索曉峰，楚天鵬，盛安冬，戚國(guó)慶

(南京理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京210094)

在光電跟蹤系統(tǒng)中，目標(biāo)坐標(biāo)測(cè)定儀是一類配有圖像處理功能的連續(xù)目標(biāo)航路參數(shù)測(cè)量設(shè)備［1］。激光回波率則是指測(cè)定儀接收到的有效回波數(shù)與發(fā)射的重頻激光脈沖數(shù)的比率［2］，其直接關(guān)系到航路是否能有效建立以及目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的估計(jì)性能，因而是重要的設(shè)計(jì)指標(biāo)之一。

不完全量測(cè)是指探測(cè)概率小于1 的量測(cè)［3］，其下的跟蹤估計(jì)問(wèn)題，是近幾年比較熱門的研究課題。在不完全量測(cè)下，跟蹤系統(tǒng)的數(shù)據(jù)探測(cè)往往利用服從Bernoulli 分布的隨機(jī)變量進(jìn)行描述。

在實(shí)際工程中，當(dāng)其他條件相同時(shí)，光電跟蹤系統(tǒng)的估計(jì)性能往往隨著激光回波率的下降而降低。因此，本文給出了一個(gè)激光回波率的下界，當(dāng)跟蹤系統(tǒng)實(shí)際回波率高于這個(gè)下界值時(shí)，濾波器統(tǒng)計(jì)意義下的估計(jì)誤差協(xié)方差對(duì)任意的估計(jì)初值均收斂，即可以建立有效的航路;若實(shí)際激光回波率低于這個(gè)下界，則統(tǒng)計(jì)意義下的估計(jì)誤差協(xié)方差可能會(huì)發(fā)散，導(dǎo)致無(wú)法建立有效的航路。

1 問(wèn)題描述

傳統(tǒng)光電跟蹤系統(tǒng)球坐標(biāo)下的位置量測(cè)變換到笛卡爾坐標(biāo)系下，跟蹤系統(tǒng)可表示為:

式中:Xk∈Rn×1為k 時(shí)刻的目標(biāo)狀態(tài);Fk為適維狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;Wk∈Rn×1為0 均值協(xié)方差為Qk的高斯白噪聲;Zk=［xkykzk］T為笛卡爾坐標(biāo)系下的位置轉(zhuǎn)換量測(cè);Hk=［I3×303×(n-3)］為笛卡爾坐標(biāo)系下量測(cè)矩陣;為笛卡爾坐標(biāo)系下位置轉(zhuǎn)換量測(cè)誤差，并且服從均值為零協(xié)方差為Rk的高斯分布。同時(shí)，目標(biāo)初始狀態(tài)誤差、目標(biāo)運(yùn)動(dòng)噪聲Wk以及跟蹤系統(tǒng)轉(zhuǎn)換量測(cè)噪聲Vk之間互不相關(guān)。

當(dāng)目標(biāo)測(cè)定儀的激光光束打到目標(biāo)上，并且能被接收，則稱測(cè)定儀接受到了有效的激光回波;反之，若激光沒(méi)有回波或者回波未被接收，則稱測(cè)定儀回波無(wú)效。對(duì)于本文所討論的坐標(biāo)測(cè)定儀，為簡(jiǎn)化問(wèn)題討論并不失一般性，將有效回波目標(biāo)區(qū)域定義為一寬為2a、高為2b 的矩形域，如圖1所示。

圖1 靶標(biāo)坐標(biāo)系Fig.1 Target coordinates

用一個(gè)服從Bernouli 分布的隨機(jī)變量dk來(lái)描述測(cè)定儀激光回波是否有效。令 dk=即激光跟蹤系統(tǒng)的激光打在有效區(qū)域Ω，并且接受到有效的回波;dk=0，即激光跟蹤系統(tǒng)的激光打在有效區(qū)域Ω 外，或者激光跟蹤系統(tǒng)沒(méi)有接受到回波。dk的概率分布為p{dk=1}=λ，p{dk=0}=1-λ，λ 即為光電跟蹤系統(tǒng)的激光回波率。

則在不完全量測(cè)下，(1)式可用下式替代

dk與量測(cè)噪聲Vk滿足，

式中:N(a，b)為變量服從均值為a，方差為b 的高斯分布。dk=1，回波有效，噪聲變量服從均值為0，方差為Rk的正態(tài)分布;dk=0，回波無(wú)效，對(duì)應(yīng)的σ 取極限形式:σ2→∞，噪聲變量的方差為∞.

