宋媚婷 洪 明 崔洪宇

大連理工大學(xué) 運(yùn)載工程與力學(xué)學(xué)部 船舶工程學(xué)院，遼寧 大連116024

基于艦船振動信號激勵下壓電智能梁振動主動控制

宋媚婷 洪 明 崔洪宇

大連理工大學(xué) 運(yùn)載工程與力學(xué)學(xué)部 船舶工程學(xué)院，遼寧 大連116024

為研究艦船結(jié)構(gòu)振動主動控制有效方法，采用線性二次型獨(dú)立模態(tài)空間控制法設(shè)計(jì)控制器，對艦船振動信號激勵下壓電智能梁的振動進(jìn)行主動控制?；贖amilton原理建立壓電智能結(jié)構(gòu)的有限元模型，并利用精細(xì)積分法計(jì)算前3階模態(tài)的位移響應(yīng)。編制了相應(yīng)的計(jì)算機(jī)程序，對艦船振動信號激勵下梁結(jié)構(gòu)的振動進(jìn)行主動控制數(shù)值仿真。由仿真結(jié)果可見，控制可以有效地實(shí)現(xiàn)，為艦船結(jié)構(gòu)振動主動控制提供理論基礎(chǔ)。

智能結(jié)構(gòu)；振動控制；精細(xì)積分

1 引言

艦船主要受到螺旋槳、主機(jī)、波浪和風(fēng)等激勵源的作用，激勵源的頻譜表現(xiàn)為強(qiáng)線譜和寬頻譜的疊加。艦船的實(shí)際激勵信號很難確定，但通過實(shí)測得到的實(shí)船振動響應(yīng)信號具有寬頻和強(qiáng)線譜疊加的特征，為此本文應(yīng)用實(shí)測得到的振動響應(yīng)信號代替艦船的激勵信號，探討艦船振動信號激勵下柔性結(jié)構(gòu)振動主動控制有效方法，為實(shí)現(xiàn)艦船結(jié)構(gòu)振動主動控制提供理論基礎(chǔ)。

壓電智能材料已經(jīng)被廣泛應(yīng)用到結(jié)構(gòu)振動主動控制中，Stavroulakis 等人［1］基于 Hamilton 原理建立上下表面分別粘貼壓電片的細(xì)長梁有限元模型，分別采用最優(yōu)控制和H2魯棒控制方法抑制細(xì)長梁在風(fēng)載荷下的振動。 Kumar和 Narayanan［2］基于Euler－Bernoulli梁理論建立梁有限元模型，采用線性二次型調(diào)節(jié)器方法設(shè)計(jì)控制器，并針對3種不同邊界條件的梁，根據(jù)遺傳算法優(yōu)化了壓電片的位置。Kapuria和Yasin［3］采用獨(dú)立模態(tài)空間控制和線性二次型最優(yōu)控制相結(jié)合的方法，對復(fù)合材料梁振動進(jìn)行了控制，這種方法近年來也被研究與應(yīng)用，它可實(shí)現(xiàn)對所需控制的模態(tài)進(jìn)行獨(dú)立的控制，不影響其他未控的模態(tài)。

基于壓電作動方式，本文以壓電陶瓷作為傳感器和作動器，基于壓電層合單元有限元模型，模擬壓電層合結(jié)構(gòu)機(jī)電耦合行為。艦船振動主動控制技術(shù)主要研究如何有效抑制低頻振動，提高艦船隱蔽性和安全性。由于螺旋槳和主機(jī)激勵引起艦船結(jié)構(gòu)的有害振動主要是低頻振動，且低階模態(tài)對艦船振動系統(tǒng)的影響較大，因此，采用線性二次型獨(dú)立模態(tài)空間控制方法應(yīng)該有很大的優(yōu)越性。本文編制了相應(yīng)的計(jì)算機(jī)程序，對艦船振動信號激勵下梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動主動控制數(shù)值仿真，證明該方法的有效性。

2 線性二次型獨(dú)立模態(tài)空間控制

線性二次型獨(dú)立模態(tài)空間控制法就是將獨(dú)立模態(tài)空間控制（IMSC）與線性二次型（LQR）最優(yōu)控制相結(jié)合的新的控制方法。它的主要思想是對振動系統(tǒng)中影響較大的1階或幾階振動模態(tài)進(jìn)行控制，從而使整個系統(tǒng)振動響應(yīng)得到抑制。由于它可實(shí)現(xiàn)對所需控制的模態(tài)進(jìn)行獨(dú)立控制而不影響其他模態(tài)，設(shè)計(jì)簡單，在一定程度上能抑制控制溢出，因此，目前已成為一種在模態(tài)控制領(lǐng)域中被廣泛應(yīng)用的方法。

