徐浩峰，謝康和

(1.浙江大學(xué) 軟弱土與環(huán)境土工教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州310027；2.浙江大學(xué)寧波理工學(xué)院，浙江 寧波315100)

通常認(rèn)為水面(或地下水位)以下的土是飽和土。而實(shí)際上水面下的天然土往往含有氣泡，并不一定完全飽和；比如湖海底的沉積土以及泥炭土等中可能含有甲烷等有機(jī)氣體形成的大小氣泡[1]，另外對(duì)某地區(qū)軟土的勘察，百余項(xiàng)地質(zhì)勘察報(bào)告均顯示軟土的飽和度并非100%，一般大于94%[2]。雖然如此，工程上往往按飽和土來(lái)處理的[3]。但是這類(lèi)高飽和度土的固結(jié)壓縮特性與完全飽和土的固結(jié)特性是有差異的，比如存在明顯的瞬時(shí)沉降變形[4－5]。這是因?yàn)槠淝疤峒僭O(shè)相對(duì)于完全飽和土發(fā)生了一些變化，比如孔隙流體的壓縮性已經(jīng)不可以忽略。因此對(duì)高飽和度土的連續(xù)方程和固結(jié)方程應(yīng)重新給予考慮和梳理。

對(duì)于飽和土的連續(xù)性問(wèn)題，體積守恒等式是適用的；但當(dāng)土體是三相體時(shí)，體積的守恒式就顯得復(fù)雜。如對(duì)高飽和度土的連續(xù)性描述為：在不排水條件下，高飽和度土排出的水氣混合物量等于土骨架的壓縮量與水氣混合物的回彈量之和[6]；將水和氣看成混合的可壓縮流體，提出混合流體的連續(xù)性為單位土體體積的壓縮量等于排出的流體體積與殘存流體壓縮量之和[7]；土體單元中滲流出的水體積等于孔隙中水體積的變化量[8]等。

可見(jiàn)，對(duì)于高飽和度土的體積守恒式從不同的角度有不同的表述方式，這在理解上是困難的。有必要以新的思路來(lái)建立連續(xù)性方程。對(duì)于非飽和土的連續(xù)方程，若按體積守恒，建立的困難主要在于氣相體積的變化難以把握[9]。不過(guò)，如果從質(zhì)量守恒的角度，則可以避免氣相給連續(xù)性問(wèn)題所帶來(lái)的麻煩，因?yàn)闅怏w質(zhì)量的變化在一般情況下是可以忽略的。

為此，擬建立了一個(gè)可變體積的微六面體元，使該微六面體元中的土粒質(zhì)量不隨運(yùn)動(dòng)過(guò)程而變化，推導(dǎo)出非飽和土體的連續(xù)方程。在這個(gè)連續(xù)方程的基礎(chǔ)上，假設(shè)有效應(yīng)力原理仍適用于高飽和度土，引入與太沙基一維固結(jié)相類(lèi)似的假設(shè)，建立起了一維固結(jié)方程，隨后分析討論了其固結(jié)特性。

1 一維連續(xù)方程

如圖1，取一微六面體元，令土粒質(zhì)量不隨運(yùn)動(dòng)過(guò)程而變化，于是經(jīng)體元面遷移的質(zhì)量?jī)H是混合流體的質(zhì)量。設(shè)孔隙水的密度為ρw，滲流速度為vw；孔隙中氣體的密度為ρa(bǔ)，流動(dòng)速度(與滲流速度類(lèi)似，也指的是相對(duì)于整個(gè)截面的假想流速)為va。那么，在z軸方向上，單位時(shí)間內(nèi)流入的質(zhì)量為(ρwvw＋ρa(bǔ)va)dxdy，流出的質(zhì)量為

這里，在z軸方向上的上下邊界可能是變動(dòng)的，即控制體為可變體積，要求速度是相對(duì)于邊界面的相對(duì)速度。上式即為泰勒展開(kāi)式，當(dāng)dz為小量的時(shí)候才成立。

