李 勇，左曙光，楊憲武，吳旭東

(同濟(jì)大學(xué) 汽車學(xué)院，上海 201804)

在所有的輪胎磨損形式中，非正常磨損對輪胎使用壽命的影響最大，而偏磨損又是輪胎非正常磨損的主要形式，其中以從動輪的多邊形磨損最為典型。這種磨損可導(dǎo)致輪胎提前報(bào)廢，造成爆胎等嚴(yán)重威脅汽車行駛安全的事故。

近年來，國內(nèi)外關(guān)于輪胎磨損機(jī)理的研究有了大量的報(bào)道［1-4］，而有關(guān)多邊形磨損的研究卻鮮有報(bào)道。日本Sueoka［5］研究小組將輪胎多邊形磨損歸納為滾動接觸系統(tǒng)，認(rèn)為胎面磨損引起的垂向自激振動是其產(chǎn)生的根源，并根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果提出了輪胎多邊形磨損邊數(shù)的計(jì)算公式，即多邊形磨損的邊數(shù)近似等于輪胎的固有頻率和車輪轉(zhuǎn)動頻率之比，但是該研究只考慮了垂向自由度，并沒有從根本上揭示輪胎多邊形磨損的發(fā)生機(jī)理，不能合理地應(yīng)用到汽車輪胎磨損研究中。本文正是基于這樣的背景，從輪胎與路面之間相互作用的特征出發(fā)，在側(cè)向上探討輪胎多邊形磨損的發(fā)生機(jī)理，采用基于能量法并依據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)修正得到的胎面單元側(cè)向剛度計(jì)算公式，建立基于胎面自激振動的輪胎多邊形磨損動力學(xué)模型，并分析車速、載荷及輪胎定位參數(shù)(前束角)對輪胎磨損的影響。

1 數(shù)學(xué)模型

輪胎磨損是一個長期復(fù)雜的過程，為了便于分析，本文假設(shè)輪胎與路面之間只有兩種類型的磨損，一種是輪胎與路面之間的正常磨損，即周向均勻磨損;另一種是由于胎面擾動而造成的周向不均勻磨損。當(dāng)胎面發(fā)生側(cè)向振動時，胎面在均勻磨損的同時還存在擾動磨損，此時胎面的磨損為均勻磨損和擾動磨損的疊加，導(dǎo)致輪胎磨損的周向不均勻，即可能產(chǎn)生輪胎多邊形磨損現(xiàn)象。為了分析輪胎的側(cè)向振動，首先將胎面離散化，簡化為若干集中質(zhì)量體，取接地質(zhì)量塊作為研究對象，其與整個輪胎的連接方式如圖1所示，圖中Ks和Cs分別為胎面的側(cè)向剛度和側(cè)向阻尼，m為胎面質(zhì)量。

圖1 胎面-路面自激振動理論模型Fig.1 The theoretical model of self-excited vibration for tread-pavement

由于本文主要分析輪胎的側(cè)向振動，因此胎面?zhèn)认騽偠菿s的確定顯得尤為重要。這里我們采用能量法分析Ks，選取胎面單元的長寬高分別為a、b和h。胎面單元在垂向載荷和側(cè)向載荷的作用下將發(fā)生變形，設(shè)側(cè)向載荷和側(cè)向變形分別為Q和λ，應(yīng)用能量法可以得到［6］:

式中G為胎面橡膠的剪切彈性模量，β為單元長高比，τ0=Q/(ab)為作用在胎面單位上表面的平均剪應(yīng)力。

由上式可得到胎面單位的側(cè)向剛度計(jì)算公式:

由于胎面的側(cè)向剛度受很多因素的影響，其中尤以垂向載荷的影響較大，按照式(2)計(jì)算所得的剛度與實(shí)際有一定差別，下面我們通過與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比對計(jì)算公式進(jìn)行修正。本文中選取輪胎接地質(zhì)量塊為胎面單元，并忽略接地胎面與輪胎側(cè)向剛度的區(qū)別。根據(jù)課題組前期實(shí)驗(yàn)，所用輪胎型號為195/65R15，表1和表2分別給出了車輛輪胎氣壓為280 kPa時不同垂向載荷下的接地印跡和側(cè)向剛度［7］。

