孫 利，張文倩

(1.泰山學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東泰安 271021;2.肥城市汶陽(yáng)中心中學(xué); 3.肥城市汶陽(yáng)中心小學(xué)，山東肥城 271606)

1 問(wèn)題研究的理論依據(jù)

有效教學(xué)的核心就是教學(xué)的效益，有效的數(shù)學(xué)教學(xué)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)以民主、和諧、開(kāi)放、富有活力的課堂教學(xué)環(huán)境為依托，可以用最有效的方式向?qū)W習(xí)者傳遞知識(shí)(Bebnar等，1991)，通過(guò)簡(jiǎn)化還原和標(biāo)準(zhǔn)化使得知識(shí)分析、分解和簡(jiǎn)化為基本的組塊，使得知識(shí)更為有效地遷移.

英國(guó)數(shù)學(xué)教育家利貝克(P.Liebeck)接受布魯納的思想，認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可以概括為經(jīng)驗(yàn)、語(yǔ)言、圖像和符號(hào)四個(gè)基本環(huán)節(jié).英國(guó)著名教育家迪恩斯(Z.Dienes)認(rèn)為，學(xué)生掌握數(shù)學(xué)意義必須從他們的熟悉的環(huán)境中實(shí)現(xiàn)，要適合兒童的興趣、能力和個(gè)人的親身經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生掌握數(shù)學(xué)意義必須在他們熟悉的環(huán)境中實(shí)現(xiàn).戴維斯(R.B.Davis)等認(rèn)為，兒童學(xué)數(shù)學(xué)的方式，一種是復(fù)制式，另一種是建構(gòu)式，建構(gòu)的方式是“做數(shù)學(xué)”.弗賴登塔爾(Hans Freudenthal)提出:數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是學(xué)生的“再創(chuàng)造”，這就是說(shuō)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)事實(shí)上就是這樣的“再創(chuàng)造”過(guò)程，我們?cè)诖瞬⒎鞘且獧C(jī)械地去重復(fù)歷史中的“原始創(chuàng)造”，而應(yīng)根據(jù)自己的體驗(yàn)并用自己的思維方式重新去創(chuàng)造出有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí).

2 有效數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)模式構(gòu)建

“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)就是通過(guò)學(xué)生自身主動(dòng)的建構(gòu)，使新的數(shù)學(xué)材料在學(xué)生頭腦中活動(dòng)特定的意義”，“在于學(xué)生的共同活動(dòng)，包括一起分析并尋找聯(lián)系答案，一起設(shè)計(jì)與證明，并實(shí)現(xiàn)活動(dòng)，還一起檢驗(yàn)與評(píng)估其結(jié)果(包括對(duì)錯(cuò)誤的分析)”［1］，有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，借助于數(shù)學(xué)操作、實(shí)驗(yàn)和活動(dòng)，以師生實(shí)驗(yàn)、議論、活動(dòng)、對(duì)話交流、討論等使學(xué)生參與的教學(xué)方式，用數(shù)學(xué)的方式、數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)地思考方式去研究現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題，著眼于改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，在積極地?cái)?shù)學(xué)活動(dòng)中指導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展自主探究學(xué)習(xí)和小組合作學(xué)習(xí)，獲得經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)、方法和能力，通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，理性獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，獲得對(duì)數(shù)學(xué)探究的體驗(yàn)與感悟，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過(guò)程.

學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，通過(guò)自己的積極數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，在思考的基礎(chǔ)上理解，有效理解數(shù)學(xué)知識(shí)的生成過(guò)程，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家思維活動(dòng)的方式，體驗(yàn)開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)的探索樂(lè)趣，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)化的方法，在表征交流中建構(gòu)和完善自己的有效數(shù)學(xué)知識(shí)，在實(shí)踐中形成自己的經(jīng)驗(yàn).

