孟麗霞，陸念力，胡燕東

（哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001）

隨著材料科學(xué)的迅猛發(fā)展，高強(qiáng)度結(jié)構(gòu)鋼開始廣泛應(yīng)用于大型起重運(yùn)輸與工程機(jī)械和建筑結(jié)構(gòu)中，此時(shí)相對于結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和剛度驗(yàn)算而言，起重機(jī)金屬結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性校核的重要性愈加凸顯.起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范中除了要求驗(yàn)算整體穩(wěn)定的同時(shí)，還要求驗(yàn)算各桿件的局部穩(wěn)定［1］，很多文獻(xiàn)從不同角度對結(jié)構(gòu)整體失穩(wěn)和局部失穩(wěn)的計(jì)算方法進(jìn)行了探討［2，3］.桁架結(jié)構(gòu)向?qū)嵏故浇Y(jié)構(gòu)等效的穩(wěn)定性計(jì)算方法、不同結(jié)構(gòu)形式對整體失穩(wěn)和局部失穩(wěn)的影響以及整體穩(wěn)定和局部穩(wěn)定臨界力的關(guān)系等問題受到了普遍關(guān)注［4-7］.

有限元法及其應(yīng)用軟件是大型復(fù)雜桁架結(jié)構(gòu)計(jì)算分析的最有效方法.隨著工程中有限元方法的廣泛普及，越來越多的設(shè)計(jì)人員直接采用有限元法這一先進(jìn)的計(jì)算手段進(jìn)行機(jī)構(gòu)的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性分析，大大地提高了計(jì)算精度和效率［8］.通常的有限元方法及其應(yīng)用軟件雖可較好地解決結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和剛度分析問題，但對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性極限狀態(tài)的判斷尚無很好的手段.用ANSYS等現(xiàn)有的有限元應(yīng)用軟件對結(jié)構(gòu)進(jìn)行穩(wěn)定性分析時(shí)，不區(qū)分整體失穩(wěn)和局部失穩(wěn)，只一概而論地稱之為失穩(wěn).對靜定桁架結(jié)構(gòu)而言，單肢失穩(wěn)就意味著整體失穩(wěn)，因?yàn)殪o定桁架中任何1根桿件的失效，整體將成為幾何可變體系，結(jié)構(gòu)喪失原有穩(wěn)定工作形態(tài)，也因此失去原有的承載能力.對超靜定結(jié)構(gòu)則未必，單肢或局部失穩(wěn)后，結(jié)構(gòu)受力條件會發(fā)生變化，產(chǎn)生局部失穩(wěn)后的載荷重新分配.因此，當(dāng)采用有限元法對超靜定桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行穩(wěn)定性分析時(shí)，得到的失穩(wěn)臨界力并非真正的結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)的極限載荷，有時(shí)整體結(jié)構(gòu)真實(shí)失穩(wěn)臨界力遠(yuǎn)大于局部失穩(wěn)臨界力.在工程中設(shè)計(jì)人員更關(guān)心結(jié)構(gòu)實(shí)際能夠承受的穩(wěn)定臨界載荷，即整體結(jié)構(gòu)何時(shí)出現(xiàn)失穩(wěn)，它是確定結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的安全儲備、優(yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的依據(jù).

1 梁桿系統(tǒng)精確有限元方程及其在穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用

1.1 有限元特征值屈曲分析的理論基礎(chǔ)

結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的能量準(zhǔn)則表述為：彈性力學(xué)系統(tǒng)總勢能Π的正定二階變分是保證結(jié)構(gòu)靜力穩(wěn)定的必要和充分條件，即：

式中：δ為對勢能Π求變分，即δ2Π表示對Π求二階變分.

在有限單元組成的結(jié)構(gòu)中，若不考慮初始缺陷，結(jié)構(gòu)總勢能表示為

式中：V（e）為單元體積；ε為單元應(yīng)變列陣；D為單元彈性矩陣；ue為單元位移列陣；Fe為單元節(jié)點(diǎn)載荷列陣.