對(duì)于體元內(nèi)質(zhì)量的變化，設(shè)t時(shí)刻該點(diǎn)土體密度為ρ(x，y，z，t)。于是，t時(shí)刻體元內(nèi)質(zhì)量為ρdxdydz，則單位時(shí)間體元內(nèi)的質(zhì)量增加為(在壓縮過(guò)程中dz將隨時(shí)間發(fā)生變化)

根據(jù)質(zhì)量守恒定律，體元內(nèi)質(zhì)量的增加等于流入體元的總質(zhì)量，等式兩邊消去dxdydz，整理得

由微元體體積dV＝(1＋e)dVs，則?dV＝?edVs，又有dV＝dxdydz及?dV＝dxdy·?dz，所以：

于是，將上式代入式(1)，可得

式中，e為土體孔隙比。

圖1 通過(guò)可變微六面體元的一維混合流體滲流

若土體顆粒和孔隙水不可壓縮，并忽略氣體質(zhì)量，令Sr為土體飽和度，ds為土粒比重，由ρ＝ρw(ds＋Sre)／(1＋e)可得

若水氣不相互轉(zhuǎn)化或轉(zhuǎn)化很少(此處假設(shè)為等溫過(guò)程)，可忽略排出氣體的質(zhì)量，則

假設(shè)孔隙水滲流服從Darcy定律，于是

式中uw為孔隙水壓力，k為非飽和土中孔隙水的滲透系數(shù)。假定k不隨深度變化，上式兩邊對(duì)z求導(dǎo)，將式(4)、式(5)和式(7)，代入式(3)得

上式即為忽略氣體質(zhì)量、水流服從Darcy定律的非飽和土體一維連續(xù)方程。

2 一維固結(jié)方程

2.1 高飽和度土的有效應(yīng)力公式

嚴(yán)格地說(shuō)，太沙基有效應(yīng)力原理僅適用于完全飽和土，因?yàn)橹挥写藭r(shí)孔隙水壓力才是一個(gè)“中性應(yīng)力”。而研究非飽和土體，一般采用Bishop于20世紀(jì)50年代末提出的試探性的非飽和土有效應(yīng)力表達(dá)式：

對(duì)于氣相以微小的封閉氣泡形式而存在的高飽和度土來(lái)說(shuō)，包承綱[10]指出此時(shí)土中基質(zhì)吸力很小，并且?guī)缀醪浑S飽和度變化。因此，他建議可以將高飽和度土看成具有可壓縮性流體的兩相土，吸力的作用也可以忽略。限定于以挾氣水形式排出而固結(jié)的高飽和度土，可被視為是被可壓縮流體所飽和的“飽和土”，其有效應(yīng)力公式可采取如下形式[6、11]：

式中，uaw為孔隙混合流體壓力。當(dāng)氣泡可以隨孔隙水一起流動(dòng)時(shí)，孔隙混合流體壓力可取孔隙水壓力[12]，即uaw＝uw。對(duì)此證明如下：設(shè)氣泡呈球形，則在土體內(nèi)作一截面，如圖2所示。

圖2 高飽和度土中一點(diǎn)的截面各相組成及應(yīng)力

設(shè)截面中有n個(gè)氣泡，所截某一氣泡(球半徑為Ri)的面積為Aai(圓半徑為ri)，氣泡內(nèi)氣壓為uai。對(duì)其中任意一個(gè)氣泡，分析與孔隙水壓的關(guān)系，表面張力的作用如圖3所示(T為表面張力系數(shù))。

圖3 氣泡所截半徑及表面張力的作用

圖中可見(jiàn)，ri＝Risinθi。又因?yàn)?/p>

所以

由上式可見(jiàn)，懸浮于孔隙水中的氣泡，對(duì)混合流體的表觀壓力沒(méi)有影響。

對(duì)于氣相以大氣泡的形式而存在的高飽和度土來(lái)說(shuō)，情況是復(fù)雜的[13]。

2.2 一維固結(jié)方程的推導(dǎo)