2.1 在有效活動(dòng)中思考理解

迪恩斯強(qiáng)調(diào)學(xué)生理解數(shù)學(xué)意義的重要性，數(shù)學(xué)意義必須在他們熟悉的環(huán)境中實(shí)現(xiàn)，要適合學(xué)生的興趣、能力、和個(gè)人親身經(jīng)驗(yàn).通過(guò)“量一量”、“算一算”、“查一查”等有效數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生會(huì)觀察、分析、提煉和概括，在“做中學(xué)”，在做中領(lǐng)悟，理解問(wèn)題的生成與發(fā)展，教師給予恰當(dāng)合理地指導(dǎo)，“以使它們成為進(jìn)一步思考和加工、討論和完善、提煉和概括的對(duì)象，促使學(xué)生的思維向縱深發(fā)展”［2］.例如，三角形的內(nèi)角和的教學(xué)中，讓學(xué)生動(dòng)手測(cè)量(猜測(cè))，得到三角形的內(nèi)角和的大小，使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)以直觀的形式出現(xiàn)，通過(guò)拼剪操作(證實(shí))，探索和發(fā)現(xiàn)三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°，通過(guò)演繹推理(證明)由形象的認(rèn)識(shí)提煉為抽象的概括，讓學(xué)生在親身參與的活動(dòng)中體驗(yàn)領(lǐng)悟，體會(huì)三角形的穩(wěn)定性在生活中的應(yīng)用，并能應(yīng)用三角形的內(nèi)角和性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.

2.2 在表征中積累有效經(jīng)驗(yàn)

“通過(guò)對(duì)具體事物進(jìn)行實(shí)際操作、考察和思考，從感性向理性飛躍時(shí)所形成的認(rèn)識(shí)”，［3］“在操作、觀察、討論、交流、歸納、猜想、分析和整理的過(guò)程中，理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的提出、數(shù)學(xué)概念的形成、數(shù)學(xué)結(jié)論的獲得與驗(yàn)證以及數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用”.［4］通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)，在操作中獲得大量的感性知識(shí)，根據(jù)在數(shù)學(xué)活動(dòng)中產(chǎn)生的事實(shí)，尋找理論上的證明，這種自己動(dòng)手、探究體驗(yàn)得出的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，“可以使學(xué)生看到別人如何選擇表示方法，將自己的方法與別人的方法進(jìn)行比較，并對(duì)自己的方法作出修正或補(bǔ)充.這樣就有可能使學(xué)生體會(huì)到應(yīng)當(dāng)如何靈活、恰當(dāng)?shù)剡x擇表示方法”，［2］會(huì)較好的保持長(zhǎng)久記憶，例如，在學(xué)“平行四邊形面積計(jì)算”時(shí)，讓學(xué)生自己準(zhǔn)備平行四邊形若干個(gè)，觀察表面特征、概念屬性、隸屬關(guān)系，根據(jù)三角形面積的計(jì)算，開(kāi)展實(shí)驗(yàn)研究，讓學(xué)生分組合作進(jìn)行“割”、“補(bǔ)”、“拼”、“接”等活動(dòng)，類比聯(lián)想，然后各小組交流、討論后，歸納出平行四邊形面積的計(jì)算公式.

2.3 在有效活動(dòng)中建構(gòu)概念

數(shù)學(xué)活動(dòng)提供了包括語(yǔ)言、符號(hào)、圖像、場(chǎng)景等多維的、動(dòng)態(tài)的、交互性的學(xué)習(xí)資源，可以說(shuō)只要進(jìn)入學(xué)習(xí)環(huán)境、對(duì)學(xué)習(xí)活動(dòng)起支撐性作用的所有因素、事物、人物等都在這種廣義的學(xué)習(xí)資源的范圍中，因此，伴隨著積極地情感體驗(yàn)，學(xué)生由原來(lái)的“聽(tīng)”數(shù)學(xué)，變成了“做”數(shù)學(xué)，學(xué)生從提供的信息資料通過(guò)觀察、思考、聯(lián)想、想象和發(fā)問(wèn)，提取數(shù)學(xué)信息，搜尋數(shù)量關(guān)系、空間形式及彼此之間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而將主要知識(shí)點(diǎn)通過(guò)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)結(jié)形成知識(shí)鏈.這樣的學(xué)習(xí)活動(dòng)符合利貝克和戴維斯的教育思想，表明了學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程是積極建構(gòu)的，也建構(gòu)了高層次的思維.