總勢能關(guān)于節(jié)點(diǎn)廣義位移向量u的二階變分為

由非線性有限元理論得

式中：K0為線性剛度陣；Ku為大位移剛度陣；Kσ為幾何剛度陣；KT為切線剛度陣.

可見，總勢能Π的二階變分δ2Π＞0與正定的KT是等價(jià)的.因而結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的臨界條件也可以表示為

在彈性穩(wěn)定所涉及的小變形情況下，略去大位移剛度陣Ku，式（5）可表為

Kσ是關(guān)于系統(tǒng)載荷的函數(shù)，由此可解得整體結(jié)構(gòu)的臨界載荷.對于線性屈曲問題，屈曲前的結(jié)構(gòu)處于初始模型的線性平衡狀態(tài)，應(yīng)力和外載也為線性關(guān)系.如果令結(jié)構(gòu)處于某一載荷狀態(tài)下的幾何剛度矩陣為，則由線性關(guān)系將式（6）改寫為

1.2 基于二階理論的梁單元精確剛度陣

由上述分析可知，有限元法求解穩(wěn)定問題的精度取決于切線剛度陣KT的精確度.文獻(xiàn)［5］運(yùn)用二階理論給出了梁單元精確剛度陣：

這就是一般有限元軟件中所用的梁單元切線剛度陣.

圖1 2端簡支軸向受壓的鉸支桿Fig.1 Simply supported column with axial force

1.3 典型結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)算例

圖1為2端簡支軸向受壓的鉸支桿，2端承受軸力P作用，分別產(chǎn)生角位移u1，u2.此結(jié)構(gòu)中只有1個(gè)單元，由精確剛度式（8）得其剛度陣為

由屈曲條件det K＝0，解得臨界力Pcr＝12EI／l2，與精確解誤差達(dá)21.6%.當(dāng)把構(gòu)件劃分為2個(gè)單元時(shí)，誤差可減至0.7%.

2 有限元法在超靜定桿系結(jié)構(gòu)彈性穩(wěn)定分析中的誤判

如前所述，有限元方法判斷結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的依據(jù)是系統(tǒng)切線剛度陣的行列式值為零.這其中并無局部失穩(wěn)、單肢失穩(wěn)或整體失穩(wěn)的考慮.有限單元法是解決復(fù)雜結(jié)構(gòu)分析問題的強(qiáng)有力工具，已成為共識.隨著計(jì)算機(jī)速度與容量的提高，以及各類結(jié)構(gòu)分析軟件的出現(xiàn)，人們對有限元軟件的信任與依賴越來越大.在ANSYS等成熟的著名商用有限元程序?yàn)槿藗兘鉀Q了一個(gè)又一個(gè)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)分析難題時(shí)，除對自身應(yīng)用軟件建模能力不自信之外，極少有人懷疑有限元方法及分析軟件本身可能帶來的問題.但當(dāng)涉及梁桿系統(tǒng)超靜定結(jié)構(gòu)穩(wěn)定分析時(shí)，不得不重新冷靜地審視有限元方法本身帶來的問題.

考察圖2a中的二單元超靜定結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，設(shè)桿1、桿2的截面積為A1＝A2，截面慣性矩為I2＝3I1，承受軸力N 作用.直接用解析法可得系統(tǒng)的臨界力為

而用有限元方法計(jì)算的系統(tǒng)臨界力為

顯然有限元方法計(jì)算系統(tǒng)臨界力是錯(cuò)誤的，因?yàn)橄到y(tǒng)臨界力居然小于桿2單獨(dú)的臨界力為

再考察圖2b中的傾角相同、大小均為θ的對稱二桿結(jié)構(gòu)，當(dāng)二桿截面積相等時(shí)，無論截面慣性矩是否相等，由解析法得到的系統(tǒng)臨界力皆為

式（20）中，I為I1，I2中的較小者，顯然與解析法得出的解有差別.

由這2個(gè)簡單超靜定結(jié)構(gòu)實(shí)例不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)結(jié)構(gòu)中某根桿件首先失穩(wěn)時(shí)，有限元程序即給出整體失穩(wěn)的判斷，這是典型的誤判.

