge-Kutta method(F0=10 N，c=24.7 Nsm-3)

圖6 不同激勵幅值下的幅頻特性曲線(c=24.7 Nsm-3)Fig.6 Frequency-response curves of different excitation amplitude for c=24.7 Nsm-3

圖7 不同阻尼系數(shù)下的幅頻特性曲線(F0=20 N)Fig.7 Frequency-response curves of different damping coefficient for F0=20 N

4 不同參數(shù)的影響

本文以第一階模態(tài)為例給出不同參數(shù)對系統(tǒng)復(fù)雜振動響應(yīng)的影響。圖6給出了不同激勵幅值下系統(tǒng)的幅頻特性曲線。從圖中可以看出，隨著激勵幅值的增大，幅頻曲線的解支有所減少 (如F0=10 N對應(yīng)的幅頻曲線比F0=5 N對應(yīng)的幅頻曲線少了一個(gè)半橢圓形的解支)，但是系統(tǒng)的硬特性增強(qiáng)。

圖7為不同阻尼系數(shù)下的幅頻特性曲線，可以看出阻尼對響應(yīng)的影響比激勵的影響小得多，振動響應(yīng)對阻尼不敏感，這主要是由復(fù)合材料自身的特性所決定的。

5 結(jié)論

本文根據(jù)Donnell’s非線性簡化殼理論建立了一端固定，一端自由的層合薄壁圓柱殼的動力學(xué)方程，應(yīng)用平均法求解了系統(tǒng)包含兩個(gè)相鄰軸向模態(tài)的非線性振動響應(yīng)，得到以下結(jié)論:

(1)由于所選的兩階模態(tài)頻率相距比較近，它們之間存在強(qiáng)烈的耦合，彼此影響牽制，能量在兩階模態(tài)之間相互傳遞，因此幅頻特性曲線反應(yīng)出系統(tǒng)內(nèi)部存在1∶1內(nèi)共振。

(2)由同種材料鋪設(shè)而成的圓柱殼的幅頻曲線表現(xiàn)出硬特性。隨著激振力幅值的增大，系統(tǒng)的硬特性變得更明顯，同時(shí)幅頻曲線的解支有所減少;阻尼對振動響應(yīng)的影響很小，說明玻璃纖維布層合圓柱殼的響應(yīng)對阻尼不敏感。

［1］Wouters C R.Large amplitude free vibrations of shallow spherical shell and cylindrical shell［J］.International Journal of Nonlinear Mechanics，1985，20(2):69-78.

［2］王延慶，郭星輝，常海紅，等.旋轉(zhuǎn)薄壁圓柱殼振型進(jìn)動的非線性振動特性［J］.固體力學(xué)學(xué)報(bào)，2009，30(3):267-279.

［3］Huang K H，Dasgupta A.A layer-wise analysis for freevibration of thick composite cylindrical-shells［J］.Journal of Sound and Vibration，1995，186(2):207-222.

［4］Ganapathi M，Kvaradan T.Nonlinear free flexural vibrations of laminated circular cylindrical shells［J］.Composite Structures，1995，30(1):33-49.

［5］Amabili M， PellicanoF， PaidoussisM P. Non-linear dynamics and stability of circular cylindrical shells containing flowing fluid.Part III:Truncation effect without flow and experiments［J］.Journal of Sound and Vibration，2000，237(4):617-640.

［6］白鴻柏，張培林，陳振藩.密集模態(tài)組間非線性相互作用的初步研究［J］.航空學(xué)報(bào)，2000，21(5):458-461.

［7］Oliver T，Touze C，Chaigne A.Non-linear vibration of freeedge thin spherical shells:modal interaction rules and 1∶1∶2 internal resonance［J］.International Journal of Solids and Structures，2005，42(11-12):3339-3373.

［8］Abe A，Kobayashi Y，Yamada G. Nonlinear dynamic behaviors of clamped laminated shallow shells with one-to-one internal resonance［J］.Journal of Sound and Vibration，2007，304:957-968.

［9］沈觀林，胡更開.復(fù)合材料力學(xué)［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2007.

［10］李 健，郭星輝，郭明濤，等.復(fù)合材料薄壁圓柱殼動態(tài)彈性模量的研究［J］.東北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2008，29(12):1770-1773.

［11］ Soedel W.Vibrations of Shells and Plates［M］.New York:Marcel Dekker;1981.

［12］ Wang Y Q，Guo X H，Li Y G，et al.Nonlinear traveling wave vibration of a circular cylindrical shell subjected to a moving concentrated harmonic force［J］.Journal of Sound and Vibration，2010，329(3):338-352

［13］周紀(jì)卿，朱因遠(yuǎn).非線性振動［M］.西安:西安交通大學(xué)出版社，1998.

附錄:

非線性項(xiàng):

模態(tài)方程組:

其中:A1，6，B1，6，A2，6，B2，6為時(shí)間t的函數(shù)，Si，Hi(i=1，2，…，15)為積分系數(shù)。