王永鋒

一、教學(xué)困惑

【案例】考試的“困惑”

情境描述：

2002年某縣期末考試卷上有這樣的一道估算題：

51×29≈

閱卷時發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的結(jié)果五花八門，具體答案有：①51×29≈1478 ②51×29≈1480 ③51×29≈1500 ④51×29≈1450 ⑤51×29≈1530 ⑥51×29=1479。其中，①②③三種答案居多。

對此，閱卷教師的意見不一。有人認(rèn)為答案③④⑤都應(yīng)該是對的。有人認(rèn)為，依據(jù)參考答案，只有答案③正確，答案④⑤不是最好的。

困惑討論：

（1）答案⑥能算對嗎？（2）什么叫做答案不是最好的？答案的好與不好有什么標(biāo)準(zhǔn)?為什么會出現(xiàn)答案①②?經(jīng)過一番訪談、分析、思考，我們終于明白了他們的想法，他們先算出51×29=1479，再用1479加上1或減去1得到。造成這樣結(jié)果的原因是什么?

二、一幅圖的啟示

從圖中讓我們認(rèn)識到：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和學(xué)會計算是什么關(guān)系?在數(shù)學(xué)教育中，是把計算當(dāng)成目標(biāo)，還是把計算當(dāng)做工具，需要我們從更高層面來思考并定位。估算、使用計算器、使用計算機(jī)三個新途徑出現(xiàn)，促使我重新思考計算教學(xué)的價值與意義。

我們應(yīng)該把計算放在數(shù)學(xué)體系之中，讓學(xué)生明白，他們什么時候需要計算，為什么要計算，選擇什么方法進(jìn)行計算，他們需要精確答案還是近似答案。學(xué)生就會將計算作為解決問題的一個組成部分，把計算與實(shí)際問題情境聯(lián)系起來。

這幅圖讓我們認(rèn)識到估算在計算中應(yīng)有的地位。估算與精算是計算的兩種基本形式，估算不是附屬于精算的，它可以獨(dú)立存在。同時，估算貫穿于精算（筆算、使用計算器、使用計算機(jī)）產(chǎn)生精確答案的過程之中，以便預(yù)見利用筆算、使用計算器、使用計算機(jī)所得到的計算結(jié)果的合理性（是否在正確結(jié)果的范圍內(nèi)）。

這幅圖讓我們認(rèn)識到計算內(nèi)部各種形式之間的關(guān)系，以及計算教學(xué)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的地位。當(dāng)然，更讓我們對估算另眼相看。

三、我們尋找怎樣的出路

1.重新認(rèn)識估算在計算教學(xué)中的地位

生活中，有時需要一個精確的結(jié)果，有時只需要一個大概的結(jié)果，這就需要用到精算或估算，但什么時候用精算，什么時候用估算，必須讓學(xué)生感受到各自不同的 作用。學(xué)生在大量的精算影響下，精算的意識強(qiáng)于估算。面對現(xiàn)實(shí)的問題情境時，學(xué)生會在一種無意識狀態(tài)下首先調(diào)用精確計算來解決問題。面對這樣的現(xiàn)狀，相對于培養(yǎng)學(xué)生而言，在怎樣的情境下、選擇什么估算策略，這樣的意識就至關(guān)重要。作為教師要抉擇估算教學(xué)需要教什么?或者說如何培養(yǎng)學(xué)生的估算意識?我們認(rèn)為：估算意識是指學(xué)生運(yùn)用估算手段解決一些實(shí)際問題（日常生活情境問題、純算式問題）的意識與方法。主要包括：①面對實(shí)際問題確定在什么情況下需要精算，什么情況下需要估算；②在需要估算的時候，能合理地選擇某一種估算策略解決問題，并對結(jié)果的合理性作出解釋。

