陳志強(qiáng)，王亮清，劉順昌，豐光亮

（中國(guó)地質(zhì)大學(xué)工程學(xué)院，武漢 430074）

基于改進(jìn)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的最大動(dòng)剪切模量確定

陳志強(qiáng)，王亮清，劉順昌，豐光亮

（中國(guó)地質(zhì)大學(xué)工程學(xué)院，武漢 430074）

采用徑向基函數(shù)（RBF）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的手段，直接建立最大動(dòng)剪切模量Gmax與孔隙比e、圍壓σ3、固結(jié)比kc這3個(gè)影響因素的非線性關(guān)系，避開了尋找Gmax與各影響因素之間定量經(jīng)驗(yàn)公式的繁瑣工作。通過模式搜索法計(jì)算出徑向基函數(shù)的擴(kuò)展速度的最優(yōu)值，使模型的預(yù)測(cè)誤差最小。以福建標(biāo)準(zhǔn)砂為例，模式搜索法得出的擴(kuò)展速度SPREAD最優(yōu)值為2.287，RBF網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)的Gmax平均相對(duì)誤差為0.931 6%，誤差很小，說明RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能方便、有效地確定不同條件下的Gmax，具有一定的推廣利用價(jià)值。除了對(duì)Gmax能夠很好地預(yù)測(cè)外，RBF網(wǎng)絡(luò)對(duì)G-γ關(guān)系曲線也能很好地模擬。關(guān) 鍵 詞：徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；最大動(dòng)剪切模量；Hardin公式；模式搜索法

1 概 述

土的動(dòng)剪切模量是土體動(dòng)力學(xué)特性的最重要參數(shù)之一［1－3］，同時(shí)也是土動(dòng)力計(jì)算和場(chǎng)地地震安全性評(píng)價(jià)中不可或缺的內(nèi)容。動(dòng)剪切模量主要通過試驗(yàn)獲得，通常分為現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試和實(shí)驗(yàn)室測(cè)試2種，兩者各有所長(zhǎng)。對(duì)于土的非線性的情況，目前主要仍由室內(nèi)試驗(yàn)測(cè)定［4］。確定動(dòng)力學(xué)參數(shù)的儀器主要有：共振柱儀、扭剪儀、剪切儀、動(dòng)三軸儀等。其中共振柱儀可直接測(cè)定在小應(yīng)變范圍內(nèi)的動(dòng)剪切模量，應(yīng)用較普遍。

以式（1）雙曲線模型對(duì)動(dòng)剪切模量試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘法回歸分析得到參數(shù)a和b。

則最大動(dòng)剪切模量

式中：G為動(dòng)剪切模量；γ為動(dòng)剪應(yīng)變；a和b為擬合參數(shù)。

最大動(dòng)剪切模量主要與孔隙比、圍壓、固結(jié)比等因素有關(guān)，但這些因素對(duì)最大動(dòng)剪切模量的作用機(jī)理難以用數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行精確建模。Hardin和Black［1，2］給出平均主應(yīng)力公式來計(jì)算固結(jié)比大于1.0時(shí)的最大動(dòng)剪切模量，該公式中固結(jié)比對(duì)最大動(dòng)剪切模量的影響不大。袁曉銘和孫靜［5］對(duì)均等固結(jié)（kc＝1.0）時(shí)的最大動(dòng)剪切模量G0m和kc＞1.0與kc＝1.0時(shí)最大動(dòng)剪切模量的增量值ΔGm分別進(jìn)行回歸，即Gmax＝G0m＋ΔGm。在回歸ΔGm時(shí)，使用最大動(dòng)剪切模量的相對(duì)增量ΔGm／G0m，描述固結(jié)比kc在大于1.0時(shí)對(duì)最大動(dòng)剪切模量的影響。這種方法雖然較Hardin公式有一定的改進(jìn)，但過程繁瑣，且將最大動(dòng)剪切模量分成兩部分來建模缺乏理論依據(jù)。

本文運(yùn)用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法直接建立最大動(dòng)剪切模量Gmax與孔隙比e、圍壓σ3、固結(jié)比kc的非線性關(guān)系，避開了尋找Gmax與各影響因素之間定量經(jīng)驗(yàn)公式的繁瑣工作。并通過模式搜索法計(jì)算出徑向基函數(shù)擴(kuò)展速度的最優(yōu)值，使模型的預(yù)測(cè)誤差最小。

