歐麗 ，葉梅新，周德

(1. 中南大學(xué) 土木工程學(xué)院, 湖南 長(zhǎng)沙，410075；2. 長(zhǎng)沙理工大學(xué) 土木與建筑學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410076)

隨著我國(guó)交通運(yùn)輸事業(yè)的迅速發(fā)展，我國(guó)在千峰萬(wàn)壑、縱橫起伏的地區(qū)修建的橋梁日益增多，這些溝壑地區(qū)地形特點(diǎn)為塬高、溝深、坡陡，因而修建的橋墩較高，有的高達(dá)100 m以上，而且這些橋梁往往集高墩、大跨徑于一身，使墩梁結(jié)構(gòu)受力復(fù)雜，結(jié)構(gòu)強(qiáng)度及穩(wěn)定問(wèn)題[1-3]較突出。高墩大跨徑 T構(gòu)橋的高墩大多采用空心截面形式，為了跨越深谷，不得不設(shè)置高墩以滿足線路的需要，為此，必須了解墩高與橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系。經(jīng)典彈性穩(wěn)定理論給出了等直桿臨界力的精確公式，并通過(guò)長(zhǎng)細(xì)比來(lái)界定等直桿的失效是穩(wěn)定問(wèn)題還是強(qiáng)度問(wèn)題，但工程實(shí)際中的桿件多為變截面桿，沒(méi)有對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)細(xì)比計(jì)算公式可供參考，一般將穩(wěn)定問(wèn)題和強(qiáng)度問(wèn)題[4-5]一并考慮，按經(jīng)驗(yàn)取值。目前，關(guān)于變截面高墩的文獻(xiàn)大多利用有限元數(shù)值計(jì)算軟件進(jìn)行分析，給出解析解的結(jié)構(gòu)截面形式較簡(jiǎn)單[6-7]。在此，本文作者在經(jīng)典穩(wěn)定理論的基礎(chǔ)上考慮強(qiáng)度問(wèn)題，取施工階段單壁墩T構(gòu)橋?yàn)檠芯繉?duì)象，推導(dǎo)出符合實(shí)際且簡(jiǎn)單的臨界墩高和最大墩高理論計(jì)算公式，利用數(shù)學(xué)軟件Maple編制程序，并給出界定大柔度壓桿和小柔度壓桿的坡度近似值。

1 結(jié)構(gòu)截面幾何特性參數(shù)

T構(gòu)橋有3種形式(圖1)，即跨中設(shè)鉸的鉸接T構(gòu)橋、跨中帶吊梁的T構(gòu)橋和單跨T構(gòu)橋，本文討論施工階段的 T構(gòu)靜定體系(圖 2(a))。取變截面空心矩形橋墩進(jìn)行分析(圖2(b)與圖3)，按坡度變化給出截面幾何特性沿墩高的表達(dá)式。主梁采用變截面箱形截面，頂板、腹板及底板皆按規(guī)范取值。為分析和計(jì)算方便，按設(shè)計(jì)圖紙將主梁截面幾何特性用數(shù)學(xué)軟件Maple進(jìn)行擬合，所有計(jì)算不計(jì)混凝土內(nèi)鋼筋。

圖1 T構(gòu)橋3種結(jié)構(gòu)形式Fig.1 Three types of T-shape rigid frame bridge

圖2 結(jié)構(gòu)及截面形式Fig.2 Configuration and cross section

圖3 墩身坐標(biāo)示意圖Fig.3 Diagrammatic sketch for pier’s body

建立如圖 2(a)所示坐標(biāo)系，橋墩與主梁的坐標(biāo)原點(diǎn)均取在墩梁固接處截面形心處。圖2(b)所示為變截面空心矩形橋墩墩頂截面形式，設(shè)墩頂截面橫橋向(z方向)外壁寬a10，且與梁底等寬，內(nèi)壁寬a20，順橋向(y方向)外壁寬b10，內(nèi)壁寬b20，墩身內(nèi)外邊緣均沿墩高按線性變化，橫橋向墩身外壁坡度為k1，內(nèi)壁坡度為 m1，順橋向墩身外壁坡度為 k2，內(nèi)壁坡度為 m2，則墩身任意截面的截面尺寸為(圖3)：