（1）在怎樣的情境下需要估算

在日常生活中，由于條件的限制，人們常常無法（有時也沒必要）進(jìn)行精確的計算和判斷，這時只需采用估算。如購物吃飯，要估算價格；行車走路，要估算時間；出差旅游，要估算路程；投資經(jīng)商，要估算成本、利潤等。然而，相對于課堂教學(xué)，估算教學(xué)是一個新內(nèi)容，我們沒有太多的經(jīng)驗積累。我們大家內(nèi)心都承認(rèn)估算在生活中的應(yīng)用價值，承認(rèn)在生活中估算比精算用得還多，可是真正好的例子，能夠在課堂中讓學(xué)生理解估算的意義、估算策略多樣化的例子就太少了。這讓我想起一句話“一般的方法不一定能簡便，簡便的方法一定有局限性”。我們試圖拉大背景探討困惑。在什么情況下需要使用估算?當(dāng)前的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，學(xué)生往往在看到“大約、左右”字眼時才用估算。使用估算的情況主要有以下三種：

①已知的數(shù)據(jù)不精確。在第一學(xué)段，有些無法進(jìn)行精算的情景，只有運(yùn)用估算。如北師大版（2004年版）三年級上冊第38頁實(shí)踐活動，估計“一千克黃豆大約有多少粒?”就比較容易創(chuàng)設(shè)情景引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行估算。

②計算中使用簡化的近似公式，或者約簡計算過程。例如，李阿姨在商店挑選了兩袋米、一塊牛肉、一些蔬菜和魚，售貨員告訴她：每袋米35.4元，一塊牛肉14.8元，蔬菜和魚分別為6.7元和12.8元。李阿姨帶了100元，夠嗎？又如269.9×7.1大約是多少？ + 比1大嗎？

③忽略次要因素或數(shù)據(jù)。在這種情況下，計算的結(jié)果一般是近似值，誤差的大小取決于估算的方法，而誤差的允許范圍則取決于問題的實(shí)際背景和特定要求。

（2）在怎樣的情境下運(yùn)用怎樣的估算策略

根據(jù)我們的文獻(xiàn)綜述研究表明，估算策略呈現(xiàn)多樣化。徐群飛（2004）在其碩士論文中，按問題類型對學(xué)生所用的估算策略加以歸納。具體包括：①整數(shù)運(yùn)算題的估算策略主要有取整估算、取平均值估算、口訣估算法、數(shù)位估算法和利用標(biāo)準(zhǔn)算法估算。其中取整估算主要包括以下幾種：四舍五入法、保留最高位法（截斷法）、增減平衡法、省略尾數(shù)法。②分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）題的估算策略主要有取整估算、化成小數(shù)估算、利用性質(zhì)估算法、引入中間量進(jìn)行估算。③小數(shù)題的估算策略主要有取整估算、化成其他更容易計算的小數(shù)或分?jǐn)?shù)再估算、利用性質(zhì)估算法或利用標(biāo)準(zhǔn)算法估算。然而，當(dāng)前眾多的研究表明，小學(xué)生在選擇估算策略時，最常用的是四舍五入法、取整法、取平均值法，而且學(xué)生習(xí)慣于對整數(shù)估算，對小數(shù)、分?jǐn)?shù)的估算相對弱一些。

估算策略的選擇主要取決于：取整。在運(yùn)算中決定如何取整依賴于所涉及的具體數(shù)字和使用的運(yùn)算法則以及問題的實(shí)際情景。例如，下面的例子就涉及多種不同情況的估算，在不同情況下分別選擇哪種估算方法，需要具備一定的策略。

爸爸想買以下兩件商品：皮鞋387元、西服525元。

（1）購買前估計，帶1000元夠不夠?（估算，保留最高位法）

（2）付款前估計，大約需要幾百元?（估算，可用四舍五入法）

（3）收銀員收款，一共需要多少元?（精算）

（4）購物800元以上可抽獎一次，能否抽獎?（估算，省略尾數(shù)法）

估算策略的靈活運(yùn)用是難以教會的，必須讓學(xué)生在各種具體情境中逐步體驗、感悟。我們教師要在不同的場合給學(xué)生提供估算的機(jī)會（不單是在估算內(nèi)容教學(xué)時強(qiáng)調(diào)）。當(dāng)然，主要的估算策略，我們設(shè)置專門的估算課進(jìn)行學(xué)習(xí)。

