李 錦， 朱士信

（合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

多項式環(huán)及其理想一般被用來構(gòu)造和理解循環(huán)碼［1－3］，在文獻［4－5］中第1次提出了利用非交換的斜多項式環(huán)F［X，θ］來構(gòu)造一種更廣義的循環(huán)碼。這些碼與循環(huán)碼和準循環(huán)碼有相同的結(jié)構(gòu)，分別稱為斜循環(huán)碼和斜準循環(huán)碼。文獻［6］研究了Galois環(huán)上的斜循環(huán)碼。本文將研究環(huán)R＝Z2＋uZ2＋u2Z2＝｛0，1，u，u2，1＋u，1＋u2，u＋u2，1＋u＋u2｝的斜循環(huán)碼，其中u3＝1。對任意2個元素a＝a0＋ua1＋u2a2，b＝b0＋ub1＋u2b2∈R的加法和乘法規(guī)則如下：

其中，c0＝a0＋b0（mod 2）；c1＝a1＋b1（mod 2）；c2＝a2＋b2（mod 2）。

其中，c0＝a0b0＋a1b2＋a2b1（mod 2）；c1＝a0b1＋a1b0＋a2b2（mod 2）；c2＝a0b2＋a2b0＋a1b1（modp）。

定義環(huán)R上的自同構(gòu)θ如下：

其中，a＝a0＋ua1＋u2a2∈R，ai∈Z2，i＝0，1，2。

易知任意a∈R，θ2（a）＝a，即θ的階為2。

1 環(huán)R上斜多項式環(huán)和斜循環(huán)碼

1.1 環(huán)R上斜多項式環(huán)

本文對集合R［X，θ］＝｛a0＋a1X＋…＋anXn｜?ai∈R，i＝0，1，…，n｝定義加法和乘法來構(gòu)造一個非交換環(huán)，集合R［X，θ］中多項式的系數(shù)都在變量X的左邊；定義加法為普通多項式的加法，乘法滿足如下規(guī)則：

通過結(jié)合律和分配律可以得到環(huán)R［X，θ］的所有元素。環(huán)R［X，θ］是一個非交換環(huán)，不滿足左右歐幾里得，但是可以定義某些元素的左或右整除［7］。

下面討論R［X，θ］的左或右主理想。

1.2 斜循環(huán)碼

定義1Rn的子集C是長為n的斜循環(huán)碼，如果C滿足如下2個條件：

（1）C是R上線性碼。

（2）（c0，c1，…，cn－1）∈C?（θ（cn－1），θ（c0），…，θ（cn－2））∈C。

引理1 如果n是偶數(shù)，則（Xn－1）是R［X，θ］的雙邊理想。

證明 如果Xn－1是一個中心元素，則（Xn－1）是R［X，θ］的雙邊理想。

證畢。

下面討論n是偶數(shù)的情況。

對于非交換環(huán)Rn＝R［X，θ］／（Xn－1）將其等同地看成P∈R［X，θ］在標準映射下的像：

即P在R［X，θ］中右整除Xn－1的余項Pr，記ψ（X）仍為X，這種表示給出了Rn中元素的標準形式，一般將長為n的碼字看做是Rn中元素的系數(shù)元組。

定理1C是R上長為n的斜循環(huán)碼當且僅當C是Rn＝R［X，θ］／（Xn－1）的左理想。

證明 假設(shè)C是R上長為n的斜循環(huán)碼，則C是線性碼且滿足：

則由線性性可知對任意P（X）∈Rn，P（X）c∈C，即C是Rn＝R［X，θ］／（Xn－1）的左理想。

反之，設(shè)D是Rn＝R［X，θ］／（Xn－1）的左理想，則D是R上長為n的線性碼。設(shè)d＝（d0，d1，…，dn－1）∈D，則Xd（X）＝X（d0＋d1X＋…＋dn－1Xn－1）∈D，可得：

即D是斜循環(huán)碼。

推論1 首一多項式g（X）是Xn－1的右因子，則C＝（g（X））是R上長為n的斜循環(huán)碼。

設(shè)C是Rn＝R［X，θ］／（Xn－1）的非零左理想，記A為C中次數(shù)最小的非零斜多項式集合，顯然A是非空的。下面考慮2種情況：A中存在首一斜多項式；C中沒有首一多項式。

定理2 設(shè)C和A如上所述，那么：

（1）如果A中存在首一多項式，則C＝（g（X）），其中g(shù)（X）是A中唯一首一的多項式，g（X）是Xn－1的右因子。

（2）如果C中沒有首一多項式，則C＝（g（X）），其中其中g(shù)i∈｛1＋u，1＋u2，u＋u2｝，0≤i≤r。

證明 （1）假設(shè)f（X），g（X）∈A都是首一的，設(shè) deg（f（X））＝deg（g（X））＝r，由 于deg（f（X））－deg（g（X））＜r，可知假設(shè)矛盾，所以A中首一的多項式是唯一的。

對任意c（X）∈C，設(shè)