數(shù)學(xué)概念的定義可以由整個(gè)班級(jí)的討論、協(xié)商，通過(guò)共同的認(rèn)可來(lái)做出選擇而建立起來(lái)，“注意觀察、歸納學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中思維活動(dòng)的規(guī)律，研究思維活動(dòng)的發(fā)展過(guò)程，把數(shù)學(xué)知識(shí)地發(fā)生、發(fā)展過(guò)程充分地暴露給學(xué)生，把數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的原始思維過(guò)程盡量展現(xiàn)給學(xué)生”，［5］例如“圓的認(rèn)識(shí)”一課中，通過(guò)研究生活問(wèn)題:“下水道的蓋子為什么是圓形的?”在數(shù)學(xué)活動(dòng)中演示變化(圖形)、在同學(xué)交流中互相討論、教師的點(diǎn)撥指導(dǎo)下思考等反饋中，親身經(jīng)歷和體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展過(guò)程，逐漸形成自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)體系.學(xué)生很快表征出對(duì)圓的理解:圓形的蓋子美觀，節(jié)約材料;由于圓的直徑相等(直徑是最長(zhǎng)的弦)，圓形的蓋子翻起時(shí)，蓋子不會(huì)掉下去.這樣，把數(shù)學(xué)知識(shí)與生活實(shí)際緊密聯(lián)系起來(lái)，學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去看待生活問(wèn)題，準(zhǔn)確地用數(shù)學(xué)的知識(shí)解釋生活中的事實(shí)，不但使學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，而且能讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用.

2.4 在甄別中建立數(shù)學(xué)模型

學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中對(duì)問(wèn)題進(jìn)行嘗試比較、推理論證，在深層次地參與中主動(dòng)地構(gòu)建知識(shí)，通過(guò)實(shí)例來(lái)證明或辨析所獲得知識(shí)，形成確切的數(shù)學(xué)概念.學(xué)生所要完成的主要任務(wù)是搜集所需要的知識(shí)和信息并進(jìn)行分類編碼、數(shù)據(jù)分析和圖象處理，使靜態(tài)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表現(xiàn)為邏輯的動(dòng)態(tài)過(guò)程.經(jīng)過(guò)比較分析，研究理論和實(shí)際的差異，驗(yàn)證猜想和理論，理解數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的過(guò)程，學(xué)生可以像數(shù)學(xué)家一樣，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)加以歸納、類比、聯(lián)想、猜測(cè)和驗(yàn)證，使問(wèn)題與學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的經(jīng)驗(yàn)發(fā)生碰撞而激活現(xiàn)有的經(jīng)驗(yàn)去“同化”或“順應(yīng)”學(xué)習(xí)活動(dòng)中的新知識(shí)，形成鏈結(jié).例如，在統(tǒng)計(jì)初步的教學(xué)中，利用多媒體演示每個(gè)家庭丟棄塑料袋的情況，通過(guò)師生對(duì)話、生生交流中探索平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的意義，提供解決問(wèn)題的方案，使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)展現(xiàn)意義，并體驗(yàn)環(huán)境與可持續(xù)發(fā)展的關(guān)系.

2.5 有效地開(kāi)展變式練習(xí)

在變式練習(xí)中探究、猜測(cè)、再發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)，有效促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的進(jìn)程，強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一個(gè)現(xiàn)實(shí)的經(jīng)驗(yàn)、理解和反思的過(guò)程，強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為主體的數(shù)學(xué)活動(dòng)對(duì)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的重要性，突出發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性的作用，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立探索發(fā)現(xiàn)、獨(dú)立獲取知識(shí)的能力.例如，在同底數(shù)冪的乘法教學(xué)中，通過(guò)變式練習(xí)，由特殊到一般，猜測(cè)得出結(jié)論.

3 數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)策略

3.1 聯(lián)系日常生活經(jīng)驗(yàn)

設(shè)計(jì)直接源于生活經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)，例如:組織旅游活動(dòng)制訂預(yù)算、摸球活動(dòng)體驗(yàn)隨機(jī)事件的可能性，讓學(xué)生通過(guò)“做數(shù)學(xué)”體會(huì)其中的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，獲得相應(yīng)的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，更為有效地促進(jìn)學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)過(guò)程，真正獲得對(duì)知識(shí)的意義的理解，這些知識(shí)和方法又組成怎樣的一個(gè)編碼結(jié)構(gòu)，學(xué)習(xí)者所經(jīng)歷的探索和研究過(guò)程，“理解問(wèn)題，通過(guò)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)分析，并將問(wèn)題翻譯成自己能理解的表述形式，有意識(shí)地進(jìn)行計(jì)劃解決過(guò)程，而不至于陷入無(wú)目標(biāo)的試誤過(guò)程”，［6］可以真正體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形式化過(guò)程，依據(jù)自身已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)生成和主動(dòng)地建構(gòu)新的經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的生成和主動(dòng)建構(gòu).