2 激光回波率下界與估計(jì)性能

2.1 有效濾波的激光回波率下界

對(duì)于(2)式所表示的光電跟蹤系統(tǒng)模型，依據(jù)不完全量測(cè)的理論，采用標(biāo)準(zhǔn)Kalman 濾波器對(duì)目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)，則可得濾波器時(shí)刻k+1 狀態(tài)估計(jì)的一步預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差Pk+1滿足

則統(tǒng)計(jì)意義下的光電跟蹤系統(tǒng)修正代數(shù)Riccati 方程(MARE)為

依據(jù)文獻(xiàn)［4］，可得

引理1 若(Fk，Q1/2k)可控，(Fk，Hk)可觀，F(xiàn)k不穩(wěn)定，且?Rmax，s.t.Rmax≥E(Rk)，?k，則?λc∈［0，1)，s.t.

其中MP0≥0，由引理1 可知當(dāng)跟蹤系統(tǒng)可控可觀，并且跟蹤系統(tǒng)統(tǒng)計(jì)意義下的量測(cè)噪聲協(xié)方差存在某個(gè)上界時(shí)，跟蹤系統(tǒng)存在一個(gè)臨界回波率λc.當(dāng)跟蹤系統(tǒng)的回波率小于或者等于臨界回波率λc時(shí)，跟蹤系統(tǒng)統(tǒng)計(jì)意義下的估計(jì)誤差協(xié)方差對(duì)某些估計(jì)初值將會(huì)發(fā)散;而當(dāng)跟蹤系統(tǒng)的回波率大于臨界回波率λc時(shí)，跟蹤系統(tǒng)統(tǒng)計(jì)意義下的估計(jì)誤差協(xié)方差對(duì)任意估計(jì)初值均會(huì)收斂。接下來(lái)將進(jìn)一步給出跟蹤系統(tǒng)臨界回波率λc的預(yù)估上下界。

引理2 若?Rmax，s.t.Rmax≥E(Rk)，?k，則

式中:α=max|σi|，σi為矩陣Fk的特征值。(8)式和(9)式給出了臨界回波率的取值范圍?？紤]到Fk的特征值往往相等并且等于1，此時(shí)有α=1，λ=0.那么臨界回波率λc滿足0≤λc≤

當(dāng)對(duì)于任意的初值P0，E［Pk］均有界時(shí)，才能獲得有效的濾波航路。依據(jù)引理1 和引理2，可得

推論 若?Rmax，s.t.Rmax≥E(Rk)，?k，令

當(dāng)λ≥λ*時(shí)，對(duì)于?P0≥0，?MP0≥0，嚴(yán)格滿足E［Gλ］≤MP0.

λ*即為嚴(yán)格意義下，能獲得有效濾波航路的激光回波率下界。

定義一個(gè)輔助函數(shù)

當(dāng)K=FkPk(Hk)T［HPk(Hk)T+Rk］?K*，有Gλ(Pk，Rk)=φRk(K*，Pk)≤φRk(K，Pk)，當(dāng)?X，s.t.X ＞ Gλ(X，Rmax)時(shí)，有?(KX，X)，s.t.X ＞Gλ(X，Rmax)=φRmax(KX，X )，其 中 KX=FkX(Hk)T［HkX (Hk)T+ Rmax］;又當(dāng)?(K，X)，s.t.X ＞φRmax(K，X)時(shí)，有?X，s.t.X ＞φRmax(K，X)≥gλ(X，Rmax).即(10)式等價(jià)為

由(12)式看出，λ*被描述為一個(gè)非線性矩陣不等式(NMI)的最優(yōu)解。通常采用求解雙線性矩陣不等式(BMI)問(wèn)題的攝動(dòng)線性化方法來(lái)設(shè)計(jì)求解上述非線性矩陣不等式(NMI)的最小化問(wèn)題［5］?；舅枷胧?先將NMIX ＞φRmax(K，X)關(guān)于變量λ，K，X 攝動(dòng)線性化，再在攝動(dòng)范圍內(nèi)求解λ，K，X 的攝動(dòng)量，使探測(cè)概率λ 減小，直至X ＞φRmax(K，X)關(guān)于變量K，X 沒(méi)有可行解，或者λ 的攝動(dòng)量甚微結(jié)束。

2.2 不完全量測(cè)下的估計(jì)性能研究

一般來(lái)說(shuō)，CRLB 被廣泛應(yīng)用為跟蹤系統(tǒng)的估計(jì)性能指標(biāo)，它給出了濾波器估計(jì)誤差協(xié)方差的理論下界。跟蹤系統(tǒng)的估計(jì)誤差協(xié)方差滿足Pk|k≥Jk-1，其中Jk為Fisher 信息矩陣(FM)，CRLB 是FM的逆，Ck=J-1k.由文獻(xiàn)［3］可知，不完全量測(cè)下的Jk修正遞推公式為