表1 不同垂向載荷下接地印跡數(shù)據(jù)表Tab.1 The data table of lateral stiffness at different vertical load

表2 不同垂向載荷下側(cè)向剛度數(shù)據(jù)表Tab.2 The data table of lateral stiffness at different vertical load

根據(jù)表1，可以得到接地印跡與垂向載荷的擬合公式為:

將式(3)、式(4)代入式(2)，則可以得到不同垂向載荷下胎面單元側(cè)向剛度的計(jì)算公式。由式(2)計(jì)算得到的側(cè)向剛度與表2中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在很大的差別，因此需要進(jìn)行修正，式(5)給出了修正后的計(jì)算公式。

式中 δ=1.177 7-2.569 ×10-4P-1.075 ×10-9P2+3.858×10-12P3為修正系數(shù)。

在汽車前進(jìn)過程中，由于前束角的存在，輪胎在側(cè)向方向上會獲得一定的速度輸入。設(shè)前束角為θ，將汽車前進(jìn)速度V分解到側(cè)向上，則得到輪胎在側(cè)向上相對于地面的線速度Vb:

在模型中，胎面振動能量的輸入來源于胎面與地面之間持續(xù)不斷的摩擦力作用，即兩者之間的相對速度變化是激勵源。為了便于分析，將輪胎與地面間的平動簡化為皮帶輪的轉(zhuǎn)動。簡化后的模型如圖2所示。

圖2 胎面摩擦振動模型Fig.2 The friction vibration model of tread

設(shè)胎面質(zhì)量塊m在皮帶上相對于初始位置(即彈簧及阻尼器不受力時的位置)的位移為s，質(zhì)量塊m與皮帶間的相對速度Vr為:

則胎面質(zhì)量塊m側(cè)向振動的動力學(xué)方程如下:

式中Fy(Vr)為胎面所受的側(cè)向力。

在胎面-路面模型中，摩擦特性的描述一直是輪胎力學(xué)建模的重點(diǎn)和難點(diǎn)，它直接關(guān)系到模型的精度。本文采用由 de Wit Carlos等［8］提出的摩擦模型 -LuGre摩擦模型。模型的表達(dá)式如下:

式中σ0和σ1分別為刷毛剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)，這里可以認(rèn)為與胎面的剛度和阻尼是相同的;σ2為相對粘滯阻尼系數(shù);z為刷毛的彈性變形量;Vs為穩(wěn)態(tài)摩擦特性中的Stribeck速度;φ為穩(wěn)態(tài)摩擦特性中的Stribeck指數(shù);Fm=P·μm·sinα為最大靜摩擦力;Fs=P·μs·sinα為滑動摩擦力;μm為最大靜摩擦系數(shù);μs為動摩擦系數(shù);α為輪胎的滑移角，滑移角包括輪胎的前束以及輪胎側(cè)向彈性側(cè)偏造成的輪胎與前進(jìn)方向的夾角，本文忽略輪胎側(cè)偏造成的偏角，認(rèn)為滑移角和前束角θ是相同的。

綜合以上分析，并忽略輪胎與地面間的相對粘滯，即σ2=0，則可得到系統(tǒng)的振動微分方程

對上式進(jìn)行無量綱化，引入變化

其中Ks0=7.3×105N/m，L0為單位長度。

則化簡后得到無量綱方程為

其中無量綱參數(shù)為:

將式(9)化為一階微分方程組:

該方程刻畫了輪胎側(cè)向運(yùn)動的演化過程，其解對應(yīng)系統(tǒng)某種狀態(tài)，如平衡點(diǎn)對應(yīng)運(yùn)動的穩(wěn)定狀態(tài);周期解表示系統(tǒng)偏離原來的運(yùn)動狀態(tài)，按照一定的頻率周期性變化，即產(chǎn)生自激振動，此時胎面受到的磨損將為均勻磨損和擾動磨損的疊加，可能產(chǎn)生輪胎多邊形磨損現(xiàn)象。

