鄭艷萍

(太原師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 山西 太原 030012)

高等師范院校數(shù)值逼近課改初探

鄭艷萍

(太原師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 山西 太原 030012)

數(shù)值逼近是信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的一門專業(yè)課程,是該專業(yè)所有課程的基礎(chǔ)。通過(guò)該課程的學(xué)習(xí),使學(xué)生能夠掌握本專業(yè)的基本概念、方法,熟悉一種實(shí)際的操作平臺(tái),利用計(jì)算機(jī)求解一些簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用中的逼近問(wèn)題。數(shù)值逼近課堂教學(xué),應(yīng)針對(duì)教學(xué)目的和教學(xué)中存在的一些難點(diǎn)進(jìn)行設(shè)計(jì)和提高,如改革課程體系使教材內(nèi)容模塊化,在教學(xué)中引入實(shí)驗(yàn)課程,建立合理的考核方式,等等。

數(shù)值逼近課;課堂教學(xué);模塊化;實(shí)驗(yàn)課

信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)是以信息領(lǐng)域?yàn)楸尘?與信息、管理相結(jié)合的交叉專業(yè),是理科專業(yè),包括信息科學(xué)與計(jì)算科學(xué)兩方面。方向一是以信息科學(xué)為主,計(jì)算科學(xué)為輔;方向二是以數(shù)學(xué)方面為主,信息科學(xué)方面為輔。高等師范院校有其自身特點(diǎn),一般是偏向方向二的培養(yǎng)。

數(shù)值逼近課是信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的一門專業(yè)課程,是該專業(yè)所有課程的基礎(chǔ)。通過(guò)該課程的學(xué)習(xí),使學(xué)生能夠掌握本專業(yè)的基本概念、方法,熟悉一種實(shí)際的操作平臺(tái),利用計(jì)算機(jī)求解一些簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用中的逼近問(wèn)題,同時(shí)為進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他課程打下一定的基礎(chǔ)。但在實(shí)際教學(xué)中,由于教師自身知識(shí)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)等原因,都是重點(diǎn)講解理論知識(shí),重視理論上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,而與之相關(guān)的理論知識(shí)又偏難,導(dǎo)致很多學(xué)生對(duì)這門課望而卻步。很多學(xué)生對(duì)它不感興趣,甚至放棄學(xué)習(xí)。所以有必要對(duì)其教學(xué)方式和教學(xué)手段做一些改變。本文就是針對(duì)在教學(xué)中的上述問(wèn)題所提出的一些初步探索。僅是根據(jù)筆者的教學(xué)實(shí)踐做出的一些探討,力爭(zhēng)在教學(xué)中適當(dāng)?shù)剡x擇教學(xué)軟件,尋求一種有效的教學(xué)模型。數(shù)值逼近的核心是根據(jù)相關(guān)理論尋求各種近似計(jì)算的方法,算法的關(guān)鍵是實(shí)現(xiàn),并分析其誤差。每一種算法都有其提出的問(wèn)題背景和適用的對(duì)象。一些比較簡(jiǎn)單的例子在本科教學(xué)階段都可以通過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)值實(shí)驗(yàn)形象而直觀地予以驗(yàn)證,從而可以通過(guò)實(shí)際例子讓學(xué)生親身體驗(yàn)這些算法的實(shí)際效果。例如在講解Lagrange插值[1]28和 Newton插值[1]30時(shí),這兩種方法提出的背景是一樣的,但是其計(jì)算量是不同的,后者比前者更節(jié)省計(jì)算量,更節(jié)約時(shí)間。我們可以找一個(gè)問(wèn)題通過(guò)軟件編程予以實(shí)驗(yàn)。又如在講解插值方法的時(shí)候,總以為選取的插值節(jié)點(diǎn)越多,所構(gòu)造的插值多項(xiàng)式次數(shù)越高,效果越好,但是 Runge現(xiàn)象[1]63的出現(xiàn)讓我們?nèi)鐗?mèng)初醒。我們可以用Matlab軟件模擬出這種現(xiàn)象,比單純地照本宣科效果好得多。同時(shí)我們也可以利用軟件計(jì)算避免繁重乏味的演算。