則修正的CRLB 下界為

(15)式即為統(tǒng)計(jì)意義下，目標(biāo)測(cè)定儀激光回波率與修正的CRLB 的關(guān)系。

3 分析與應(yīng)用

下面針對(duì)實(shí)際靶場(chǎng)測(cè)量到的3 條標(biāo)準(zhǔn)航路，對(duì)光電跟蹤系統(tǒng)激光回波率下界和性能指標(biāo)進(jìn)行仿真分析。

光電跟蹤系統(tǒng)數(shù)據(jù)量測(cè)精度為σr=5 m，σθ=0.1°，σφ=0.3°;回波周期T=0.32 s;對(duì)于航路一，取目標(biāo)狀態(tài)對(duì)于航路二和航路三取目標(biāo)狀態(tài)

3.1 航路一

航路一為實(shí)際靶場(chǎng)測(cè)量到的一條勻速直線航路，航速近似為250 m/s，航高近似1 000 m，航捷近似750 m.X0=［-172，-41，-4 753，250，1 091，5］T.

式中:T 為跟蹤系統(tǒng)采樣周期;?為Kronecher 乘積;I3×3為三階單位矩陣。首先給出E(Rk)與采樣時(shí)間的關(guān)系曲線如圖2所示。

圖2 E(Rk)與采樣周數(shù)數(shù)k 的關(guān)系(航路一)Fig.2 Relationship between E(Rk)and k in airway 1

由圖2可以看出，Rmax=E(R1)≥E(Rk)，?k.此時(shí)最大迭代次數(shù)為100，根據(jù)攝動(dòng)迭代算法求激光回波率的下界。當(dāng)取不同振動(dòng)幅度的迭代計(jì)算結(jié)果如表1所示，τi＞0，i=1，2，3 表示攝動(dòng)幅度。從表中可以看出，激光回波率下界為48.7%.

采用不同的激光回波率，通過(guò)濾波所得到的航路，可以看出激光回波率對(duì)目標(biāo)航路測(cè)定的影響，如圖3所示。

表1 航路一不同攝動(dòng)幅度的迭代計(jì)算結(jié)果Tab.1 Iterative results of different perturbation intensity in airway 1

圖3 激光回波率對(duì)目標(biāo)航路測(cè)定的影響(航路一)Fig.3 Effect of laser echo rate on target measurement in airway 1

針對(duì)航路一，采取不同的回波率，可得在不同情況下跟蹤性能指標(biāo)CRLB 下界與λ 的關(guān)系，如圖4所示。

圖4 回波率與CRLB 關(guān)系(航路一)Fig.4 Relationship between laser echo rate and CRLB in airway 1

3.2 航路二

航路二為勻速圓周航路，航高近似1 000 m，運(yùn)動(dòng)半徑r=5 000 m，運(yùn)動(dòng)角速度ω=0.05 rad/s.X0=［4 000，-200，-10，3 000，150，-7.5，1 000，0，0］T.

其中:

式中:T 為跟蹤系統(tǒng)采樣周期;?為Kronecher 乘積;I3×3為三階單位矩陣。首先給出E(Rk)與采樣時(shí)間的關(guān)系曲線，如圖5所示。

圖5 E(Rk)與采樣周數(shù)數(shù)k 的關(guān)系(航路二)Fig.5 Relationship between E(Rk)and k in airway 2

由圖5可以看出，Rmax=E(R1)≥E(Rk)，?k.此時(shí)最大迭代次數(shù)為100，根據(jù)攝動(dòng)迭代算法求激光回波率的下界。當(dāng)取不同振動(dòng)幅度的迭代計(jì)算結(jié)果如表2所示，τi＞0，i=1，2，3 表示攝動(dòng)幅度。從表中可以看出，激光回波率下界為43.2%.

采用不同的激光回波率，通過(guò)濾波所得到的航路，可以看出激光回波率對(duì)目標(biāo)航路測(cè)定的影響，如圖6所示。

表2 航路二不同攝動(dòng)幅度的迭代計(jì)算結(jié)果Tab.2 Iterative result of different perturbation intensity in airway 2

圖6 激光回波率對(duì)目標(biāo)航路測(cè)定的影響(航路二)Fig.6 Effect of laser echo rate on target measurement in airway 2

針對(duì)航路二，采取不同的回波率，可得在不同情況下跟蹤性能指標(biāo)CRLB 下界與λ 的關(guān)系，如圖7所示。

圖7 回波率與CRLB 關(guān)系(航路二)Fig.7 Relationship between laser echo rate and CRLB in airway 2

3.3 航路三

航路三為一條俯沖航路，航高近似4 000～2 000 m，縱向加速度10 m/s2，水平速度120 m/s，航捷500 m，X0=［-1 939.2，120，0，500，0，0，4 000，0，-10］T.