任意截面的橫截面面積A和對(duì)y軸、z軸的慣性矩Iy和Iz分別為：

圖 2(c)所示為主梁橫截面形式和主梁坐標(biāo)系，任意截面的橫截面面積 A1和對(duì)z1軸的慣性矩 I1按設(shè)計(jì)圖紙用數(shù)學(xué)軟件Maple擬合為：

2 高墩的結(jié)構(gòu)分析

2.1 穩(wěn)定分析

采用鐵摩辛柯能量法[8]進(jìn)行分析，求結(jié)構(gòu)的臨界墩高，即結(jié)構(gòu)失穩(wěn)前所能達(dá)到的最大墩高。當(dāng)結(jié)構(gòu)體系處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，且給以微小擾動(dòng)使其偏離原來(lái)的平衡位置時(shí)，體系的應(yīng)變能將因此而增加ΔU，外力將增加作功ΔW。當(dāng)結(jié)構(gòu)體系從穩(wěn)定平衡過(guò)渡到不穩(wěn)定平衡而處在臨界狀態(tài)時(shí)，其能量關(guān)系為：

目前，很多文獻(xiàn)都認(rèn)為成橋使用階段的穩(wěn)定性高于施工階段的穩(wěn)定性[9-11]，因而在這里僅對(duì)施工時(shí)墩身自體施工階段和最大懸臂施工階段進(jìn)行討論。

2.1.1 墩身自體施工階段

墩身結(jié)構(gòu)如圖 2(a)所示，墩身自體施工階段順橋向失穩(wěn)模態(tài)下的平面力學(xué)體系見(jiàn)圖 4(a)，設(shè)墩身彎曲失穩(wěn)的位移函數(shù)為：

式(4)滿足幾何和力學(xué)邊界條件，即

結(jié)構(gòu)應(yīng)變能為：

外力功為：

其中：E為墩身彈性模量；γ為墩身混凝土容重。式(5)中的I在順橋向失穩(wěn)時(shí)取式(1)中的Iz，橫橋向失穩(wěn)時(shí)取式(1)中的Iy。將式(1)，(4)~(6)一并代入式(3)，可得l=f(c1,c2)，因而，有：

欲得到c1和c2的非零解，方程組(7)的系數(shù)行列式應(yīng)等于0，即：

其中：k11，k12，k21和 k22為包含 l和各已知參數(shù)的多項(xiàng)式，k12=k21。當(dāng)給定截面參數(shù)以后，就可通過(guò)方程式(8)得到相應(yīng)的臨界墩高，臨界墩高計(jì)算公式見(jiàn)文獻(xiàn)[12]。

圖4 結(jié)構(gòu)順橋向失穩(wěn)分析受力圖Fig.4 Force diagram of configuration under longitudinal bucking

2.1.2 最大懸臂施工階段

上部結(jié)構(gòu)施工至最大懸臂時(shí)最不安全，結(jié)構(gòu)承受荷載有恒載、施工荷載、節(jié)段施工誤差不平衡重力和風(fēng)載。懸澆施工時(shí)，構(gòu)件的順橋向失穩(wěn)變形情況包括掛籃正常工作和非正常工作(掛籃跌落)。在穩(wěn)定公式推導(dǎo)時(shí)，以掛籃跌落為對(duì)象求臨界墩高，結(jié)構(gòu)如圖2(a)所示，載荷如圖4(b)所示，墩身彎曲失穩(wěn)的位移函數(shù)與前面的相同，主梁位移函數(shù)設(shè)為：

在以下推導(dǎo)中，E1為主梁彈性模量，γ1為主梁混凝土容重，P為2倍掛籃自身重力(主梁一側(cè)掛籃突然跌落，取動(dòng)力放大系數(shù) 2，即把失去的掛籃重力反向放大2倍，施加在原先掛籃位置，按靜力問(wèn)題計(jì)算)，Mz為掛籃跌落時(shí)產(chǎn)生的不平衡彎矩。主梁應(yīng)變能為

式(9)滿足變形協(xié)調(diào)條件，即：

主梁外力所作功為

將式(4)~(6)和(9)~(11)代入能量法公式ΔU+ΔU1=ΔW+ΔW1，可得 l=g(c1, c2)，

忽略方程組(12)的右邊項(xiàng)，得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)特征值問(wèn)題，特征方程為