由土體體積的變化量dV與土體有效應(yīng)力關(guān)系dV＝－mvV?σ′，有

混合流體體積Vv的變化量與其壓力的關(guān)系為dVv＝－lvVv?uw。設(shè)孔隙水不可壓縮，Vw保持不變：

由式(11)和式(12)，并結(jié)合有效應(yīng)力公式，代入式(8)，可得

若總應(yīng)力σ不隨時(shí)間變化，則式(13)可整理為

式中，n為土體孔隙率，n＝e／(1＋e)；mv、lv分別為土體和混合流體的體積壓縮系數(shù)。

上式即為高飽和度土的一維固結(jié)方程。當(dāng)飽和度Sr＝100%時(shí)，混合流體即為孔隙水，其體積壓縮系數(shù)lv＝0。于是，上式即可退化為太沙基的一維固結(jié)方程。上式亦可記為：

式中，C′v＝k／[γwSr(mv＋nlv)]，即為高飽和度土的固結(jié)系數(shù)。

2.3 固結(jié)方程的求解

取分析土層如圖4所示。均質(zhì)高飽和度淤泥質(zhì)粘土地基厚度為2H，雙面透水。假定：1)外部荷載是一次瞬時(shí)施加的；2)固結(jié)過(guò)程中滲透系數(shù)、土體和混合流體的體積壓縮系數(shù)以及飽和度均為常數(shù)(對(duì)于非飽和土，在壓縮固結(jié)過(guò)程中飽和度是會(huì)變化的，正如土體的滲透系數(shù)和土體的壓縮系數(shù)都會(huì)發(fā)生改變一樣。假設(shè)飽和度為常數(shù)也為Conte等[14]所采用)。于是，邊界條件為：z＝0，uw＝0(t＞0)以及z＝2H，uw＝0(t＞0)。

圖4 一維均質(zhì)土層固結(jié)模型

對(duì)于初始條件，分析高飽和度土的壓縮固結(jié)過(guò)程：假設(shè)在加壓瞬時(shí)，混合流體來(lái)不及排出，荷載將由混合流體和土骨架共同承擔(dān)，兩者發(fā)生相同的壓縮量。設(shè)一土體體積V＝Sh(S為截面積，h為厚度)。在加壓瞬時(shí)產(chǎn)生壓縮變形Δhis，則體積壓縮量為SΔhis。按土體計(jì)算的體積壓縮量ΔV1＝mvVΔσ′，按孔隙流體計(jì)算的體積壓縮量ΔV2＝lvnVΔuw。因?yàn)棣1＝ΔV2＝SΔhis。又由p＝Δσ＝Δσ′＋Δuw，可解得加載瞬時(shí)孔隙混合流體的壓力增量。于是初始條件為：

由初始條件和邊界條件，解式(15)得到任意時(shí)刻，任意深度的孔隙水壓力的表示式為：

式中，M＝ (2m－1)π／2，時(shí)間因子T′v＝C′vt／H2。

任意時(shí)刻、任意深度的土體有效應(yīng)力表示式：

任意時(shí)刻地基的沉降為：

任意時(shí)刻的地基土層平均固結(jié)度U為任意時(shí)刻地基沉降Sct與最終總變形量之比：

2.4 參數(shù)的確定

固結(jié)方程式中的土體體積壓縮系數(shù)mv可由一維壓縮試驗(yàn)得到?；旌狭黧w的體積壓縮系數(shù)lv可由下式計(jì)算得到：

混合流體體積壓縮系數(shù)也可由下式估算[15]：

式中，ua為氣泡絕對(duì)壓強(qiáng)。

對(duì)滲透系數(shù)k，取與飽和度的三次方成正比[16]，有下式：

式中，kw為飽和土孔隙水的滲透系數(shù)。

3 算例分析及其討論

土體孔隙率n＝0.50，Sr＝95%，滲透系數(shù)k＝1.10×10－10m／s；土體體積壓縮系數(shù)mv＝4.40×10－4kPa－1，孔隙流體壓縮系數(shù)lv＝0.96×10－4kPa－1。則mv／(mv＋nlv)＝90.2% ，則由式(17)，可得孔隙水壓隨時(shí)間和沿深度的變化曲線，并與飽和情形時(shí)相比較，分別如圖5和6所示。