3.2 創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)情境打破數(shù)學(xué)知識(shí)間的條塊分割局面，經(jīng)過(guò)提煉、簡(jiǎn)化、篩選，密切結(jié)合實(shí)際，在具體操作和探究中活動(dòng)體驗(yàn)，打通知識(shí)融合的道路，可以使“數(shù)學(xué)知識(shí)的多樣化表達(dá)方式可以極大地拓展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的空間，有利地支持學(xué)生的學(xué)和教師的教，使高水平的、深層次的思維活動(dòng)獲得有利的支持”［5］.在活動(dòng)中將算法和知識(shí)的內(nèi)涵領(lǐng)悟，學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，通過(guò)積極地?cái)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)制作、數(shù)學(xué)游戲等思維活動(dòng)，有效理解數(shù)學(xué)知識(shí)的生成、發(fā)展過(guò)程，在表征交流中建構(gòu)和完善自己的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，“將線性的知識(shí)點(diǎn)鏈通過(guò)變式教學(xué)，建立起橫向的聯(lián)系，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，將平面的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)通過(guò)數(shù)學(xué)思想方法的提煉形成立體的模塊”.［3］

3.3 在感悟意義中理解數(shù)學(xué)知識(shí)

數(shù)學(xué)情境使得一些重要的數(shù)學(xué)知識(shí)借助于尋求某種具體的形象化的支持，學(xué)生參與“做數(shù)學(xué)”，獲得某種相對(duì)有效的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn).例如:多米諾骨牌游戲與數(shù)學(xué)歸納法，進(jìn)行與問(wèn)題相關(guān)主題的交流、溝通和討論，進(jìn)行多維度、多層次、互相交流的合作，對(duì)解決問(wèn)題的過(guò)程進(jìn)行自覺(jué)的調(diào)控，促進(jìn)學(xué)生弄清問(wèn)題的知識(shí)結(jié)構(gòu)層次、邏輯先后順序、信息發(fā)展流程，加強(qiáng)在“做數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)”方面的指導(dǎo)，使教學(xué)過(guò)程成為促進(jìn)學(xué)生在內(nèi)在情感和迫切學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)下，主動(dòng)探究，猜測(cè)篩選，確定可能的結(jié)論，有效地構(gòu)建自己的數(shù)學(xué)理解，從中獲得對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理、法則及思想方法的理解與掌握，解釋得到答案的過(guò)程，體驗(yàn)知識(shí)的形成過(guò)程，反思“再發(fā)現(xiàn)”的思維過(guò)程，“檢驗(yàn)他們獲得答案的過(guò)程，與他人分享自己的探究過(guò)程，并進(jìn)一步精制這個(gè)過(guò)程”.［6］

3.4 在數(shù)學(xué)實(shí)踐中感受數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值

數(shù)學(xué)實(shí)踐解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，也就是學(xué)習(xí)創(chuàng)造性數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)的過(guò)程.讓學(xué)生嘗試通過(guò)自己動(dòng)手和觀察實(shí)驗(yàn)結(jié)果去發(fā)現(xiàn)和總結(jié)其中的規(guī)律，使用自己發(fā)現(xiàn)的知識(shí)去解決問(wèn)題，例如，讓學(xué)生測(cè)算粉刷房屋所需資金，確定選用那種涂料、涂料的價(jià)格、房間面積、粉刷的工錢，明確了這些因素以后學(xué)生就可以初步估計(jì)，感受數(shù)學(xué)知識(shí)可以為我們的生活服務(wù)的價(jià)值.“問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)、尋找問(wèn)題解決的方法、結(jié)論的獲得、語(yǔ)言的表述，以及對(duì)上述活動(dòng)過(guò)程的反思、對(duì)解決問(wèn)題的方法和語(yǔ)言表述的優(yōu)化和問(wèn)題的推廣等所組成的一個(gè)整體”，［2］讓學(xué)生親身經(jīng)歷客觀實(shí)際與數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系、體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的再創(chuàng)造的過(guò)程，在實(shí)踐中形成自己的創(chuàng)新經(jīng)驗(yàn).

3.5 有效提升了雙基模塊的形成

在“做”數(shù)學(xué)中設(shè)置“最近發(fā)展區(qū)”，“將數(shù)學(xué)的主要知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)結(jié)，形成知識(shí)點(diǎn)鏈”.［3］例如，在一元二次方程的教學(xué)中，通過(guò)做變式練習(xí)，展開(kāi)思維聯(lián)結(jié)，研究求根公式、判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、轉(zhuǎn)化思想方法等，形成了一元二次方程的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)模塊，從而向高層次思維水平發(fā)展，有效促進(jìn)知識(shí)的整體性和相互聯(lián)系的建構(gòu).