其中：m11，m12，m21和m22為包含l和各已知參數(shù)的多項(xiàng)式，m12=m21。當(dāng)給定截面參數(shù)以后，就可通過(guò)方程(13)得到相應(yīng)的臨界墩高。

2.2 強(qiáng)度分析

2.2.1 墩身自體施工階段

此階段墩身最大應(yīng)力滿足下列方程：

據(jù)此可計(jì)算出結(jié)構(gòu)失效前所能達(dá)到的最大墩高。

2.2.2 最大懸臂施工階段

此階段需要考慮2種情況，即墩身順橋向有偏位和橫橋向有偏位。對(duì)應(yīng)穩(wěn)定分析時(shí)的順橋向失穩(wěn)和橫橋向失穩(wěn)，高墩偏位參照規(guī)范取l/3 000[13]，順橋向有偏位時(shí)設(shè)偏位方向與掛籃跌落時(shí)產(chǎn)生的不平衡彎矩方向相同，最大應(yīng)力滿足下列方程：

式中：Wz為墩身順橋向抗彎截面模量；[σ]為許用應(yīng)力，此時(shí)由于l/3 000與l1相比非常小，可不計(jì)入Mz之中。由式(15)可計(jì)算出此階段結(jié)構(gòu)失效前所能達(dá)到的最大墩高。

橫橋向有偏位時(shí)設(shè) My為橫橋向有偏位時(shí)產(chǎn)生的不平衡彎矩，最大應(yīng)力滿足下列方程：

本研究發(fā)現(xiàn)是否患有慢性病、睡眠質(zhì)量、性別以及近 2 周內(nèi)有無(wú)身體不適是 SF-36 量表各維度得分的主要影響因素，女性、睡眠質(zhì)量高、無(wú)慢性病、近 2 周內(nèi)無(wú)身體不適者健康生命質(zhì)量更高，其他因素?zé)o明顯影響。說(shuō)明提高睡眠質(zhì)量、控制慢性病、減少短期內(nèi)身體不適等有助于提高該特殊人群的健康生命質(zhì)量。

式中：Wy為墩身橫橋向抗彎截面模量。由式(16)可計(jì)算出此階段結(jié)構(gòu)失效前所能達(dá)到的最大墩高。

2.3 截面參數(shù)對(duì)墩高的影響

工程實(shí)際中的橋墩多為空心變截面墩，壁厚沿墩高亦有變化，壁厚的變化可以通過(guò)改變內(nèi)、外壁的坡度來(lái)實(shí)現(xiàn)。大部分橋墩的坡度變化沿墩高是唯一的，但有些橋墩的坡度變化沿墩高不唯一，如宜萬(wàn)線(湖北宜昌—四川萬(wàn)州)上的馬水河橋，墩高較同類(lèi)T構(gòu)橋的高，其橫橋向內(nèi)、外壁坡度沿墩高分二段變化。本文假設(shè)坡度沿墩高唯一，并分別討論自體施工階段與懸臂施工階段墩身內(nèi)、外壁坡度的變化對(duì)臨界墩高的影響。在施工過(guò)程中，失穩(wěn)模態(tài)有橫橋向和順橋向2種，本文僅給出順橋向失穩(wěn)模態(tài)受力圖(圖4)，強(qiáng)度計(jì)算中的受力圖與穩(wěn)定分析時(shí)的相同。內(nèi)、外壁坡度變化時(shí)臨界墩高的變化趨勢(shì)見(jiàn)圖6和圖7，計(jì)算基本參數(shù)選取如下：E=3.25×1010Pa，E1=3.6×1010Pa，γ=γ1=26 kN/m3，a10=7 m，b10=10 m，a20=3.8 m，b20=6.8 m，k1=0.005，k2=0.001，m1=0.002，m2=-0.000 1，[σ]=18.4 MPa。