圖5 不同深度的孔隙水壓消散曲線及與飽和土的比較

圖6 不同時(shí)刻的孔隙水壓隨深度分布曲線與飽和土的比較

從圖5可見(jiàn)，高飽和度土的初始超靜孔隙水壓力z／H＝0.7處和z／H＝1.0處都相同uw／p＝0.902，小于飽和土?xí)r的比值(飽和土的uw／p＝1.0)；離排水面較近的z／H＝0.7處的超靜孔隙水壓，先于離排水面較遠(yuǎn)的z／H＝1.0處開(kāi)始消散；當(dāng)時(shí)間因子較大時(shí)，飽和土、高飽和度土不同位置處的超靜孔壓都差別越來(lái)越小。在圖6中也可以看到，同一時(shí)間因子，沿深度分布的超孔隙水壓力，高飽和度土的都小于飽和土；另外，其差值也不斷縮小，在z／H＝1.0處，時(shí)間因子Tv＝0.1時(shí)，其差值為0.09，時(shí)間因子Tv＝0.5時(shí)，其差值為0.04。

由式(20)，作固結(jié)度與時(shí)間因子的關(guān)系曲線，如圖7所示。可見(jiàn)，高飽和度在瞬時(shí)就有9.8%的固結(jié)度；但是，隨著時(shí)間的發(fā)展，與飽和土的固結(jié)度差別越來(lái)越小：當(dāng)時(shí)間因子Tv＝0.1時(shí)，其差值為6.30%；時(shí)間因子Tv＝1.0時(shí)，其差值為0.67%。

圖7 固結(jié)度隨時(shí)間的發(fā)展與飽和土的比較

于是，對(duì)于高飽和度土，可以認(rèn)為當(dāng)時(shí)間因子Tv＝1.0時(shí)固結(jié)完成。那么結(jié)合式(23)，高飽和度土所需時(shí)間t′與相應(yīng)飽和土t之比：

本例中，計(jì)算得t′／t＝1.23。由式(24)，作固結(jié)完成時(shí)間比與飽和度、土體壓縮性的關(guān)系曲線，如圖8所示。其中，高壓縮性土的壓縮系數(shù)即為上述數(shù)值；中等壓縮性土的壓縮系數(shù)取1.0×10－4kPa－1；低壓縮性土的壓縮系數(shù)取4.40×10－5kPa－1。

圖8 飽和度與固結(jié)完成時(shí)間比的關(guān)系曲線

由上圖可見(jiàn)，飽和度越小，固結(jié)完成時(shí)間比差別越大，近似呈線性的關(guān)系。當(dāng)飽和度為100%時(shí)，固結(jié)完成時(shí)間比即為1；還可以看到土體的壓縮性越小，固結(jié)完成時(shí)間比差別越大。

4 結(jié) 論

從質(zhì)量守恒的角度出發(fā)，避免了非飽和土中氣相體積難以確定的困難，建立了土體的一維連續(xù)方程，推導(dǎo)了高飽和度土的一維固結(jié)方程，求解并分析了固結(jié)壓縮特點(diǎn)。得到的結(jié)論如下：

1)從質(zhì)量守恒的角度分析，可有效地化解建立非飽和土連續(xù)性條件的困難。

2)高飽和度土可視為具有可壓縮流體的“飽和土”，不過(guò)固結(jié)系數(shù)不同。

3)高飽和度土的固結(jié)壓縮特點(diǎn)：瞬時(shí)超靜孔隙水壓小于所施加的荷載；從固結(jié)度與時(shí)間因子的關(guān)系曲線上看，雖然前期與飽和土比較時(shí)差別較大，但是隨后的固結(jié)度差距減小，當(dāng)時(shí)間因子為1.0，也可認(rèn)為固結(jié)完成；飽和度越小，土體壓縮性越小，高飽和度土的固結(jié)完成所需時(shí)間與相應(yīng)飽和土的之比就越大。

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