4 有效數(shù)學(xué)活動(dòng)的理論意義探究

4.1 有效活動(dòng)引領(lǐng)學(xué)習(xí)方式的變革

有效數(shù)學(xué)活動(dòng)利用各種學(xué)具進(jìn)行實(shí)際操作，聯(lián)系原有知識(shí)和生活實(shí)際，學(xué)生在親自獲取的豐富的感性認(rèn)識(shí)和直接經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，學(xué)生的思維會(huì)向高層次發(fā)展，可以提升學(xué)生的動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦能力，解放學(xué)生的時(shí)間和思維空間，幫助學(xué)生自主探究、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、大膽發(fā)問(wèn)，促進(jìn)學(xué)生由機(jī)械的接受學(xué)習(xí)向意義學(xué)習(xí)發(fā)展.學(xué)生在有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，嘗試使用有效方法對(duì)得到的信息進(jìn)行過(guò)濾、分析、處理，對(duì)知識(shí)建構(gòu)過(guò)程形成一定的認(rèn)識(shí)，例如:在“空間幾何體的三視圖”的教學(xué)時(shí)，讓學(xué)生準(zhǔn)備若干小正方體木塊，動(dòng)手移擺，在每一種堆放方式下，從各個(gè)方向去觀察思考辨析，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的活動(dòng)化，“這種過(guò)程不僅僅是用于討論主題，更重要的是能夠讓學(xué)生體驗(yàn)隱藏在建立定義、使用證明、假設(shè)問(wèn)題、改善論證等后面的方法”.［6］

4.2 把“教”建立在學(xué)生的“學(xué)”的基礎(chǔ)上

數(shù)學(xué)活動(dòng)允許每個(gè)學(xué)生以自己喜歡的方式去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，學(xué)生經(jīng)過(guò)主動(dòng)探究，小組討論，促進(jìn)高層次數(shù)學(xué)思維，提高思考力度，給學(xué)生思維發(fā)展留有足夠的空間.學(xué)生對(duì)于同一數(shù)學(xué)問(wèn)題可能有不同的思路和策略，在學(xué)生獲取信息后，教師再給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo);每個(gè)學(xué)生根據(jù)自己得到的信息形成自己初步的學(xué)習(xí)體會(huì)或者研究成果，并且可以以實(shí)驗(yàn)報(bào)告、論文、電子網(wǎng)頁(yè)等形式將初步的成果具體體現(xiàn)出來(lái);教師和學(xué)生可以采用多種形式來(lái)研討初步成果，再根據(jù)交流獲得的經(jīng)驗(yàn)，完善自己的學(xué)習(xí)體會(huì)或者研究成果，驗(yàn)證假設(shè)，經(jīng)過(guò)比較分析，研究理論和實(shí)際的差異，驗(yàn)證猜想和理論，理解數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的過(guò)程.

4.3 在數(shù)學(xué)交流中提高

在探索性活動(dòng)和獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，學(xué)生有不懂的地方可以相互討論、爭(zhēng)論，學(xué)生之間充分地交流自己的發(fā)現(xiàn)，“注意觀察、歸納學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中思維活動(dòng)的規(guī)律，研究思維活動(dòng)的發(fā)展過(guò)程，把數(shù)學(xué)知識(shí)地發(fā)生、發(fā)展過(guò)程充分地暴露給學(xué)生，把數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的原始思維過(guò)程盡量展現(xiàn)給學(xué)生”，［7］在自己已經(jīng)建構(gòu)的知識(shí)基礎(chǔ)上，提出自己的見(jiàn)解，學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)交流，加強(qiáng)數(shù)學(xué)體驗(yàn)，闡述自己的觀點(diǎn)和見(jiàn)解，澄清自己的思路，獲得合理的結(jié)果，并用自己的語(yǔ)言表述思維的過(guò)程，增強(qiáng)對(duì)知識(shí)發(fā)展過(guò)程的認(rèn)識(shí)和理解，真正經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過(guò)程，最終，學(xué)生選擇適合自己的方法，建構(gòu)個(gè)人的所學(xué)內(nèi)容的意義和知識(shí)體系、承擔(dān)自己學(xué)習(xí)的責(zé)任.