2.1 壓電層合結(jié)構(gòu)有限元模型的建立

壓電層合結(jié)構(gòu)是在結(jié)構(gòu)表面粘貼或內(nèi)部嵌入壓電片形成的層合結(jié)構(gòu)，它已經(jīng)被廣泛的應(yīng)用到結(jié)構(gòu)振動主動控制中。由于壓電層對結(jié)構(gòu)固有特性有很大影響，因此有必要采用壓電層合結(jié)構(gòu)有限元模型，分析其機(jī)電耦合行為。

本文采用4節(jié)點(diǎn)四邊形殼單元，每個節(jié)點(diǎn)有5個廣義位移自由度，每個單元另外加上2個電勢自由度，分別為壓電驅(qū)動器的電勢自由度和壓電傳感器的電勢自由度。單元模型如圖1所示。

圖1 壓電層合單元模型Fig.1 Model of piezoelectric composite element

對于壓電薄層，Tiersten［4］給出其本構(gòu)方程的形式為：

式中，σ和ε分別為壓電層的應(yīng)力和應(yīng)變矢量；Q為壓電層彈性矩陣；e為壓電應(yīng)力常數(shù)矩陣；E為電場矢量；D為電位移矢量；P為介電常數(shù)矩陣。

將上式改寫為如下形式：

記作：

由于壓電層沿厚度方向極化，所以：

式中，Ez＝－φ／t；φ為壓電層上下表面的電勢差。

采用雙線性4節(jié)點(diǎn)四邊形等參單元，形函數(shù)為 Ni＝ （1 ＋ ξξi）（1＋ ηηi）／4，i＝1，2，3，4。 單元內(nèi)任意點(diǎn)位移為：

含有n個壓電層的層合板／殼單元的位移與應(yīng)變關(guān)系可以寫為：

記作：

根據(jù)Hamilton原理，可以得到壓電層合單元的剛度陣和質(zhì)量陣分別為：

將壓電電勢分為傳感部分 φ（S）和作動部分 φ（A），且傳感層外加電勢為零，系統(tǒng)運(yùn)動方程可寫為［5-12］：

式中，F(xiàn)ext（t）為外部激勵力；Q（A）為作動器作用電勢的等效力。

將上式展開整理，并加上阻尼項(xiàng)，得系統(tǒng)有阻尼運(yùn)動方程：

2.2 線性二次型獨(dú)立模態(tài)空間控制法

本文采用線性二次型獨(dú)立模態(tài)空間控制方法進(jìn)行研究。首先，將式（7）轉(zhuǎn)化到模態(tài)空間，即將物理坐標(biāo)結(jié)點(diǎn)位移｛q｝用前n階低頻模態(tài)對應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo)｛ξ｝表示：

式中，［Φ］是正則振型矩陣。

將式（8）代入式（7）中，左乘［Φ］T則有：

可將式（1）在模態(tài)空間解耦，得相應(yīng)的運(yùn)動方程：

從解耦的式（9）可以看出，對于獨(dú)立模態(tài)空間控制，可得到各階模態(tài)振動控制方程，本文只取前3階模態(tài)。對應(yīng)每階模態(tài)，采用精細(xì)積分法由式（9）可求出各階模態(tài)的響應(yīng)。

其次，將式（9）轉(zhuǎn)化到狀態(tài)空間中，得

解狀態(tài)空間式（10）即可得到前3階模態(tài)響應(yīng)。

最后，由線性二次型最優(yōu)控制律，得反饋控制電勢應(yīng)滿足：

式中，GAi是模態(tài)控制增益；ηi為模態(tài)坐標(biāo)向量，同式（10）。

目標(biāo)函數(shù)選為傳感器輸出以及作動器控制電勢的二次加權(quán)和：

式中，Q權(quán)系數(shù)矩陣為半正定對稱陣。通常R為單位陣，調(diào)整Q即可。γ同式（10）。

優(yōu)化控制增益為：

式中，Pi滿足Riccati方程：

將式（11）和式（13）代入式（10），即可得到利用線性二次型獨(dú)立模態(tài)空間控制方法進(jìn)行控制的狀態(tài)空間方程為：

3 數(shù)值算例

基于以上的理論，本文采用FORTRAN語言編程，采用精細(xì)積分法的HPD－L格式計(jì)算結(jié)構(gòu)在艦船振動信號激勵下前3階模態(tài)振動響應(yīng)。采用精細(xì)積分法求解 Riccati方程式（14），再由式（13）求得控制增益。最后求解式（15），即得控制后的模態(tài)響應(yīng)。