另外，本文運(yùn)用RBF網(wǎng)絡(luò)對(duì)動(dòng)剪切模量的非線性衰減情況也進(jìn)行了預(yù)測(cè)。

2 確定最大動(dòng)剪切模量的傳統(tǒng)模型

Seed和Idriss［6］建立了砂土最大動(dòng)剪切模量Gmax的經(jīng)驗(yàn)公式：

式中：kmax為土性參數(shù)；p為大氣壓力；σ0為有效平均主應(yīng)力。式（3）較為簡(jiǎn)單，只考慮了有效平均主應(yīng)力的影響。

Hardin和Black［1］給出適合各類土的最大動(dòng)剪切模量Gmax經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式：

式中：σ0為有效平均主應(yīng)力；OCR為超固結(jié)比；e為孔隙比。

袁曉銘、孫靜［5］采用共振柱試驗(yàn)方法對(duì)Hardin公式進(jìn)行了改進(jìn)得到式（5），新公式對(duì)非等向固結(jié)下砂土最大動(dòng)剪切模量的擬合相對(duì)式（4）有一定的改進(jìn)。

式（5）的建立過程為：先推導(dǎo)出計(jì)算均等固結(jié)下標(biāo)準(zhǔn)砂最大動(dòng)剪切模量G0m的回歸公式，該公式與Hardin公式在形式上完全一致，只是前面所選用的系數(shù)略有不同；再以冪函數(shù)模式建立非均等固結(jié)下最大動(dòng)剪切模量相對(duì)于均等固結(jié)下最大動(dòng)剪切模量的增量ΔGm／G0m和固結(jié)比的增量kc－1之間的關(guān)系。可見式（5）只針對(duì)固結(jié)比對(duì)最大動(dòng)剪切模量的影響作了修正，孔隙比和圍壓的影響仍沿用Hardin公式的思想。

由于土體結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，最大動(dòng)剪切模量的影響因素較多，一些因素對(duì)最大動(dòng)剪切模量的影響難以用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型加以描述，而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)則可以通過對(duì)樣本的反復(fù)學(xué)習(xí)來反映最大動(dòng)剪切模量與各影響因素之間復(fù)雜的非線性關(guān)系。所以采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型確定最大動(dòng)剪切模量的方法應(yīng)該優(yōu)于傳統(tǒng)方法。

3 徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

3.1 徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)簡(jiǎn)介

由此可得隱含層第i個(gè)神經(jīng)元的輸入為

圖1 RBF網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of RBF Neural Network

輸出為

徑向基函數(shù)的閾值b1可以調(diào)節(jié)函數(shù)的靈敏度，但實(shí)際工作中更常用另一參數(shù)C（稱為擴(kuò)展常數(shù)）。b1和C有一定的關(guān)系，本文取b1i＝0.832 6／Ci。

輸入層的輸入為各隱含層神經(jīng)元輸出的加權(quán)求和。由于激勵(lì)函數(shù)為純線性函數(shù)，因此輸出為

3.2 徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的MATLAB實(shí)現(xiàn)

MATLAB神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱為徑向基網(wǎng)絡(luò)提供了許多工具箱函數(shù)，其中newrbe函數(shù)是一個(gè)用于設(shè)計(jì)準(zhǔn)確徑向基網(wǎng)路的函數(shù)。調(diào)用格式為

其中：P為Q組輸入向量組成的R×Q維矩陣；T為Q組目標(biāo)向量組成的S×Q維矩陣；SPREAD為徑向基函數(shù)的擴(kuò)展速度，默認(rèn)為1；SPREAD越大，函數(shù)擬合就越光滑。但是過大的SPREAD意味著需要非常多的神經(jīng)元以適應(yīng)函數(shù)的快速變化。如果SPREAD設(shè)得過小，則意味著需要許多神經(jīng)元來適應(yīng)函數(shù)的緩慢變化，這樣一來，設(shè)計(jì)的網(wǎng)絡(luò)性能就不會(huì)很好。因此，在網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)過程中，選擇一個(gè)合適的SPREAD很關(guān)鍵。本文將使用模式搜索法尋找出最優(yōu)SPREAD值。