為了達(dá)到比較好的教學(xué)效果,筆者進(jìn)行了以下初步探索：

一、改革課程體系,教材內(nèi)容模塊化

原先學(xué)生所選的教材偏向較深的理論部分,涉及到的基礎(chǔ)理論部分如Weierstrass逼近定理、Korovkin定理及正算子等概念,對(duì)大三的一般學(xué)生而言有一定的難度,而教材上賦予其嚴(yán)格的理論證明,更加大了學(xué)生的學(xué)習(xí)難度。在教學(xué)過(guò)程中往往出現(xiàn)的情況是教師講起來(lái)特別費(fèi)勁,學(xué)生聽(tīng)得昏昏欲睡。這不但降低了課堂效率,而且嚴(yán)重背離了開(kāi)設(shè)這門課程的初衷。我們有必要針對(duì)教學(xué)實(shí)際中出現(xiàn)的學(xué)生討厭一味的理論學(xué)習(xí)的問(wèn)題,在制定教學(xué)內(nèi)容課程體系的改革方案時(shí),根據(jù)模塊課程,嘗試“教材內(nèi)容模塊化”。模塊課程最早出現(xiàn)于20世紀(jì) 50年代至 70年代的職業(yè)技術(shù)教育,是按照程序模塊化的構(gòu)想和編制原則而設(shè)計(jì)的課程模式,是以課程的教學(xué)和管理功能分析為基礎(chǔ),將內(nèi)在的邏輯聯(lián)系緊密、學(xué)習(xí)方式要求和教學(xué)目標(biāo)相近的教學(xué)內(nèi)容整合在一起,充分考慮課程編制和課程實(shí)施的要求,將課程內(nèi)容分解為合理的課程模塊。在教學(xué)中,可以根據(jù)教學(xué)目標(biāo),以“問(wèn)題”為標(biāo)準(zhǔn),把內(nèi)容分為若干部分,如插值問(wèn)題、逼近問(wèn)題、數(shù)值積分、方程求根等,針對(duì)每一種問(wèn)題,給出其實(shí)際應(yīng)用背景,提出相應(yīng)的解決方法,從理論上分析其優(yōu)劣,從而在一定程度上培養(yǎng)學(xué)生掌握該門課程的核心——近似,對(duì)其產(chǎn)生的誤差從理論上分析。

在教學(xué)中以教師為主導(dǎo),以學(xué)生為主體,進(jìn)行專題式教學(xué)。將某一模塊分成幾個(gè)獨(dú)立應(yīng)用的專題,著重培養(yǎng)學(xué)生自我分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。各專題的內(nèi)容緊貼實(shí)踐性、應(yīng)用性。

由于在教學(xué)大綱中,這門課程的課時(shí)不多,要保質(zhì)保量地完成教學(xué)任務(wù),對(duì)教師的要求是非常高的。

其一,我們必須意識(shí)到“教材內(nèi)容模塊化”并不意味把課本上的內(nèi)容省略掉,避難就易,而是要求教學(xué)者對(duì)逼近理論非常熟悉,逼近理論功底相當(dāng)深厚,能夠選擇學(xué)生最容易接受的一種講解方法,用比較通俗的語(yǔ)言把各個(gè)模塊理論的核心內(nèi)容傳授給學(xué)生。只有這樣,學(xué)生才能深刻地理解近似方法,有助于設(shè)計(jì)算法,更進(jìn)一步地改進(jìn)原有的算法程序,進(jìn)而編程。也只有掌握一定的理論基礎(chǔ),才可以進(jìn)行誤差分析。

其二,“教材內(nèi)容的模塊化”不應(yīng)僅僅局限于改造原有課本上的內(nèi)容。教師可以根據(jù)內(nèi)容的需要適當(dāng)?shù)匮a(bǔ)充一些知識(shí),脫離課本上的瑣碎知識(shí)點(diǎn),站在較高的角度上給學(xué)生講解。例如：講解最佳均方逼近時(shí),我們可以引用泛函分析中的“Hilbert空間中的任意元素在其閉凸子集上一定存在正交投影”。而正交投影就是所要尋求的最佳逼近元素。例如在講解 Her mite插值時(shí),不再采用類似于 Lagrang-e插值方法的基函數(shù)的構(gòu)造方法,而是補(bǔ)充重節(jié)點(diǎn)的Newton插值方法去解決,把 Hermite插值法歸類到Newton插值法中,會(huì)在一定程度上減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。

“教材內(nèi)容的模塊化”并不是一件容易的事情,而是需要兼顧教學(xué)大綱中課時(shí)與內(nèi)容的要求,合理地建立各個(gè)模塊,真正做到易教易學(xué),合理刪減或增加教學(xué)內(nèi)容。這是一個(gè)比較長(zhǎng)期的過(guò)程,需要在教學(xué)實(shí)踐中長(zhǎng)期摸索,不斷完善。

二、在教學(xué)中引入實(shí)驗(yàn)課程

其一,在數(shù)值逼近教學(xué)中開(kāi)設(shè)實(shí)驗(yàn)課程是有必要的,這是這門課程的特點(diǎn)所決定的。數(shù)值分析這門課具有以下幾個(gè)特點(diǎn)：(1)面向計(jì)算機(jī),要根據(jù)計(jì)算機(jī)特點(diǎn)提供實(shí)際可行的算法;(2)有可靠的理論分析,能任意逼近并達(dá)到精度要求,對(duì)近似算法要保證收斂性和數(shù)值穩(wěn)定性;(3)有好的計(jì)算復(fù)雜性;(4)有數(shù)值實(shí)驗(yàn)。[2]2正是由于其自身具有這些不同于其他理論課程的特點(diǎn),所以應(yīng)該在教學(xué)中安排出一定的時(shí)間去做數(shù)值實(shí)驗(yàn)。