本文以某一懸臂梁為例，如圖2所示。梁的尺寸為600 mm×50 mm×10 mm，上下由性質(zhì)相同的壓電層全部覆蓋，壓電層厚度為2 mm，壓電層和中間層的材料特性如表1所示。將壓電層合懸臂梁劃分為12個單元，其單元編號及節(jié)點(diǎn)編號如圖3所示。

圖2 壓電層合懸臂梁Fig.2 Finite element model of piezoelectric laminated cantilever

圖3 單元編號及節(jié)點(diǎn)編號Fig.3 Node serial numbers and element serial numbers

表1 材料特性Tab.1 Material properties

在懸臂梁自由端施加激勵，此激勵來源于某船航行時實(shí)測的振動響應(yīng)時域信號，激勵如圖4所示。由于艦船的激勵信號很難確定，為此本文通過計(jì)算此激勵作用下梁的振動響應(yīng)，來模擬艦船振動響應(yīng)，以此來研究艦船結(jié)構(gòu)振動主動控制有效方法。

圖4 激勵時域曲線Fig.4 Curve of exciting force in time domain

本文選用 Rayleigh 阻尼比 α＝3 和 β＝1×10－4。初始狀態(tài)為靜止，積分步長為0.005 s。在控制過程中，取權(quán)系數(shù)Q＝1×1014。由式（13）所得的前3階模態(tài)控制增益分別為：

由精細(xì)積分方法的HPD＿L格式求出的懸臂梁自由端控制前后前3階模態(tài)位移響應(yīng)曲線分別如圖5、圖7和圖9所示。由于固定端應(yīng)變比較大，所需的控制電勢較大，因此輸出一號單元前3階模態(tài)的控制電勢（由式（11）求得）如圖6、圖8和圖10所示。

圖6 1號單元作動層1階模態(tài)控制電勢Fig.6 Voltages of actuator in the first element with the first modal controlling

圖7 懸臂梁自由端控制前后第2階模態(tài)位移響應(yīng)Fig.7 Tip second modal displacement response of the cantilever before and after control

圖8 1號單元作動層2階模態(tài)控制電勢Fig.8 Voltages of actuator in the first element with the second modal controlling

圖10 1號單元作動層3階模態(tài)控制電勢Fig.10 Voltages of actuator in the first element with the third modal controlling

從圖5～圖10可以看出，經(jīng)過控制后，各階模態(tài)位移響應(yīng)得到了有效地控制。為分析控制效果，分別計(jì)算前3階模態(tài)控制前后位移響應(yīng)的功率譜密度，采用Welch法估算的單邊功率譜密度結(jié)果分別如圖11、圖12和圖13所示。

從圖中可以看出，控制后，前3階模態(tài)在0～100 Hz的區(qū)間對應(yīng)的功率譜密度明顯減小，在此區(qū)域中的頻率對應(yīng)的能量明顯降低，控制得以實(shí)現(xiàn)。

圖11 1階模態(tài)位移響應(yīng)自功率譜密度Fig.11 Auto power spectral density of the first modal displacement response before and after control

圖12 2階模態(tài)位移響應(yīng)自功率譜密度Fig.12 Auto power spectral density of the second modal displacement response before and after control

圖13 3階模態(tài)位移響應(yīng)自功率譜密度Fig.13 Auto power spectral density of the third modal