當(dāng)前我們欠缺的是對問題背景的理解和研究。重要的是應(yīng)讓學(xué)生明白什么時候估算是合理的,如何根據(jù)形勢和環(huán)境來確定精確度,如何提取主要因素，哪些數(shù)據(jù)可以忽略不計

等。還應(yīng)讓學(xué)生明白精確并不總是比近似好，有時精確是不可能的，甚至是荒謬的。在這里，我們教師自身也要作出深刻的反思，我們對估算了解多少?對于估算我們知道些什么?我們知道估算的意義嗎?估算有哪些教學(xué)策略?自身具備估算的本體性知識（如離散量和連續(xù)量、絕對誤差和相對誤差）嗎?我們對估算教學(xué)的態(tài)度和筆算教學(xué)一樣嗎?估算作為一種教學(xué)內(nèi)容上的新生事物,我們要去接納它、去認(rèn)識它、去理解它。在這個過程中，我們不能守望于教材，我們要不斷積累教學(xué)經(jīng)驗，去借鑒專家的研究，運(yùn)用理論的導(dǎo)向去探索估算教學(xué)的好案例。當(dāng)我們真正感悟到估算的價值時，我們才會培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行估算的意識。事實(shí)上，在生活中是否使用估算往往不是能力問題，而主要是意識和習(xí)慣的問題。

2.進(jìn)行估算的基礎(chǔ)有哪些

學(xué)生得到估算值時的一個基本觀念就是靈活地運(yùn)用取整策略將困難的運(yùn)算變成相對容易的可以心算或只需要少量筆算的過程。要實(shí)現(xiàn)這樣的目標(biāo)，就需要學(xué)生熟記基本運(yùn)算，能對整十?dāng)?shù)和十的倍數(shù)進(jìn)行在可視范圍內(nèi)的運(yùn)算，以及知道不同運(yùn)算法則對數(shù)字的不同影響。

（1）熟練掌握數(shù)的基本運(yùn)算。數(shù)的基本運(yùn)算是100以內(nèi)的加減乘除運(yùn)算。我國現(xiàn)行《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在第三部分內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)中對數(shù)的運(yùn)算作出具體界定。數(shù)的基本運(yùn)算以第一段（1~3年級）內(nèi)容為主。具體包括：熟練地口算20以內(nèi)的加減法和表內(nèi)乘除法，能口算百以內(nèi)的加減法和一位數(shù)乘除兩位數(shù)；能計算三位數(shù)的加減法，一位數(shù)乘三位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法，三位數(shù)除以一位數(shù)的除法（主要以整十整百整千數(shù)為主）；能比較一位小數(shù)的大小，能比較同分母分?jǐn)?shù)（分母小于10）的大??；會進(jìn)行同分母分?jǐn)?shù)（分母小于10）的加減運(yùn)算以及一位小數(shù)的加減運(yùn)算。另外，包括第二段（4~6年級）的內(nèi)容，探索并了解運(yùn)算律，會應(yīng)用運(yùn)算律進(jìn)行簡便運(yùn)算；能分別進(jìn)行簡單的小數(shù)、分?jǐn)?shù)（不含帶分?jǐn)?shù)）加、減、乘、除運(yùn)算及混合運(yùn)算；另外，還有一些特殊速算，如25×4、125×8。這些數(shù)的基本運(yùn)算的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)并不多。我們在整理分析過程中發(fā)現(xiàn)這些要求中有很多涉及0、1、2并借助運(yùn)算的一些屬性。這就要求學(xué)生在學(xué)習(xí)這些基本運(yùn)算時，既要關(guān)注練習(xí)的量，使其達(dá)到“熟能生巧”，又要強(qiáng)調(diào)學(xué)生對這些基本運(yùn)算的領(lǐng)悟、理解，使其能“靈活運(yùn)用”。我們的教學(xué)經(jīng)驗提醒我們，在運(yùn)算教學(xué)中我們過分強(qiáng)調(diào)運(yùn)算的程序性（如筆算時的一些計算方法），而忽視學(xué)生在運(yùn)算中的靈活性與變換性。筆者曾做過一些日常調(diào)查，如124÷0．5與124×2兩類題哪類計算簡單?學(xué)生普遍不能轉(zhuǎn)化為一類解決。因此，在學(xué)生進(jìn)行練習(xí)時，教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，去感悟運(yùn)算內(nèi)部的聯(lián)系。

