梁 青，張 劍，王 永

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)，安徽合肥230027)

0引 言

摩擦是影響機電伺服系統(tǒng)性能的主要因素之一，會導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)穩(wěn)態(tài)誤差、粘滑運動和極限環(huán)，因此在高精度伺服系統(tǒng)中必須對摩擦進行補償。

由于靜態(tài)摩擦模型只能描述系統(tǒng)處于高速運行時所受的摩擦影響，在系統(tǒng)低速運行時采用靜態(tài)摩擦模型會有很大的誤差，因此基于動態(tài)摩擦模型的補償方法是實際中較為可行的方法。而如何準(zhǔn)確地建立動態(tài)摩擦模型是實現(xiàn)動態(tài)摩擦補償?shù)年P(guān)鍵。近年來，國內(nèi)外學(xué)者在摩擦建模方面進行了大量研究，其中比較著名的有 Dahl模型［4］、LuGre 模型［3］、Elasto-plastic 模型［5］、Leuven 模型［6］和 Generalized Maxwell Slip(GMS)模型［7］，其中 LuGre模型由于其模型簡單且在描述低速運行時的摩擦特性較為準(zhǔn)確，因此得到了廣泛的應(yīng)用。然而當(dāng)系統(tǒng)處于高速運行時系統(tǒng)所受到的摩擦力主要為庫倫摩擦和粘滯摩擦，若仍然采用LuGre模型，必然會使系統(tǒng)的復(fù)雜性增加，另外由于溫度、潤滑程度和接觸力等外界條件的變化使得摩擦力矩的參數(shù)也會發(fā)生變化。目前能同時描述低速和高速狀態(tài)時系統(tǒng)所受摩擦影響的摩擦模型并且設(shè)計相應(yīng)的自適應(yīng)摩擦補償控制器方面的相關(guān)文獻較少。

本文采用一種改進的LuGre模型［1］來同時描述系統(tǒng)在低速和高速運行時所受到的摩擦力矩，采用反步自適應(yīng)算法實現(xiàn)了對摩擦的補償控制，通過仿真并與其他算法比較，驗證了本方法的有效性。

1系統(tǒng)建模

1．1伺服系統(tǒng)模型

若伺服系統(tǒng)除摩擦非線性因素之外不考慮其他非線性因素影響，則伺服系統(tǒng)的動力學(xué)方程如下［8］:

式中:J為等效轉(zhuǎn)動慣量;b為等效阻尼系數(shù);θ為電機角位置;ω為電機角速度;Kt為電機力矩常數(shù);u系統(tǒng)控制量;F為等效摩擦力矩;TL為等效負載力矩(包括外界擾動作用)。

1．2 系統(tǒng)摩擦力矩模型［1］

其中:

其中:ω2＞ω1＞0。

式(2)～式(4)中，z為接觸表面鬃毛形變量;σ0為鬃毛剛度系數(shù)，σ1為鬃毛阻尼系數(shù);Fc為庫倫摩擦系數(shù);Fs為靜摩擦系數(shù);α2為粘性阻尼系數(shù);ωs為Stribeck速度。

此時系摩擦模型等效于靜態(tài)摩擦模型，并且靜態(tài)摩擦模型的參數(shù)可以不等于LuGre模型中的靜態(tài)摩擦模型參數(shù)，從而使得該模型具有一定的靈活性。

摩擦受到溫度變化影響會導(dǎo)致參數(shù)發(fā)生變化［9］，引入ζ來反映參數(shù)受到溫度變化的影響。此時摩擦力矩:

從而伺服系統(tǒng)的模型可表示:

2反步自適應(yīng)控制器設(shè)計

由于LuGre模型的中間變量鬃毛形變量不可直接測量，本文設(shè)計一非線性觀測器來估計鬃毛形變量 z，觀測器方程［2，8］:

式中:ρ為觀測器的誤差補償項。

定義角位置輸出誤差和角速度誤差:

θref為參考位置信號，參考速度信號如下:

為有效地減小摩擦對系統(tǒng)的影響，我們設(shè)計如下的控制律和參數(shù)自適應(yīng)律［2，8］:

其中:k、k1、k2均大于零。

定理:對于式(9)若采用如式(15)～式(19)的控制律和參數(shù)自適應(yīng)律，則閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