2.3.1 自體施工階段墩身坡度對(duì)墩高的影響

圖5 臨界應(yīng)力總圖Fig.5 General map of critical stress

自體施工階段墩高與坡度的關(guān)系見(jiàn)圖 6。從圖 6可見(jiàn)：自體施工階段隨橫橋向外壁坡度 k1的增加(圖6(a))，橫橋向失穩(wěn)模態(tài)下的臨界墩高的增長(zhǎng)明顯快于順橋向失穩(wěn)模態(tài)下的臨界墩高以及強(qiáng)度條件下的最大墩高，說(shuō)明橫橋向外壁坡度的增加可以極大地提高橫橋向的穩(wěn)定性。因?yàn)樵黾觡1可以使Iy迅速增長(zhǎng)，而Iz和A只是略有增長(zhǎng)，但臨界墩高不能無(wú)限增長(zhǎng)，這一點(diǎn)可以從強(qiáng)度條件下的最大墩高有上限看出?？梢?jiàn)：針對(duì)理想壓桿得到的穩(wěn)定計(jì)算公式由于沒(méi)有考慮初曲率或初偏心等缺陷，只能用來(lái)描述截面參數(shù)與臨界墩高的關(guān)系，合理的墩高應(yīng)該同時(shí)滿足強(qiáng)度條件和穩(wěn)定性要求。從圖 6(a)可見(jiàn)：外壁坡度較小時(shí)，墩的高度由穩(wěn)定條件控制，外壁坡度較大時(shí)由強(qiáng)度要求控制。因?yàn)橛?jì)算時(shí)采用的是工程實(shí)際中常用的空心墩，當(dāng)外壁坡度較小時(shí)，壁厚沿墩高增加較小，自身重力增加較小，強(qiáng)度條件容易滿足，同時(shí)，慣性矩較小穩(wěn)定條件難于滿足；而外壁坡度較大時(shí)，自身重力增長(zhǎng)迅速，強(qiáng)度條件成為控制條件，而穩(wěn)定性要求由于Iy的迅速增長(zhǎng)不再成為控制條件。實(shí)際上外壁坡度較大時(shí)高墩已經(jīng)不再是細(xì)長(zhǎng)桿，對(duì)于經(jīng)典穩(wěn)定理論來(lái)說(shuō)，非細(xì)長(zhǎng)桿若誤用了歐拉公式計(jì)算臨界力，其結(jié)果比實(shí)際大(圖5中虛線部分所示 σcr與 λ關(guān)系曲線)，橫截面上的正應(yīng)力有可能超過(guò)比例極限，造成危險(xiǎn)。橫橋向失穩(wěn)模態(tài)下臨界墩高和考慮強(qiáng)度要求時(shí)最大墩高與k1的關(guān)系曲線在k1≈0.012 6有交點(diǎn)，表明以此為界區(qū)分大柔度壓桿和小柔度壓桿，k1≥0.012 6時(shí)橋墩成為小柔度壓桿，因而可以解釋為什么隨橫橋向外壁坡度的增長(zhǎng)而臨界墩高呈無(wú)限上升的態(tài)勢(shì)，這與臨界應(yīng)力總圖上誤用歐拉公式計(jì)算小柔度壓桿臨界應(yīng)力時(shí)曲線無(wú)限上升相符。

圖6 自體施工階段墩高與坡度的關(guān)系Fig.6 Relationship between wall slope and pier height during self-construction of pier

隨順橋向外壁坡度 k2的增加(圖 6(b))，可以得到與圖6(a)基本類(lèi)似的結(jié)論，只需將橫橋向換成順橋向，k1換成 k2，Iy換成 Iz即可。順橋向失穩(wěn)模態(tài)下臨界墩高和考慮強(qiáng)度要求時(shí)最大墩高與k2的關(guān)系曲線在k2≈0.011 2有交點(diǎn)，k2≥0.011 2時(shí)橋墩成為小柔度壓桿。