由李雅普諾夫穩(wěn)定性理論可知，當(dāng)系統(tǒng)的最大李雅普諾夫指數(shù)為負(fù)值時，系統(tǒng)處于穩(wěn)定運(yùn)動狀態(tài);當(dāng)最大李雅普諾夫指數(shù)出現(xiàn)零值時，系統(tǒng)可能通過Hopf分岔失穩(wěn)，從而導(dǎo)致周期振蕩，即發(fā)生自激振動，因此可以說輪胎的自激振動是一種由系統(tǒng)Hopf分岔引起的穩(wěn)定周期振動現(xiàn)象。系統(tǒng)的穩(wěn)定臨界條件將參數(shù)空間劃分為不同的區(qū)域，當(dāng)參數(shù)達(dá)到臨界分岔點(diǎn)時，系統(tǒng)將失去了穩(wěn)定性，出現(xiàn)穩(wěn)定的周期解，即可能導(dǎo)致輪胎多邊形磨損現(xiàn)象的發(fā)生。由于系統(tǒng)比較復(fù)雜，理論分析有一定難度，因此下面我們通過數(shù)值模擬來確定能夠引起胎面自激振動的參數(shù)范圍。

2 數(shù)值模擬

造成輪胎多邊形磨損的潛在因素很多，可能是車輛的動態(tài)性能、定位參數(shù)、懸架和道路情況等方面的原因，也可能是輪胎的結(jié)構(gòu)參數(shù)、形狀參數(shù)、胎面形式和胎壓等原因造成的?？紤]輪胎多邊形磨損的發(fā)生特征，可以發(fā)現(xiàn)汽車行駛速度、整車質(zhì)量(反映在胎面上即為垂向載荷)和輪胎前束角對磨損的影響很大，因此本文分別以車速、前束角和垂向載荷為分岔參數(shù)，探討系統(tǒng)動力學(xué)行為的變化，確定可能導(dǎo)致輪胎發(fā)生多邊形磨損的參數(shù)區(qū)域。

取m=0.3 kg，Cs= σ1=10 Ns/m，Vs=0.2 m/s，φ =1.8，μm=0.9，μs=0.7。

2.1 車速對輪胎磨損的影響

給定輪胎前束角θ=0.28°，垂向載荷P=4 000 N，圖3給出了系統(tǒng)隨參數(shù)γ，即隨車速變化的分岔圖。

圖3 系統(tǒng)隨γ變化的分岔圖Fig.3 The bifurcation diagram of the system with the variation of γ

從分岔圖可以看出，系統(tǒng)在γ較小時處于穩(wěn)定狀態(tài)，表明車速較小時胎面不能產(chǎn)生自激振動。隨著γ的增大，即車速的增加，穩(wěn)定的平衡點(diǎn)在 γ =0.974時失去穩(wěn)定性，由Hopf分岔導(dǎo)致周期振蕩，即胎面產(chǎn)生自激振動。隨著γ的進(jìn)一步增大，系統(tǒng)在 γ=1.961時再次趨于穩(wěn)定狀態(tài)。因此我們可以得到，γ在0.974～1.961的范圍內(nèi)系統(tǒng)為周期運(yùn)動，對照前文中的無量綱變化過程，則車速處于70.128 km/h～141.192 km/h時胎面能產(chǎn)生自激振動，即當(dāng)汽車以中高速行駛時可能導(dǎo)致輪胎多邊形磨損產(chǎn)生，這與經(jīng)常行駛在高速公路上的汽車更易出現(xiàn)多邊形磨損的實(shí)際情況是一致的。

2.2 輪胎前束角對輪胎磨損的影響

在輪胎定位參數(shù)中，前束角是影響輪胎多邊形磨損的一個重要因素，因此有必要分析前束角對輪胎磨損的影響，從而通過調(diào)整輪胎前束角避免或減少輪胎多邊形磨損發(fā)生。通過以往的研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)汽車在高速公路上行駛時，輪胎發(fā)生多邊形磨損的概率特別高，故設(shè)定γ=1.5(即車速為108 km/h)和垂向載荷P=4 000 N，圖4給出了汽車高速行駛時系統(tǒng)隨θ變化的分岔圖。

圖4 系統(tǒng)隨θ變化的分岔圖Fig.4 The bifurcation diagram of the system with the variation of θ

圖5 不同前束角時系統(tǒng)的相圖Fig.5 The phase maps of system at different toe-in angle

圖6 系統(tǒng)隨P變化的分岔圖Fig.6 The bifurcation diagram of the system with the variation of P