利用函數(shù)newrbe創(chuàng)建一個(gè)精確的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，該函數(shù)在創(chuàng)建RBF網(wǎng)絡(luò)時(shí)，自動(dòng)選擇隱函層的數(shù)目，對(duì)于給定的訓(xùn)練向量能夠生成一個(gè)零誤差的網(wǎng)絡(luò)對(duì)象。

徑向基傳遞函數(shù)為radbas函數(shù)。該函數(shù)原型為y＝exp（－x2）。

悄寂的山坳，悄寂的墳地，周邊一個(gè)人影兒也沒有，只有不會(huì)說話的高天白云一臉壞笑的窺測(cè)，以及荊棘綠草滿含譏諷的睨視。如此好的保密條件，足足可以幫助三喜實(shí)現(xiàn)這一小小的陰謀。他因喜不自禁而抓耳撓腮，下定了決心就照此辦理！

圖3 徑向基傳遞函數(shù)radbasFig.3 Radbas－the transfer function of RBF Neural Network

3.3 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相對(duì)于BP網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)點(diǎn)

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種常用的全局逼近神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，從理論上講，3層BP網(wǎng)絡(luò)就可以實(shí)現(xiàn)從輸入到輸出的任意函數(shù)映射。但是由于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是基于梯度下降的誤差反向傳播算法進(jìn)行學(xué)習(xí)的，且在訓(xùn)練過程中需要對(duì)網(wǎng)絡(luò)的所有權(quán)值和閾值進(jìn)行修正，所以網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)速度較慢，而且很容易陷入局部最小點(diǎn)，易產(chǎn)生振蕩，無法保證每次訓(xùn)練時(shí)BP算法的收斂性和全局最優(yōu)性。

與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比，RBF網(wǎng)絡(luò)是一種局部逼近網(wǎng)絡(luò)，對(duì)于每個(gè)訓(xùn)練樣本，它只需要對(duì)少量的權(quán)值和閾值進(jìn)行修正，所以RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不僅學(xué)習(xí)速度快，而且避免了局部最小問題，同時(shí)，由于只有少量的權(quán)值需要調(diào)整，其推廣能力顯著增強(qiáng)，使得其對(duì)新樣本的預(yù)測(cè)能力顯著增強(qiáng)。因此，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在逼近能力、分類能力和學(xué)習(xí)速度等方面均優(yōu)于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［8－9］。故本文采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

4 模式搜索法

與遺傳算法一樣，模式搜索法也可以用來尋找最優(yōu)解。與使用梯度或高階導(dǎo)數(shù)信息來搜索優(yōu)化點(diǎn)的較傳統(tǒng)的優(yōu)化算法相反，模式搜索法不要求任何目標(biāo)函數(shù)梯度的信息。模式搜索算法搜索當(dāng)前點(diǎn)周圍的一系列點(diǎn)，尋找出目標(biāo)函數(shù)值低于當(dāng)前點(diǎn)值的點(diǎn)，并將該點(diǎn)作為下一次迭代的當(dāng)前點(diǎn)。它可以處理邊界約束、線性等式、線性不等式，并且不需要目標(biāo)函數(shù)可微或連續(xù)［10］。

本文定義目標(biāo)函數(shù)F：

式中：m為預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)組數(shù)；xi為第i組真實(shí)值；x′i為其對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)值。

本文計(jì)算最優(yōu)SPREAD的具體步驟為：①確定一個(gè)初始點(diǎn)X0；②通過RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算出初始點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值F（X0），然后按同樣方法計(jì)算其相鄰的其它各點(diǎn)的值F（X0＋V（j）L），j∈（1，2，…，2N），L默認(rèn)為1，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)自變量，則N＝1，V＝［－1；1］；③如果X0相鄰點(diǎn)中有一點(diǎn)的函數(shù)值比F（X0）更優(yōu)則表示搜索成功，那么X1＝X0＋V（j）L，且下次搜索時(shí)以X1為中心，以L＝L×2為步長(zhǎng)，若沒有找到這樣的點(diǎn)則表示搜索失敗，返回仍以X0為中心，以L＝L×0.5為步長(zhǎng)搜索；④重復(fù)②③的操作直到滿足終止條件為止，終止條件可以是迭代次數(shù)已到設(shè)定值或者誤差小于規(guī)定值等，最終得到的Xk即為最優(yōu)SPREAD（k為成功搜索的次數(shù)）。

表1 標(biāo)準(zhǔn)砂在不同條件下G-γ關(guān)系曲線參數(shù)a，b值［4］Table 1 Parameter values of G-γrelation curve of standard sand in different conditions