考察圖3中的二單元靜定結(jié)構(gòu)和圖4中的三單元超靜定結(jié)構(gòu)，均承受軸力P作用.設(shè)2圖中桿1、桿2的材料參數(shù)相同，均為φ20mm的鋼管，圖4中桿3材料使用φ12mm的鋼管.運(yùn)用有限元軟件ANSYS和SAP計(jì)算，得到圖3的二單元靜定結(jié)構(gòu)屈曲載荷為120.47kN，圖4的三單元超靜定結(jié)構(gòu)屈曲載荷為51.628kN.三單元超靜定結(jié)構(gòu)多了1根構(gòu)件，其他結(jié)構(gòu)與二單元靜定結(jié)構(gòu)相同，可是有限元軟件算出的屈曲載荷居然比二單元靜定結(jié)構(gòu)屈曲載荷低得多，顯然又是誤判.

圖2 二單元超靜定結(jié)構(gòu)Fig.2 2-element statically indeterminate structure

圖3 二單元靜定結(jié)構(gòu)圖Fig.3 2-element statically determinate structures

圖4 三單元超靜定結(jié)構(gòu)Fig.4 3-element statically indeterminate structure

有限元工具在面臨超靜定梁桿結(jié)構(gòu)時(shí)，出現(xiàn)了誤判.而工程機(jī)械結(jié)構(gòu)中又是如此廣泛地使用超靜定梁桿架結(jié)構(gòu)，并如此倚重有限元工具，這是不得不重視的問題.采用有限元方法分析靜定梁桿結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性時(shí)，如何克服通用有限元軟件在計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)穩(wěn)定臨界力時(shí)的“誤判”至關(guān)重要.為此，首先須找出導(dǎo)致誤判的原因.

既然有限元方法判斷結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的依據(jù)是系統(tǒng)切線剛度陣的行列式值為零，那么根源就在系統(tǒng)切線剛度陣的構(gòu)成上.由較為簡單的圖2二單元結(jié)構(gòu)著手，系統(tǒng)的切線剛度陣可表為

系統(tǒng)失穩(wěn)條件式為

從式（12）中可知，這是2個(gè)鉸接桿單元剛度陣行列式值的乘積，無論哪個(gè)單元剛度陣行列式值先為零，系統(tǒng)都將宣告失穩(wěn)，誤判由此產(chǎn)生.

考察任意2端鉸接桿單元剛度參數(shù)在系統(tǒng)剛度陣的位置，不難得知，單元的端部轉(zhuǎn)動自由度獨(dú)立于系統(tǒng)的其他自由度，其轉(zhuǎn)動剛度與系統(tǒng)其他單元剛度不發(fā)生耦合.不失一般性地對系統(tǒng)剛度陣施加不改變整體剛度矩陣行列式值的初等變換，總可獲得形如下式的等效整體剛度矩陣：

由式（24）可見，各鉸接桿單元剛度陣行列式是獨(dú)立無關(guān)的，無論哪個(gè)單元剛度矩陣的行列式值先為零，系統(tǒng)都將宣告失穩(wěn)，而系統(tǒng)的整體失穩(wěn)則取決于A的行列式.要消除穩(wěn)定性臨界力誤報(bào)，就必須找出小于整體失穩(wěn)載荷的失穩(wěn)單元.

3 超靜定桁架結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性誤判消除的單元撤換法

由前述分析可知，超靜定桁架結(jié)構(gòu)的整體穩(wěn)定臨界力出現(xiàn)誤判的原因，是有限元方法中當(dāng)單元剛度矩陣行列式為零（單元失穩(wěn)）時(shí)，導(dǎo)致整體剛度矩陣行列式為零，出現(xiàn)整體失穩(wěn)的誤判.因此，1個(gè)直接有效的消除誤判方法就是：將單肢失穩(wěn)的單元去除，而在單元2端代之其可承受的歐拉臨界力.例如，作為原超靜定的桁架結(jié)構(gòu)，如圖5a所示，去掉1個(gè)多余桿件仍為超靜定結(jié)構(gòu)，如圖5b所示，圖5b再去掉1個(gè)多余桿件變?yōu)殪o定結(jié)構(gòu)，如圖5c所示，該結(jié)構(gòu)仍可繼續(xù)承載.