從圖4可以得到，當(dāng)輪胎前束角處于0.247～0.558時胎面能產(chǎn)生自激振動，因此在設(shè)定輪胎定位參數(shù)時，可以調(diào)整前束角使其避開這一范圍以避免或減少輪胎多邊形磨損發(fā)生。并且可以發(fā)現(xiàn)，隨著θ的增大，系統(tǒng)的振蕩范圍是不斷變大的(見圖5)，表明隨著前束角的增加，胎面的自激振動越來越劇烈，即發(fā)生多邊形磨損的可能性將增大，這也符合輪胎多邊形磨損的發(fā)生特征——多邊形磨損在車輪定位中當(dāng)前束角過大時容易發(fā)生。

2.3 垂向載荷對輪胎磨損的影響

從上文我們得知，垂向載荷對胎面的側(cè)向剛度及胎面所受側(cè)向力都著重要的影響，從而將影響胎面的側(cè)向運(yùn)動狀態(tài)，因此有必要分析垂向載荷對輪胎磨損的影響。給定車速V=108 km/h和輪胎前束角θ=0.28°，圖6給出了系統(tǒng)隨垂向載荷P變化的分岔圖。

從上圖可以看出，當(dāng)胎面所受垂向載荷大于3 525 N時系統(tǒng)由Hopf分岔失穩(wěn)而導(dǎo)致周期振蕩，即胎面能產(chǎn)生自激振動，且隨著P的增大，系統(tǒng)的振蕩范圍是不斷變大的(見圖7)，胎面的自激振動越來越劇烈，即發(fā)生多邊形磨損的可能性將增大。隨著垂向載荷的進(jìn)一步增大，系統(tǒng)在7 365 N時再次趨于穩(wěn)定狀態(tài)。因此我們得出當(dāng)車輛超載時輪胎發(fā)生多邊形磨損的機(jī)率將增大，載荷過大是導(dǎo)致輪胎多邊形磨損的一個可能因素。

圖7 不同垂向載荷時系統(tǒng)的相圖Fig.7 The phase maps of system at different vertical load

3 結(jié)論

本文從輪胎與路面之間相互作用的特征出發(fā)，在側(cè)向上探討輪胎多邊形磨損的發(fā)生機(jī)理，采用基于能量法并依據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)修正得到的胎面單元側(cè)向剛度，建立了基于胎面自激振動的輪胎多邊形磨損動力學(xué)模型，并通過數(shù)值仿真分析了車速、載荷及輪胎定位參數(shù)(前束角)對輪胎磨損的影響。得到如下結(jié)論:

(1)輪胎多邊形磨損為胎面均勻磨損和擾動磨損疊加引起的周向不均勻磨損，其發(fā)生與胎面的側(cè)向振動有關(guān)，此觀點(diǎn)能較好地解釋輪胎多邊形磨損現(xiàn)象。

(2)以李雅普諾夫穩(wěn)定性理論為基礎(chǔ)，指出輪胎的自激振動是一種由系統(tǒng)Hopf分岔引起的穩(wěn)定周期振動現(xiàn)象。當(dāng)參數(shù)達(dá)到臨界分岔點(diǎn)時，系統(tǒng)將失去了穩(wěn)定性，出現(xiàn)穩(wěn)定的周期解。

(3)通過仿真得出當(dāng)車速在 70.128 km/h～141.192 km/h之間時，胎面將會發(fā)生自激振動，從而可能導(dǎo)致輪胎多邊形磨損現(xiàn)象，這與經(jīng)常行駛在高速公路上的汽車更易出現(xiàn)多邊形磨損的實(shí)際情況一致。

(4)為避免汽車高速行駛時發(fā)生輪胎多邊形磨損，通過仿真得到了引起胎面自激振動的輪胎前束角范圍，從而可以通過調(diào)整前束角使其避開這一范圍以避免或減少輪胎多邊形磨損發(fā)生;同時還發(fā)現(xiàn)，胎面自激振動的幅值和速度隨著前束角的增大而增大，表明前束角過大時更易導(dǎo)致多邊形磨損現(xiàn)象。

(5)當(dāng)胎面所受垂向載荷大于3 525N時胎面將發(fā)生自激振動，表明載荷過大是導(dǎo)致輪胎多邊形磨損的一個可能原因。

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