（2）加強(qiáng)學(xué)生在可視范圍內(nèi)的計算?？梢暦秶鷥?nèi)的計算，是指在數(shù)的運(yùn)算中不需要使用筆算或計算器能快速、正確得出答案的計算。許多計算都能通過運(yùn)用數(shù)位思想、基本運(yùn)算、分?jǐn)?shù)或小數(shù)或百分?jǐn)?shù)的恒等形式和運(yùn)算特性作出快速反應(yīng)。如8000+3000、2300-600、500×30、6300÷900、0．75+0．25、0．6×70、57．6÷100、10÷2．5、9- 、6÷ 、420的50％等等。這些計算能為估算運(yùn)算中的策略選擇提供思考支點(diǎn)。

（3）強(qiáng)調(diào)學(xué)生對運(yùn)算法則的理解。為估算選擇合理的策略與估算值需要理解運(yùn)算基本規(guī)律的意義以及對數(shù)字的影響。運(yùn)算基本規(guī)律就是加法交換律、乘法交換律、加法結(jié)合律、乘法結(jié)合律以及乘法對加法的分配律。小學(xué)階段形形色色的恒等式，歸根結(jié)底都是從這五條基本規(guī)律中推出來的。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生要對加、減、乘、除有整體與具體的理解。

在四年級以前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生會不自覺地形成一種整體影響——“加法、乘法運(yùn)算能使運(yùn)算結(jié)果變得越來越大，減法、除法則是相反”。當(dāng)引進(jìn)小數(shù)與分?jǐn)?shù)后，這種整體認(rèn)識會被純小數(shù)、純分?jǐn)?shù)打破。我們需要啟發(fā)學(xué)生去挖掘數(shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)以及數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系。當(dāng)學(xué)生把握這些數(shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)與關(guān)系后，會把15× 這個算式理解為“15的五分之一”，這樣就會通過15÷5，快速得到答案。而19÷0．5這個算式，則口算的結(jié)果就是19×2=38。

學(xué)生在運(yùn)算中正確理解和使用補(bǔ)償、變換規(guī)則是非常重要的。在使用補(bǔ)償、變換規(guī)則的基本原理是和、差、積、商的變化規(guī)律。如果給一個加數(shù)加上多少，再給另一個加數(shù)減去多 少，和是不變的，如43+57=50+50。這種變化規(guī)律在減、乘、除也有各自的特性，如，73-18=75-20，12 ×16=25×8，0．56÷0．08=56÷8。另外，我們要注意數(shù)值大小對加減、乘除運(yùn)算的影響。如千位數(shù)加上一個十位數(shù)，結(jié)果不會發(fā)生大的變化。但千位數(shù)乘十位卻會得到一個萬位數(shù)或十萬位數(shù)。千位數(shù)除以十位數(shù)會得到一個百位數(shù)。當(dāng)涉及分?jǐn)?shù)、小數(shù)更要注意，像0．01這樣小的數(shù)，加減運(yùn)算中可以忽略，但若是乘除法時則大不一樣。如789．64+0．01，789．6÷0．0l。

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