其二,在教學(xué)中引入實(shí)驗(yàn)課程,要選擇合適的數(shù)學(xué)軟件。有人統(tǒng)計(jì)過(guò),近二十年全世界大約有 30種數(shù)學(xué)軟件上市,如有專門繪圖用的 Graphmatic,The Geometer,Sketchpad, Phot3D等;有具有兩種以上教學(xué)功能的數(shù)學(xué)軟件,如 Mathematia,Matlab等。在數(shù)值計(jì)算方面,通用軟件為 Matlab。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的目的是提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí),數(shù)值逼近實(shí)驗(yàn)課的目的是將課本上的理論予以實(shí)現(xiàn),所以不同于傳統(tǒng)的教學(xué)方式,強(qiáng)調(diào)以學(xué)生動(dòng)手為主的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。其關(guān)鍵是將理論與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有機(jī)結(jié)合。但如何讓兩者有機(jī)結(jié)合,這是一個(gè)值得探討的問(wèn)題。鑒于高師院校的學(xué)生重視理論學(xué)習(xí),忽視數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的特點(diǎn),在教學(xué)中做了如下嘗試：(1)簡(jiǎn)單介紹軟件的使用,不能用傳統(tǒng)的大班授課的教學(xué)形式,陷入粉筆講解軟件的誤區(qū)。教學(xué)方式采用集中培訓(xùn),與理論課同時(shí)講解,以例題作為程序,活學(xué)活用。(2)切實(shí)安排三分之一的課時(shí)做數(shù)值試驗(yàn),讓學(xué)生親自動(dòng)手去體驗(yàn),強(qiáng)調(diào)實(shí)踐性。學(xué)生根據(jù)所學(xué)的基本理論與近似算法自己設(shè)計(jì)方案,尋求解決問(wèn)題的途徑,在實(shí)踐中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力,提高學(xué)生的素質(zhì)。總之,在教學(xué)中改變以往教學(xué)中的理論授課、實(shí)驗(yàn)、結(jié)合實(shí)習(xí)的三部曲模式,而是將其融為一體,在專業(yè)教室上課過(guò)程中采用理論與實(shí)踐結(jié)合的方法。以先講后做、邊講邊做、先做后講的方法,增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

最后,在條件允許的情況下建立在線交流平臺(tái)。[3]和學(xué)生約定時(shí)間在虛擬教室通過(guò)文本交流及電子白板與學(xué)生進(jìn)行同步交流,實(shí)時(shí)看到學(xué)生實(shí)驗(yàn)中遇到的問(wèn)題,了解學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的思想,改進(jìn)實(shí)驗(yàn)中不合理的地方,與學(xué)生共同進(jìn)步。另外還可以通過(guò)討論和學(xué)生進(jìn)行異步交流,從而實(shí)現(xiàn)教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生基于網(wǎng)絡(luò)的協(xié)助學(xué)習(xí)。

總之,開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)不但要求教師有雄厚的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論知識(shí),而且要求教師熟悉各種數(shù)學(xué)軟件及計(jì)算機(jī)的基本技能操作。更應(yīng)該改變傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)理念,做到以學(xué)生為主導(dǎo)。在教學(xué)中盡力為學(xué)生提供良好的學(xué)習(xí)條件,開(kāi)放實(shí)驗(yàn)室,教師提出問(wèn)題,介紹解決問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn),然后要求學(xué)生獨(dú)立或研討解決問(wèn)題,教師主要負(fù)責(zé)答疑解惑。

三、建立合理的考核方式

課程教學(xué)改革的成敗在一定程度上依賴于合理的評(píng)價(jià)體系。

首先,要規(guī)范評(píng)價(jià)。教師要從這方面的教學(xué)入手,在教學(xué)中多方面設(shè)置這方面的教學(xué)情境,同時(shí)完善學(xué)生的互評(píng)與自我評(píng)價(jià)機(jī)制。

其次,在教學(xué)中加大應(yīng)用能力的考核比例,采用各種靈活的方式予以考核,可以口試、筆試及上機(jī)實(shí)驗(yàn)相結(jié)合。

最后,我們可以充分應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)。可以在線考核,通過(guò)創(chuàng)建和管理自測(cè)、測(cè)驗(yàn)考試和成績(jī)統(tǒng)計(jì)分析。

總之,建立一個(gè)切實(shí)可行而且科學(xué)的考核方式將極大地提高教學(xué)改革的效果。

以上僅僅是筆者就教學(xué)內(nèi)容的安排、實(shí)驗(yàn)課的開(kāi)設(shè)和考核方式的建立進(jìn)行的一些探索,所有這些都有待于在教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中予以檢驗(yàn),進(jìn)一步完善。

[1] 蔣爾雄,趙風(fēng)光,蘇養(yǎng)峰.數(shù)值逼近[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社,2008.

[2] 李慶揚(yáng),王能超,易大義.數(shù)值分析[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社,2006.

[3] 王晨,徐安農(nóng).信息技術(shù)與數(shù)值分析課程的整合[J].廣西科學(xué)院學(xué)報(bào),2008(2).

【責(zé)任編輯 張進(jìn)峰】

2010-09-01

鄭艷萍 (1978-),女,山西文水人,太原師范學(xué)院數(shù)學(xué)系講師,碩士。

1672-2035(2011)03-0161-02

G642.421

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