4.4 在反思中創(chuàng)新發(fā)展

“在學(xué)習(xí)和思考過(guò)程中，學(xué)生的注意力需要在高層次的策略性知識(shí)和低層次的描述性知識(shí)及程序性知識(shí)之間不斷轉(zhuǎn)換，不僅要意識(shí)到自己的加工材料，而且要注意到自己的加工過(guò)程和方法，不斷反省自己的策略是否恰當(dāng)，優(yōu)化自己的加工過(guò)程”.［2］對(duì)真實(shí)而復(fù)雜的學(xué)習(xí)環(huán)境中的學(xué)習(xí)活動(dòng)而言，通過(guò)自己模擬檢驗(yàn)，獨(dú)立思考、判斷，在獲取初步探索的結(jié)果上，提出自己獨(dú)特的見(jiàn)解，傾聽(tīng)他人的意見(jiàn)，反思問(wèn)題解決的過(guò)程，開(kāi)發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的元認(rèn)知潛能，促進(jìn)自我監(jiān)控能力的發(fā)展.當(dāng)學(xué)生做完“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”時(shí)，就結(jié)果進(jìn)行探究性質(zhì)疑、經(jīng)驗(yàn)性歸納，在學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生不僅理解新知識(shí)，而且對(duì)新知識(shí)進(jìn)行分析、檢驗(yàn)和批判，不是依賴已有的方法和答案，不是輕易認(rèn)同別人的觀點(diǎn)，而是敢于擺脫習(xí)慣、權(quán)威等定勢(shì)，打破傳統(tǒng)、經(jīng)驗(yàn)的束縛和影響.

4.5 促進(jìn)自主學(xué)習(xí)理念的發(fā)展

在有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，經(jīng)過(guò)高層次的思維活動(dòng)，激活各種儲(chǔ)存中的經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)，嘗試相關(guān)知識(shí)的聯(lián)結(jié)、綜合運(yùn)用，獲得有益的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并提出自己想要解決問(wèn)題的策略，并懂得尊重他人的成果，這也符合義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中所提出的理念:“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”.只有真正考慮到學(xué)生之間的差異，尊重這種差異，才能保證每個(gè)學(xué)生都在原有水平上得到相應(yīng)的發(fā)展.

5 總結(jié)

有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)，更關(guān)注情境、實(shí)用及學(xué)生未來(lái)發(fā)展所必需的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、觀念、方法等(包括默會(huì)知識(shí)與明確知識(shí))，使數(shù)學(xué)問(wèn)題探究、表征交流、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)應(yīng)用成為數(shù)學(xué)教學(xué)的有效策略，可以促進(jìn)學(xué)生在知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、解決問(wèn)題和情感態(tài)度等方面得到發(fā)展.數(shù)學(xué)活動(dòng)讓學(xué)生真正地在合作中體驗(yàn)到成就感，使得數(shù)學(xué)知識(shí)與其他知識(shí)融通起來(lái)，獲得創(chuàng)新和發(fā)展，真正從書(shū)本中、課堂上、考試中走出來(lái)，使得數(shù)學(xué)教學(xué)更加生動(dòng)活潑，使得數(shù)學(xué)走向生活，走向現(xiàn)實(shí)，更加情境化，回到數(shù)學(xué)教學(xué)的本體上來(lái).同時(shí)，讓學(xué)生把學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)當(dāng)作一種樂(lè)趣，讓學(xué)生感受到生活中到處都有數(shù)學(xué)知識(shí)的存在，有效地培養(yǎng)了高層次的數(shù)學(xué)思維能力，獲得適應(yīng)現(xiàn)代生活和未來(lái)發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，學(xué)生知識(shí)的積累、應(yīng)用和創(chuàng)新，歸根到底要靠生活實(shí)踐和社會(huì)實(shí)踐來(lái)實(shí)現(xiàn).

［1］唐瑞芬.數(shù)學(xué)教學(xué)理論選講［M］.上海:華東師范大學(xué)出版社，2001.

［2］張奠宙，宋乃慶.數(shù)學(xué)教育概論［M］.北京:高等教育出版社，2004.

［3］章建躍.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論與學(xué)習(xí)指導(dǎo)［M］.北京:人民教育出版社，2001.

［4］竇金強(qiáng).數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的實(shí)踐與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2003，(9).

［5］侯立偉.信息技術(shù)利于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的開(kāi)展［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006，(1):99.

［6］徐斌艷.數(shù)學(xué)教育展望［M］.上海:華東師范大學(xué)出版社，2001.

［7］李樹(shù)臣，劉琳.新課程改革下數(shù)學(xué)教師應(yīng)具備的新理念［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)，2004，(3):22.