王春生，侯云海，劉凡

(1.長春市政瀝青混凝土有限公司，長春 130123；2.長春工業(yè)大學，長春 130012)

在自動控制系統(tǒng)中，以倒立擺為控制對象的自動調(diào)節(jié)系統(tǒng)因組成結構簡單、控制方法便于調(diào)整驗證、控制性能和結果直觀，特別可以直接地模擬機器人關節(jié)控制、火箭發(fā)射架姿態(tài)控制、航空飛行器的陀螺平衡控制等過程，故作為一種時變的非線性控制對象，在進行控制方法和有效驗證各種新型理論的應用研究上，作為基礎試驗模型常被采用。例如為之開發(fā)的單支點直線倒立擺；雙支點小車倒立擺；單級、二級直線倒立擺；單級、多級旋轉倒立擺等。因倒立擺系統(tǒng)是一個典型的時變非線性系統(tǒng)，故對此所采取的理論研究和控制方法研究也比較多，一般對單支點系統(tǒng)，多在平衡點附近線性化，之后采用線性控制理論方法進行系統(tǒng)設計與控制的研究。但隨著自動控制系統(tǒng)中被控對象復雜程度的加深，很難建立起被控對象的精確的數(shù)學模型，因此傳統(tǒng)的控制方法很難滿足現(xiàn)代化需要，而模糊控制、人工智能神經(jīng)網(wǎng)絡是解決這類問題的有效工具，也是目前應用研究的主流和熱點[1-3]。

采用步進電機驅動平衡臂，通過平衡臂的旋轉、擺動控制思想做成了一個單支點垂直型旋轉式倒立擺的系統(tǒng)模型。以倒立擺的回轉角、角變化率為控制輸入量，采用模糊決策控制方法，通過調(diào)節(jié)旋轉臂的轉速、轉向，即電機的轉矩、轉向實現(xiàn)倒立擺的控制。

1 倒立擺的動力學模型

圖1是本系統(tǒng)制作的單支點旋轉式倒立擺的示意圖。采用步進電機作為旋轉系統(tǒng)的控制執(zhí)行元件，旋轉臂通過滑環(huán)與電機軸固定聯(lián)接，其中一端安裝有光電編碼器實現(xiàn)位移檢測，倒立擺通過軸承與固定在旋轉臂上的光電編碼器聯(lián)接。通過檢測倒立擺的轉角位移及轉角變化率，經(jīng)過控制系統(tǒng)的模糊控制規(guī)律判決，輸出電機的控制信號，調(diào)節(jié)電機的旋轉速度、方向和角度，從而實現(xiàn)了倒立擺的平衡控制。

圖1 旋轉倒立擺示意圖Fig.1 Diagram of verticalrotary inverted pendulum

圖2 基本坐標系Fig.2 The basic reference frame

為推導倒立擺系統(tǒng)的運動狀態(tài)及動力學模型，取電機旋轉軸為坐標原點，水平面內(nèi)取 x，y軸，假定電機及倒立擺逆時針旋轉為轉角的正方向，如圖2所示。系統(tǒng)具有兩個自由度，選取1，2為廣義坐標，則在任意時刻，倒立擺重心位置的坐標可用下式來描述。

系統(tǒng)的動能K可表示如下：

選取擺、臂在垂直位置為零勢能位置，則系統(tǒng)的勢能為：

把(3)，(4)式代入拉格朗日方程[4]

可得系統(tǒng)的運動方程式:

由運動方程可知，此系統(tǒng)是一個多變量、高階次、非線性的復雜系統(tǒng)。假設倒立擺的擺動幅度很小，可認為且忽略高相，則式(6)，(7)可化為：

對(10)、(11)兩式進行拉普拉斯變換可得：

由上式可知，整理后的傳遞函數(shù)非常繁瑣，因此本設計采用模糊控制法。

2 圖形建模與仿真

為便于構圖，將式(10)、(11)改寫為下列形式：

圖3 倒立擺的動力模型仿真結構圖Fig.3 The simulation frame of dynamic model for inverted pendulum

圖4 倒立擺模糊控制系統(tǒng)模型Fig.4 The model of fuzzy control systemfor inverted pendulum

圖5 平衡臂的仿真結果Fig.5 The simulation result of balance arm

圖6 擺的仿真結果Fig.6 The simulation result of pendulum

根據(jù)(12)、(13)兩式，在 MATLAB中畫出仿真結構圖如圖3所示。

利用模糊邏輯控制塊及圖3，可得出倒立擺模糊控制系統(tǒng)模型，如圖4所示。其中圖3為圖4中"pendulum dynamics"的子系統(tǒng)，其"animbai"為擺的仿真函數(shù)[5]。

圖3，4是在Simulink環(huán)境下，應用S函數(shù)及模糊邏輯工具箱產(chǎn)生的模糊邏輯控制塊，針對系統(tǒng)運動狀態(tài)空間方程建立的倒立擺模糊控制系統(tǒng)模型[6]。由圖3，4得仿真結果如下圖5，6所示。

由仿真結果可知擺能夠在小角度范圍內(nèi)穩(wěn)定擺動，實現(xiàn)了對擺的控制。

4 結論

本文基于拉格朗日動力學分析方法，推導出倒立擺的運動方程。在對系統(tǒng)進行可行的近似化處理后，給出了便于實現(xiàn)的簡化控制關系模型。以倒立擺的回轉角，角變化率為控制輸入量，采用模糊控制方法實現(xiàn)了倒立擺的平衡控制規(guī)律。并通過MATLAB仿真實驗確認了該控制方法的可行性。不但初步解決了倒立擺非線性系統(tǒng)的控制問題，同時也可應用到多級雙支點倒立擺的控制系統(tǒng)中。

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