超靜定結(jié)構(gòu)中某些桿件依次失穩(wěn)，被代之以相應(yīng)的單肢歐拉臨界力，直至結(jié)構(gòu)變成靜定結(jié)構(gòu).這個(gè)具有預(yù)加載荷的靜定結(jié)構(gòu)的臨界失穩(wěn)載荷，即為原系統(tǒng)的臨界力.單元撤換法的思路是很簡潔、直觀的，對簡單結(jié)構(gòu)可人為分析判斷.但事實(shí)上實(shí)施起來并非易事，對高次超靜定的復(fù)雜結(jié)構(gòu)尤為如此.其難度在于，如何在眾多的桿件中依次找出先行失穩(wěn)的桿件，將其去除并代之以桿當(dāng)前的軸力（即單元的歐拉臨界力）.顯然只能通過編程進(jìn)行系統(tǒng)判斷.雖然現(xiàn)有的通用商業(yè)有限元軟件ANSYS，SAP84等在解決超靜定桁架穩(wěn)定性分析上存在誤判的功能缺陷問題，但其程序組織、數(shù)學(xué)模型與力學(xué)模型的組裝和求解功能的強(qiáng)大與成熟是眾所公認(rèn)的.因此，需合理利用ANSYS的程序內(nèi)核，引入單肢失穩(wěn)判斷和處理方法，在ANSYS平臺上構(gòu)建新的有限元分析力學(xué)模型，進(jìn)而求解新的系統(tǒng)臨界力，依次消除各階次超靜定引起的誤判，得到系統(tǒng)真正的彈性穩(wěn)定臨界力.

圖5 超靜定結(jié)構(gòu)桿單元撤除法示例Fig.5 Demonstration of element replacement in statically indeterminate structure

4 基于ANSYS平臺的桿系結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析軟件開發(fā)

如前所述，采用有限元軟件計(jì)算所得的超靜定桁架結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)臨界力未必是表征結(jié)構(gòu)失穩(wěn)臨界狀態(tài)的受力情況.為了得到這類桁架結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的臨界載荷，對通用的有限元分析軟件進(jìn)行二次開發(fā)在工程中有很大的實(shí)際意義.超靜定結(jié)構(gòu)在整體沒有失穩(wěn)之前桿件變形可用小撓度理論分析［9］，認(rèn)為桿件的失穩(wěn)是一類失穩(wěn)來簡化計(jì)算.當(dāng)桁架結(jié)構(gòu)出現(xiàn)單肢失穩(wěn)時(shí)，如果繼續(xù)增加載荷，失穩(wěn)的桿件單元所受的內(nèi)力保持臨界值，并不會因外載增加而增加，此時(shí)，其他單元將分擔(dān)全部增加的載荷.所以，從受力特性上來說，此時(shí)的結(jié)構(gòu)已經(jīng)發(fā)生變化，要繼續(xù)分析結(jié)構(gòu)是否還有承載能力，必須對有限元分析模型進(jìn)行相應(yīng)的改動，建立起與實(shí)際結(jié)構(gòu)受力相同的等效結(jié)構(gòu)模型.本文基于ANSYS環(huán)境進(jìn)行二次開發(fā)，在進(jìn)行穩(wěn)定分析過程中對結(jié)果進(jìn)行分析，判斷ANSYS得到的臨界狀態(tài)是否為單肢失穩(wěn)臨界狀態(tài)，并進(jìn)一步建立等效分析模型，繼續(xù)穩(wěn)定性分析，直到得到結(jié)構(gòu)整體失穩(wěn)時(shí)的臨界載荷.本文開發(fā)的程序流程如圖6所示.

圖7所示的交叉腹桿式塔式建筑起重機(jī)，每一面塔身腹桿交叉對稱布置，受力量值大體相等，拉壓相反.由于腹桿較纖細(xì)，桿件長細(xì)比很大，在有限元分析中很快就出現(xiàn)失穩(wěn).實(shí)際上把壓桿去除后，另一受拉腹桿仍可單獨(dú)提供結(jié)構(gòu)的安全工作.運(yùn)用本文提供的方法和分析程序，很好驗(yàn)證了這一點(diǎn).