式中:T 為跟蹤系統(tǒng)采樣周期;?為Kronecher 乘積;I3×3為三階單位矩陣。首先給出E(Rk)與采樣時(shí)間的關(guān)系曲線如圖8所示。

圖8 E(Rk)與采樣周數(shù)數(shù)k 的關(guān)系(航路三)Fig.8 Relationship between E(Rk)and k in airway 3

由圖8可以看出，Rmax=E(R1)≥E(Rk)，?k.此時(shí)最大迭代次數(shù)為100，根據(jù)攝動(dòng)迭代算法求激光回波率的下界。當(dāng)取不同振動(dòng)幅度的迭代計(jì)算結(jié)果如表3所示，τi＞0，i=1，2，3 表示攝動(dòng)幅度。從表中可以看出，激光回波率下界為47.6%.

表3 航路三不同攝動(dòng)幅度的迭代計(jì)算結(jié)果Tab.3 Iterative result of different perturbation intensity in airway 3

采用不同的激光回波率，通過(guò)濾波所得到的航路，可以看出激光回波率對(duì)目標(biāo)航路測(cè)定的影響，如圖9所示。

針對(duì)航路三，采取不同的回波率，可得在不同情況下跟蹤性能指標(biāo)CRLB 下界與λ 的關(guān)系，如圖10所示。

圖9 激光回波率對(duì)目標(biāo)航路測(cè)定的影響(航路三)Fig.9 Effect of laser echo rate on target measurement in airway 3

圖10 回波率與CRLB 關(guān)系(航路三)Fig.10 Relationship between laser echo rate and CRLB inairway 3

通過(guò)光電跟蹤系統(tǒng)對(duì)3 條不同航路進(jìn)行仿真比較，從圖3、圖6、圖9中可以看出，當(dāng)λ=0.7，0.9時(shí)，3 條濾波所得的航路都能夠很貼切的逼近目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡;當(dāng)λ=0.5 時(shí)，濾波所得的航路與目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡雖然都有稍許的偏差，但并不會(huì)發(fā)散;當(dāng)λ=0.3 時(shí)，濾波航路與目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡都有較大的偏差，濾波所得的航路完全偏離了實(shí)際目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡。因此可以看出，當(dāng)激光回波率高于回波率下界時(shí)，都能取得有效的濾波航路，反之可能發(fā)散，濾波無(wú)效。以上3 條濾波航路所求的回波率下界都低于50%，因此在工程中，往往取激光回波率遠(yuǎn)高于50%，就能夠確保濾波所得航路的收斂，濾波有效。

同樣，從圖4、圖7、圖10中，可以看出，當(dāng)λ=1時(shí)，即為完全量測(cè)情況的下的跟蹤濾波，此時(shí)，目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)的誤差方差的下界最小;而當(dāng)λ=0.6 和λ=0.8 時(shí)，誤差方差的下界大于完全量測(cè)情況，但相差較小;而當(dāng)λ=0.3 時(shí)，可以看出系統(tǒng)的誤差方差下界遠(yuǎn)大于完全量測(cè)的情況，濾波誤差較大?？梢缘贸觯?dāng)激光回波率越低，跟蹤系統(tǒng)的誤差方差的下界就越大，系統(tǒng)的跟蹤性能越差。因此，在工程成本和條件的允許下，回波率越高，濾波的效果越好。

4 結(jié)論

本文依據(jù)不完全量測(cè)理論，定義了能夠建立有效航路的激光回波率下界，并將該下界表示為一個(gè)非線性不等式的最優(yōu)解形式，對(duì)實(shí)際工程應(yīng)用具有一定的指導(dǎo)作用，避免了在設(shè)計(jì)工作中的盲目性。對(duì)跟蹤系統(tǒng)在3 種場(chǎng)景下的回波率下界進(jìn)行計(jì)算可知，回波率下界均小于50%.由此可知當(dāng)跟蹤系統(tǒng)的回波率高于50%時(shí)，跟蹤系統(tǒng)統(tǒng)計(jì)意義下的估計(jì)誤差協(xié)方差對(duì)任意估計(jì)初值均收斂;反之，可能發(fā)散。同時(shí)，分析了在不同激光回波率下跟蹤系統(tǒng)的估計(jì)性能的差別，可知當(dāng)激光回波率越高，系統(tǒng)的跟蹤精度越高。通過(guò)工程應(yīng)用，也證明了本文的結(jié)論具有實(shí)際參考作用。

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