自體施工階段隨橫橋向內(nèi)壁坡度 m1的增加(圖6(c))，橫橋向失穩(wěn)模態(tài)下的臨界墩高先略有增加后緩慢減小，在m1≈0.001 7處有極值；而順橋向失穩(wěn)模態(tài)下的臨界墩高緩慢增加，強(qiáng)度條件下的最大墩高逐步減小。因?yàn)樵黾觤1將使A和Iy及Iz均減小，A減小使得強(qiáng)度下降；但空心桿件的穩(wěn)定性與Iy/A或Iz/A相關(guān)，A減小使得橫截面積減小，自身重力減小，因而Iy及Iz的減小對(duì)高墩的穩(wěn)定性影響不大。隨順橋向內(nèi)壁坡度m2絕對(duì)值的增加(圖6(d))，橫橋向失穩(wěn)模態(tài)下的臨界墩高緩慢減小，順橋向失穩(wěn)模態(tài)下的臨界墩高先略有增加后緩慢減小，在m2≈-0.002 6取極值，強(qiáng)度條件下的最大墩高逐步增加趨于一個(gè)上限，因?yàn)閙2絕對(duì)值的增加使得墩底截面趨于實(shí)心自身重力增加迅速，同時(shí)，Iy及Iz略增加。

2.3.2 懸臂施工階段墩身坡度對(duì)墩高的影響

懸臂施工階段墩高與坡度的關(guān)系見(jiàn)圖 7。從圖 7可見(jiàn)：懸臂施工階段隨橫橋向外壁坡度 k1的增加(圖7(a))以及順橋向外壁坡度 k2的增加(圖 7(b))，可以得到與自體施工階段基本類(lèi)似的結(jié)論，只是對(duì)應(yīng)同樣的坡度，懸臂施工階段的臨界墩高均小于自體施工階段的對(duì)應(yīng)值，說(shuō)明自體施工階段的穩(wěn)定性強(qiáng)于懸臂施工階段的穩(wěn)定性。懸臂施工階段與自體施工階段所不同的是：此階段驗(yàn)算強(qiáng)度條件時(shí)需要考慮高墩的偏位，考慮橫橋向偏位時(shí)最大墩高比考慮順橋向偏位時(shí)的小。因?yàn)榭紤]橫橋向偏位時(shí)高墩為雙向彎曲與壓縮的組合變形，考慮順橋向偏位時(shí)高墩為單向彎曲與壓縮的組合變形。橫橋向失穩(wěn)模態(tài)下臨界墩高和考慮高墩偏位時(shí)最大墩高與 k1的關(guān)系曲線在 k1≈0.013 1有交點(diǎn)，順橋向失穩(wěn)模態(tài)下臨界墩高和考慮高墩偏位時(shí)最大墩高與k2的關(guān)系曲線在k2≈0.011 7有交點(diǎn)。隨著橫橋向內(nèi)壁坡度m1的增加，橫橋向失穩(wěn)模態(tài)下臨界墩高和順橋向失穩(wěn)模態(tài)下臨界墩高均緩慢減小，強(qiáng)度條件下不論橫橋向偏位還是順橋向偏位最大墩高都逐步減小(圖7(c))。隨順橋向內(nèi)壁坡度m2絕對(duì)值的增加，可以得到與自體施工階段相類(lèi)似的結(jié)果(圖7(d))。

圖7 懸臂施工階段墩高與坡度的關(guān)系Fig.7 Relationship between wall slope and pier height during cantilevered construction

2.4 與經(jīng)典彈性理論的比較

經(jīng)典彈性穩(wěn)定理論只能給出等截面墩在自體施工階段的精確解(ql)cr=7.837EI/l2[14]，當(dāng)k1=k2=m1=m2時(shí)，變截面墩即退化為等截面墩。表1所示為等截面墩自體施工階段在自身重力作用下的墩高。從表1可見(jiàn)：本文方法比精確解略大。這是因?yàn)榧俣ǖ膟不是真實(shí)的彈性曲線，相當(dāng)于增加了約束使其實(shí)現(xiàn)，提高了臨界荷載的值。將表1中數(shù)據(jù)與圖6比較可以發(fā)現(xiàn)：在滿足強(qiáng)度條件和穩(wěn)定條件的前提下，變截面墩理論墩高比等截面墩大，但墩太高時(shí)，施工需滿足豎直度等要求，若高墩的墩身由于施工原因出現(xiàn)了偏斜、彎曲等幾何缺陷，將會(huì)使結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性大大下降甚至產(chǎn)生整體失穩(wěn)的嚴(yán)重后果。