5 標(biāo)準(zhǔn)砂最大動(dòng)剪切模量預(yù)測(cè)

孫靜等［4］采用篩選后的福建標(biāo)準(zhǔn)砂進(jìn)行試驗(yàn)。試驗(yàn)用砂的主要技術(shù)指標(biāo)如下：土粒密度ρs為2.66 g／cm3；最大干密度ρdmax為1.686 g／cm3；最小干密度ρdmin為1.481 g／cm3；最大孔隙比emax為0.796；最小孔隙比emin為0.578；不均勻系數(shù)Cu為1.64，曲率系數(shù)Cc為0.85。屬于級(jí)配良好的中砂。

采用3種不同相對(duì)密度的標(biāo)準(zhǔn)砂進(jìn)行偏壓試驗(yàn)，對(duì)同一種相對(duì)密度的標(biāo)準(zhǔn)砂，施加3種不同圍壓，每一種圍壓下，施加5種不同的偏壓進(jìn)行試驗(yàn)，在共振柱上測(cè)出相應(yīng)的動(dòng)剪切模量，得到45種工況下不同相對(duì)密度、不同圍壓和不同固結(jié)比的動(dòng)剪切模量與剪應(yīng)變的試驗(yàn)關(guān)系。根據(jù)式（1）對(duì)測(cè)得的動(dòng)剪切模量試驗(yàn)點(diǎn)進(jìn)行分析，可以得到每種工況下的擬合參數(shù)a，b值，如表1所示。根據(jù)a值和式（2）可得到每種工況下最大動(dòng)剪切模量值，如表2所示。

相對(duì)密度和孔隙比存在的轉(zhuǎn)換關(guān)系如式（10）所示：

故相對(duì)密度為0.728，0.6，0.3對(duì)應(yīng)的孔隙比分別是0.637 296，0.665 2，0.730 6。

如果將孔隙比、圍壓、固結(jié)比作為一組輸入向量，將對(duì)應(yīng)的最大動(dòng)剪切模量值作為目標(biāo)向量時(shí)，可將表2中數(shù)據(jù)構(gòu)造成45組向量，如表3所示。

將序號(hào)為奇數(shù)的數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本，其中前面3列數(shù)據(jù)作為輸入向量P，最后1列作為目標(biāo)向量T，將序號(hào)為偶數(shù)的數(shù)據(jù)作為測(cè)試樣本，檢查網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)精度。

表2 標(biāo)準(zhǔn)砂在不同條件下最大動(dòng)剪切模量值Table 2 Themaximum dynam ic shear modulus of standard sand in different conditions

圖4 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)效果圖Fig.4 Prediction results by RBF Neural Network

表3 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練及測(cè)試樣本Table 3 Training sam ples and test samples of RBF Neural Network

表4 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)與文獻(xiàn)［4］誤差對(duì)比Table 4 The error com parison between the forecast of RBF Neural Network and the forecast in reference［4］

經(jīng)模式搜索法得出最優(yōu)SPREAD＝2.287。此時(shí)目標(biāo)函數(shù)值為7.108 8，RBF網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)的預(yù)測(cè)結(jié)果如圖4和表4所示。

由圖4和表4可知，基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)方法預(yù)測(cè)誤差很小，相對(duì)誤差最大值為2.31%，而文獻(xiàn)［4］的相對(duì)誤差最大值為7.60%。經(jīng)計(jì)算，文獻(xiàn)［4］的平均相對(duì)誤差為2.083 6%，而本文預(yù)測(cè)結(jié)果的平均相對(duì)誤差為0.931 6%?？梢奟BF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)不同條件下最大動(dòng)剪切模量的優(yōu)越性。

6 標(biāo)準(zhǔn)砂模量比曲線預(yù)測(cè)

同樣的，將孔隙比、圍壓、固結(jié)比作為一組輸入向量，將對(duì)應(yīng)的非線性關(guān)系曲線參數(shù)a，b值作為目標(biāo)向量時(shí)，可將表1中數(shù)據(jù)構(gòu)造成45組向量。與前面建立最大動(dòng)剪切模量預(yù)測(cè)網(wǎng)絡(luò)的方法相同，只不過將目標(biāo)向量改為a和b。