其中，deg（r（X））＜deg（g（X））。

而r（X）＝c（X）－q（X）g（X）∈C當且僅當r（X）＝0，所以c（X）＝q（X）g（X），即C＝（g（X））。

設(shè)Xn－1＝p（X）g（X）＋s（X），其中deg（s（X））＜deg（g（X））。類似可知s（X）＝0，則Xn－1＝p（X）g（X），即g（X）是Xn－1的右因子。

（2）假設(shè)C中不存在首一多項式，由環(huán)R的加法乘法規(guī)則可知任意多項式C有如下2種形式：

或者

其中，gi∈｛1＋u，1＋u2，u＋u2｝，0≤i≤r。

若?g（X）＝ （1＋u＋u2）g1（X）∈C，g1（X）∈Z2［X］。設(shè)h（X）是C中不能被g（X）右整除次數(shù)最低的斜多項式，deg（h（X））≥deg（g（X））。

設(shè)c（X）＝h（X）－Xdeg（h（X））－deg（g（X））g（X），由R乘法規(guī)則可知：

則由deg（h（X））＞deg（c（X））可知假設(shè)矛盾，所以C中沒有不能被g（X）右整除的斜多項式，即C＝（g（X））。

設(shè)h（X）是C中不能被g（X）右整除次數(shù)最低的斜多項式，deg（h（X））≥deg（g（X））。易知?a∈R，b∈I，ab∈｛0｝∪I，不妨設(shè)h（X）和g（X）的首項系數(shù)相同，設(shè)c（X）＝h（X）－Xdeg（h（X））－deg（g（X））g（X），則 由 deg（h（X））＞deg（c（X））可知假設(shè)矛盾，所以C中沒有不能被g（X）右整除的斜多項式，即C＝（g（X））。

定義2R上線性碼C如果滿足（a0，a1，…，an－1）∈C?（an－1，an－2，…，a0）∈C，則稱作可逆碼［8］。記的可逆多項式，若g（X）＝gr（X），則稱g（X）是自互反的。記

定理3C＝（g（X））是R上長為n的斜循環(huán)碼，若g（X）的首項系數(shù)和常數(shù)項都為1，則C1＝（gR（X））和C2＝（gr（X））也是R上長為n的斜循環(huán)碼。

證明 如果deg（g（X））是奇數(shù)，則存在p（X）∈R［X，θ］使得Xn－1＝p（X）g（X）。設(shè)

易知Xn－1＝pr（X）gR（X）＝pR（X）gr（X），即gR（X）和gr（X）是Xn－1的右因子。如果deg（g（X））是偶數(shù)，計算可得：

Xn－1＝pr（X）gr（X）＝pR（X）gR（X），即gR（X）和gr（X）是Xn－1的右因子。

綜上所述，由推論1可得結(jié)論。

定理4 設(shè)C＝（g（X））是R上長為n的斜循環(huán)碼，g（X）的首項系數(shù)和常數(shù)項都為1。如果deg（g（X））是偶數(shù)，C是可逆碼當且僅當g（X）＝gR（X）；如果deg（g（x））是奇數(shù)，C是可逆碼當且僅當g（X）是自互反的。

其中，bi∈R。記fr（X）是f（X）的可逆碼，如果deg（g（X））是奇數(shù)，由于｜〈θ〉｜＝2，可得fr（X）＝Br（X）gr（X）。對于Br（X）共有23（n－r）種可能，可以得到由gr（X）生成的斜循環(huán)碼，而該碼與原碼C相同當且僅當g（X）＝gr（X）。類似地，如果deg（g（x））是偶數(shù)，可得fr（X）＝Br（X）gR（X），則C是可逆碼當且僅當g（X）＝gR（X）。

2 斜循環(huán)碼的對偶碼

設(shè)x＝（x1，x2，…，xn），y＝（y1，y2，…，yn）∈Rn，記Rn中的Euclidean內(nèi)積如下：

碼C關(guān)于Euclidean內(nèi)積對偶碼C⊥如下：

如果C＝C⊥，稱C是Euclidean自對偶的，碼C關(guān)于Hermitian內(nèi)積對偶碼C＊如下：

如果C＝C＊，稱C是Hermitian自對偶的。

定理5 斜循環(huán)碼關(guān)于Euclidean和Hermitian內(nèi)積的對偶碼仍是斜循環(huán)碼。

證明 設(shè)C是R上長為n的斜循環(huán)碼，設(shè)c＝（c0，c1，…，cn－1）∈C，b＝（b0，b1，…，bn－1）∈C⊥，d＝（d0，d1，…，dn－1）∈C＊。因為C是斜循環(huán)碼，則有：

則〈ci，b〉＝0，1≤i≤n。如果i＝n—1，則i為奇數(shù)且θi（a）＝θn－1（a）＝θ（a），?a∈R?？傻茫?/p>

則有：

由此可知（θ（bn－1），θ（b0），…，θ（bn－2））∈C⊥，所以C⊥是斜循環(huán)碼。

類似可證C＊也是斜循環(huán)碼。

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