表1 等截面墩自體施工階段墩高Table 1 Height of straight pier during self-construction m

圖 6(a)和 7(a)以及圖 6(b)和 7(b)所示 k1或 k2界限值與臨界應(yīng)力總圖上歐拉公式與經(jīng)驗(yàn)公式界限點(diǎn)λp相對(duì)應(yīng)，當(dāng)k1或k2大于界限值時(shí)，臨界墩高無(wú)限上升的態(tài)勢(shì)與臨界應(yīng)力總圖中誤用歐拉公式計(jì)算小柔度壓桿時(shí)，壓桿橫截面上應(yīng)力無(wú)限增大相符，說(shuō)明本文方法可以用于判別實(shí)際工程中的變截面壓桿是大柔度壓桿還是小柔度壓桿，并藉此確定是否需要對(duì)工程中的變截面承壓桿件進(jìn)行穩(wěn)定校核。

2.5 工程實(shí)例

馬水河橋是宜萬(wàn)線上1座鐵路橋梁，位于四川境內(nèi)建始縣業(yè)州鎮(zhèn)小溪口村，為(116+116) m預(yù)應(yīng)力混凝土T構(gòu)橋，其設(shè)計(jì)基本情況為：主梁箱梁橫截面為單箱單室直腹板變截面，底板底緣按圓弧變化，圓曲線半徑為631.016 67 m，中支點(diǎn)梁高12.20 m，跨中梁高4.70 m，頂寬10.70 m，底寬6.00 m，頂板厚0.34 m，腹板寬0.45~0.90 m，底板厚由0.32 m變化至1.35 m。橋墩采用空心矩形截面，墩高108.00 m，墩頂橫向?qū)?.00 m，墩底橫向?qū)?8.00 m，橫向壁厚由墩頂1.40 m變?yōu)榫喽盏?.00 m處的7.50 m，墩頂縱向?qū)?0.00 m，墩底縱向?qū)?2.00 m，墩縱向壁厚1.40 m。按坡度唯一進(jìn)行設(shè)計(jì)，k1=1/16.89=0.059 2，k2=1/86.40=0.011 6，m1=0.022，m2=-0.001 27(其余參數(shù)與理論分析部分的相同)。k1＞0.012 6，k2＞0.011 2，故自體施工階段不存在靜力穩(wěn)定問(wèn)題；k1＞0.013 1，故懸臂施工階段亦不存在靜力穩(wěn)定問(wèn)題，這與文獻(xiàn)[15]中不計(jì)該橋靜力穩(wěn)定考慮動(dòng)力穩(wěn)定的結(jié)果相符。

3 結(jié)論

(1) 變截面空心高墩考慮穩(wěn)定性要求時(shí)的臨界墩高和滿足強(qiáng)度條件時(shí)的最大墩高受截面幾何性質(zhì)影響很大，與等直墩相比，高墩截面參數(shù)特別是墩身內(nèi)外壁坡度變化明顯增加墩的高度，與內(nèi)壁坡度相比，增加外壁坡度可以更有效地提高高墩的穩(wěn)定性。

(2) 判別實(shí)際工程中的變截面壓桿是大柔度壓桿還是小柔度壓桿的坡度界限值可以確定是否需要對(duì)工程中的變截面承壓桿件進(jìn)行穩(wěn)定校核。該方法可推廣至任意橋梁自體施工階段的設(shè)計(jì)，亦可用于連續(xù)剛構(gòu)橋施工階段的T構(gòu)靜定體系。計(jì)算結(jié)果表明：該方法簡(jiǎn)便有效易行，對(duì)工程實(shí)際有一定的指導(dǎo)意義。

(3) 所推導(dǎo)的墩高計(jì)算公式是針對(duì)理想軸壓柱得到的，并且載荷也僅僅考慮了自重等簡(jiǎn)單荷載，實(shí)際構(gòu)件一般都不能滿足這個(gè)條件，因而也不可能達(dá)到公式所給出的理論墩高，即使在工程實(shí)際中存在理想軸壓柱，也要給予必要的安全儲(chǔ)備，故所得計(jì)算結(jié)果僅供設(shè)計(jì)人員參考。

(4) 本文通過(guò)改變內(nèi)、外壁坡度來(lái)實(shí)現(xiàn)截面參數(shù)的變化，對(duì)主梁截面參數(shù)的影響尚未研究。需要說(shuō)明的是：內(nèi)壁坡度應(yīng)小于外壁坡度，否則，需要驗(yàn)算截面面積和慣性矩。

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