經(jīng)模式搜索法得出的最優(yōu)SPREAD＝0.653，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)結(jié)果如表5所示。

表5 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)非線性參數(shù)預(yù)測(cè)情況Table 5 The p rediction of non linear parameters by RBF Neural Network

由表5可知，網(wǎng)絡(luò)對(duì)a值的預(yù)測(cè)誤差普遍偏小，對(duì)b值的預(yù)測(cè)誤差局部偏大而總體較小。經(jīng)計(jì)算，a值的平均相對(duì)誤差為2.593 3%，b值的平均相對(duì)誤差為6.736 7%，可見RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)還可以較好地模擬不同固結(jié)比、圍壓、孔隙比條件下的動(dòng)剪切模量比與剪應(yīng)變非線性關(guān)系。

7 結(jié) 語

由于土體的復(fù)雜性與混沌性質(zhì)，經(jīng)驗(yàn)公式不可能完全反應(yīng)動(dòng)剪切模量的變化規(guī)律。某些影響因素與最大動(dòng)剪切模量的非線性關(guān)系非常復(fù)雜，它們之間不能用簡(jiǎn)單的基本函數(shù)表示。另外，經(jīng)驗(yàn)公式中各變量之間的關(guān)系是相互獨(dú)立的，而事實(shí)上他們可能是相關(guān)聯(lián)的。例如圍壓和固結(jié)比都會(huì)對(duì)孔隙比造成一定的影響。所以在影響因素比較多時(shí)，確定最大動(dòng)剪切模量的公式會(huì)非常復(fù)雜，且不一定準(zhǔn)確。

而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有原則上容錯(cuò)、結(jié)構(gòu)拓?fù)漪敯?、?lián)想、推測(cè)、記憶、自適應(yīng)、自學(xué)習(xí)、并行和處理復(fù)雜模式的功能，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以通過對(duì)一組樣本的反復(fù)學(xué)習(xí)，反應(yīng)一個(gè)非常復(fù)雜的映射關(guān)系，從而避免了繁瑣的公式推導(dǎo)。采用模式搜索方法對(duì)RBF網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，方法簡(jiǎn)單，效果顯著。以福建標(biāo)準(zhǔn)砂為例，說明改進(jìn)的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不僅對(duì)最大動(dòng)剪切模量能很好地預(yù)測(cè)，對(duì)動(dòng)剪切模量與動(dòng)剪應(yīng)變關(guān)系曲線也能很好地模擬。

另外，采用改進(jìn)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法代替?zhèn)鹘y(tǒng)的數(shù)學(xué)公式方法對(duì)最大動(dòng)剪切模量的確定不僅適用于砂土，還可以推廣至其它性質(zhì)土的最大動(dòng)剪切模量的確定，具有一定的推廣應(yīng)用價(jià)值。

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（編輯：王 慰）

Determ ination of the M aximum Dynam ic Shear M odulus Based on Improved RBF Neural Network

CHEN Zhi-qiang，WANG Liang-qing，LIU Shun-chang，F(xiàn)ENG Guang-liang
（Faculty of Engineering，China University of Geo-sciences，Wuhan 430074，China）

To avoid the complicated work of searching for quantitative experiential formula，a nonlinear relationship betweenmaximum dynamic shearmodulus（Gmax）and the influence factors including void ratio（e），cell pressure（σ3），and consolidation ratio（kc）was built directly by using Radial Basis Function（RBF）neural network.In addition，the optimal value of spread speed（SPREAD）of RBF was calculated by pattern search method tominimize the prediction error.Taking standard sand in Fujian province as an example，the optimal value of SPREAD calculated by pattern searchmethod equals to 2.287，and the average relative error of Gmaxpredicted by RBF neural network is0.931 6%，which is quite small.It shows that RBF neural network can determine Gmaxunder different conditions conveniently and effectively.Besides，the relationship curve of G-γcan also be simulated by this network.Therefore，themethod of using RBF neural network to calculate themaximum dynamic shearmodulus is recommended to be used widely.

radial basis function neural network；maximum dynamic shear modulus；Hardin formula；pattern search method

TP183

A

1001－5485（2011）07－0051－06

2010-07-15

陳志強(qiáng)（1987-），男，四川綿陽人，碩士研究生，主要從事巖土體工程性質(zhì)及邊坡穩(wěn)定性分析方面的研究，（電話）15927189793（電子信箱）cug50061＠163.com。