4 結(jié)束語

本文采用線性二次型獨(dú)立模態(tài)空間控制方法對艦船振動信號激勵下壓電層合梁結(jié)構(gòu)的振動進(jìn)行主動控制；應(yīng)用基于Hamilton原理得出的壓電層合單元模型模擬壓電層合結(jié)構(gòu)的機(jī)電耦合行為；采用精細(xì)積分法計(jì)算艦船振動信號激勵下梁結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)。從數(shù)值算例仿真結(jié)果可以看出，應(yīng)用本文的控制方法控制后，梁結(jié)構(gòu)各階模態(tài)位移響應(yīng)的自功率譜密度減小，控制得以實(shí)現(xiàn)。本文的控制方法能有效地控制艦船振動信號激勵下梁結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)，此方法為進(jìn)行艦船結(jié)構(gòu)振動主動控制提供理論基礎(chǔ)。

［1］STAVROULAKIS G E，F(xiàn)OUTSITZI G，HADJIGEORGIOU E.Design and robust optimal control of smart beams with application on vibrations suppression［J］.Advances in Engineering Software， 2005， 36 （11/12）： 806-813.

［2］KUMAR K R，NARAYANAN S.Active vibration control of beams with optimal placement of piezoelectric sensor／actuator pairs ［J］.Smart Materials and Structures，2008，17（5）：1-15.

［3］KAPURIA S，YASIN M Y.Active vibration control of piezoelectric laminated beams with electroded actuators and sensors using an efficient finite element involving an electric node［J］.Smart Materials and Structures，2010，19（4）：19-33.

［4］TIERSTEN H F.Linear piezoelectric plate vibrations［M］.New York：Plenum Press，1969.

［5］SIMOES M.Active control of adaptive laminated structures with bonded piezoelectric sensors and actuators［J］.Computers and Structures，2004，82（17-19）：1349-1358.

［6］SONG G，GU H.Active vibration suppression of a smart flexible beam using a sliding mode based controller［J］.Journal of Vibration and Control，2007，13（8）：1095-1107.

［7］WANG W Y，WEI Y J，WANG C.Modeling and optimal vibration control of conical shell with piezoelectric actutors［J］.High Technology Letters，2008，14（4）：418-422.

［8］SONG G，QIAO P Z，BINIENDA W K，et al.Active vibration damping of composite beam using smart sensors and actuators［J］.Journal of Aerospace Engineering，2002，15（3）：97-103.

［9］QIU Z C，ZHANG X M，WU H X， et al.Optimal placement and active vibration control for piezoelectric smart flexible cantilever plate［J］.Journal of Sound and Vibration，2007，301（3/5）：521-543.

［10］SIM?ES R C，VALDER S，JOHAN D H， et al.Modal active vibration control of a rotor using piezoelectric stack actuators［J］.Journal of Vibration and Control，2007，13（1）：45-64.

［11］HARARI S，RICHARD C，GAUDILLER L.New semiactive multi-modal vibration control using piezoceramic components ［J］.Journal of Intelligent Material Systems and Structures，2009，20（13）：1603-1613.

［12］SHARMA M，SINGH S P，SACHDEVA B L.Modal control of a plate using a fuzzy logic controller［J］.Smart Materials and Structures，2007，16（4）：1331-1341.

Active Vibration Control of a Piezoelectric Smart Beam Excited by the Vibration Signal of Vessel

Song Mei－ting Hong Ming Cui Hong-yu

School of Naval Architecture Engineering，F(xiàn)aculty of Vehicle Engineering and Mechanics，Dalian University of Technology， Dalian 116024， China

To research the effective method for active vibration control of vessel structure， an Independent Modal Space Control （IMSC）technique based on Linear Quadratic Regulator （LQR）method was adopted to design the controller， taking an active vibration control of a piezoelectric smart beam， which is under the vessel＇s vibration signal excitation.The finite element model of the piezoelectric composite structure was developed based on the Hamilton＇s principle.Furthermore the high precise direct integration method was used to calculate the displacements of first three order modes.A numerical simulation of active vibration control was performed.The results show that the control can be implemented effectively and it provides a theoretical basis for active vibration control of vessel structure.

smart structure； vibration control； high precise direct integration method

TB53

A

1673－3185（2011）06－28－06

10.3969/j.issn.1673-3185.2011.06.006

2011-05-13

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51079027）

宋媚婷（1987－），女，碩士研究生。研究方向：結(jié)構(gòu)失效、振動和噪聲機(jī)理、預(yù)報(bào)及控制。E-mail：smt19870105＠163.com

洪 明（1959－），男，教授。研究方向：結(jié)構(gòu)失效、振動和噪聲機(jī)理、預(yù)報(bào)及控制研究。E-mail：mhong@dlut.edu.cn