證明:定義如下的Lyapunov函數(shù):

式中:r0＞0，r1＞0，r2＞0，式(19)對時間的微分有:

從而系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性得證。

3仿真分析

仿真主要用來驗證本文所提的基于改進LuGre模型的反步自適應(yīng)摩擦補償算法的有效性，并與傳統(tǒng)的PID固定摩擦補償方法進行比較。仿真參數(shù)設(shè)計如下。

伺服系統(tǒng)參數(shù):J=0．9 kg·m2，b=0．3 N·ms/rad，Kt=1，TL=0．5 N·m;摩擦模型參數(shù)［2］:σ0=100 N·m，σ1=2．5 N·m，α0=0．28 N·m，α1=0．06 N·m，α2=0．2N·ms/rad，ωs=0．01 rad/s;控制器參數(shù):k1=90，k2=80，k=5，r0=1．2，r1=7．5，r2=10。

為比較控制器補償性能，將本文方法與文獻［9］提到的PID固定摩擦補償方法進行比較。首先設(shè)計位置參考信號:θref=sin(πt)，分別使用上述兩種方法進行仿真，仿真結(jié)果如圖1和圖2所示。

由圖1、圖2可知，本文所提方法的使得系統(tǒng)跟蹤精度更高、響應(yīng)更快。為進一步驗證本文算法的有效性，設(shè)系統(tǒng)在3～5 s內(nèi)受到階躍的外界擾動的作用，再次使用上述兩種方法跟蹤正弦信號進行仿真，仿真結(jié)果如圖3和圖4所示。

由圖3、圖4可知，當(dāng)系統(tǒng)受到外界擾動時若采用PID固定摩擦補償控制會使系統(tǒng)出現(xiàn)較大的跟蹤誤差，而本文的方法仍能使系統(tǒng)具有優(yōu)良的跟蹤性能，因此本文所提方法魯棒性更強。

4結(jié) 語

本文采用一種改進的LuGre摩擦模型來描述系統(tǒng)所受摩擦因素的影響，該模型在低速時等效于LuGre模型，在高速時等效于庫倫摩擦+粘滯摩擦，使得模型更符合系統(tǒng)實際所受到的摩擦影響，并降低了摩擦模型的復(fù)雜度。本文設(shè)計的基于修正LuGre模型的反步自適應(yīng)摩擦補償控制算法保證了系統(tǒng)在受到摩擦影響時仍具有較高的跟蹤性能，且魯棒性比PID固定摩擦補償方法更強。

［1］ Lu L，Yao B，Wang Q F，et al．Adaptive robust control of linear motors with dynamic friction compensation using modified LuGre model［J］．Automatica，2009(45):2890-2896．

［2］ Tan Y L，Chang J C，Tan H L，Adaptive Backstepping Control and Friction Compensation for AC Servo With Inertia and Load Uncertainties［J］．IEEE Transaction on Industrial Electronics，2003，50(5):944-952．

［3］ de Wit C C，Olsson H，htrom K J．A New Model for Control of Systems with Friction［J］．IEEE Transactions on Automatic Control，1995，40(3):419-425．

［4］ Dahl O．A solid friction model［M］．The Aerospace Corporation，El-Segundo，California，USA，1968．

［5］ Dupont P，Hayward V，Armstrong B，et al．Single state elastoplastic friction models for friction compensation［J］．IEEE Transactions on Automatic Control，2002，47(5):787-792．

［6］ Lampaert V，Swevers J，Al-Bender F．Modification of the Leuven integrated friction model structure［J］．IEEE Transactions on Automatic Control，2002，47(4):683-687．

［7］ Al-Bender F，Lampaert V，Swevers J．The generalized Maxwell slip model:A novel model for friction simulation and compensation［J］．IEEE Transactions on Automatic Control，2005，50(11):1883-1887．

［8］ 周金柱，段寶巖，黃進．LuGre摩擦模型對伺服系統(tǒng)的影響與補償［J］．控制理論與應(yīng)用，2008，25(6):990-994．

［9］ de Wit C C，Lischinsky P．Adaptive friction compensationwith partially known dynamic friction model［J］．International Journal of A-daptive Control and Signal Process，1997，11(1):65-80．