圖6 基于ANSYS的桿系穩(wěn)定性分析程序流程Fig.6 Program flowchart of stability analysis of truss structure based on ANSYS

圖7 大長細(xì)比交叉腹桿式塔式起重機(jī)的計(jì)算簡圖Fig.7 Calculation model of tower crane with large slenderness ratio and crossed flank rod

5 結(jié)論

格構(gòu)式桁架結(jié)構(gòu)如塔身、吊臂是塔式起重機(jī)及施工升降機(jī)等起重設(shè)備的主要組成部分，它們的穩(wěn)定性關(guān)乎整機(jī)工作的安全性.桁架結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析由于其復(fù)雜性需借助有限元軟件實(shí)現(xiàn)，通過對桿系結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論和有限元穩(wěn)定理論的深入分析運(yùn)用，解決了有限元軟件分析超靜定桁架結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性出現(xiàn)誤判的問題，完善了有限元軟件在桁架結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用，為工程應(yīng)用提供了有益的參考和借鑒.

［1］全國起重機(jī)械標(biāo)準(zhǔn)化技術(shù)委員會.GB／T3811—2008 起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范［S］.北京：中國標(biāo)準(zhǔn)出版社，2008.National Standardization Technical Committee of Hoisting Machinery.GB／T3811—2008Design rules for cranes［S］.Beijing：China Standards Press，2008.

［2］夏擁軍.計(jì)及二階效應(yīng)的柔性桿系動態(tài)分析及在起重機(jī)械中的應(yīng)用［D］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2007.XIA Yongjun.Dynamic analysis with second-order effect for flexible beam systems and its application in crane［D］.Harbin：Harbin Institute of Technology，2007.

［3］李涵，陸念力.綴條式格構(gòu)受壓構(gòu)件整體穩(wěn)定性計(jì)算精度的探討［J］.建筑機(jī)械化，2005（9）：25-28.LI Han，LU Nianli.Discussion about precision of whole stability of compressed sewed batten latticed column［J］.Construction Mechanization，2005（9）：25-28.

［4］陸念力，王佳，蘭朋.格構(gòu)式構(gòu)件整體穩(wěn)定性分析的等效慣性矩法［J］.建筑機(jī)械，2008（8）：79-82.LU Nianli，WANG Jia，LAN Peng.Equivalent inertia moment method to the overall stability analysis of lattice type beam［J］.Construction Machinery，2008（8）：79-82.

［5］陸念力，蘭朋，李良.二階理論條件下的梁桿系統(tǒng)精確有限元方程及應(yīng)用［J］.哈爾濱建筑大學(xué)學(xué)報(bào)，1998，31（4）：67-74.LU Nianli，LAN Peng，LI Liang.Appilication of FEM of beam element with theory ofⅡ order［J］.Journal of Harbin University of Civil Engineering and Architecture，1998，31（4）：67-74.

［6］孫煥純，王躍方.對桁架結(jié)構(gòu)穩(wěn)定分析經(jīng)典理論的討論［J］.計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2005，22（3）：316-319.SUN Huanchun，WANG Yuefang.Comment on classical theory of stability analysis for truss structures［J］.Chinese Journal of Computational Mechanics，2005，22（3）：316-319.

［7］孫煥純，王躍方，劉春良.扁桁架結(jié)構(gòu)穩(wěn)定分析幾何非線性臨界點(diǎn)——?dú)W拉理論［J］.大連理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，47（5）：629-633.SUN Huanchun，WANG Yuefang，LIU Chunliang.Geometrically nonlinear critical-point—Eulerian stability theory for stability analysis of shallow truss structures［J］.Journal of Dalian University of Technology，2007，47（5）：629-633.

［8］王勖成.有限單元法［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2003.WANG Xucheng.Finite element method［M］.Beijing：Tsinghua University Press，2003.

［9］陳驥.鋼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論與設(shè)計(jì)［M］.第3版.北京：科學(xué)出版社，2003.CHEN Ji.Stability theory and design of steel construction［M］.3rd ed.Beijing：Science Press，2003.