周興平

（杭州師范大學(xué) 初等教育學(xué)院，浙江杭州 310018）

基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中舉例的適切性探析

周興平

（杭州師范大學(xué) 初等教育學(xué)院，浙江杭州 310018）

數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，舉例是一個很常見的教學(xué)行為，但并不是每一個舉例都能很好實現(xiàn)教師的教學(xué)目的。這主要取決于教師舉例的適切性程度，而教師所舉例子本身的變化維度、呈現(xiàn)方式以及教學(xué)目標和教學(xué)內(nèi)容是影響案例適切性的三個重要方面。

小學(xué)數(shù)學(xué)；教學(xué)過程；舉例；適切性

數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，通過使用舉例來認識數(shù)學(xué)概念、原理自古就有，在我國的小學(xué)教學(xué)中，舉例早已被認為是廣大教師不學(xué)而能的教學(xué)技巧。但是，有研究發(fā)現(xiàn)，舉例是否恰當對教學(xué)目標及學(xué)生的學(xué)習(xí)有重要影響[1]。這一看似不學(xué)而能的技巧也并不是人們想象的那般簡單，用得好，則有積極的作用，相反，則會阻礙學(xué)生對知識的理解及教學(xué)目標的達成。

一、“教學(xué)舉例”與“案例教學(xué)”的概念辨析

小學(xué)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中通過舉例來解釋和闡述數(shù)學(xué)概念、原理、規(guī)則的行為或過程，筆者稱之為“教學(xué)舉例”，這一概念與近些年一直為人們熱議的“案例教學(xué)”有本質(zhì)上的區(qū)別，“案例教學(xué)”又稱“案例教學(xué)法”，是一種以案例為基礎(chǔ)的教學(xué)法(case-based teaching)，起源于19世紀20年代，由美國哈佛商學(xué)院(Harvard Business School)所倡導(dǎo)，當時是采取一種很獨特的案例型式的教學(xué)，這些案例都是來自于商業(yè)管理的真實情境或事件，透過此種方式，有助于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生主動參與課堂討論，案例本身就是教材。

二者的區(qū)別是明顯的，根本的，前者是教學(xué)過程中的一種教學(xué)技巧、技藝，任何科目或教學(xué)方法中都可能使用到的這一種技巧。后者本質(zhì)上是教育的一種教學(xué)法，獨立于其他的教學(xué)方法。因此，明確區(qū)別二者的不同是必需的，本文只是針對前者——“教學(xué)舉例”。

二、影響“教學(xué)舉例”適切性的三大要素

（一）案例的“變化維度”對舉例適切性的影響

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師舉例應(yīng)當注重案例的差異性、變化性，關(guān)注案例的“變化維度”，按實驗心理學(xué)的術(shù)語而言，（數(shù)學(xué)）每一個概念、原理、規(guī)則都是由若干個變量組成，構(gòu)成的變量相互轉(zhuǎn)換的可能性就是“變化維度”，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師經(jīng)常要面臨如何有效向?qū)W生闡述一個數(shù)學(xué)概念的情況，比如減法、加法概念等等。對于高年級的學(xué)生而言，我們不會認為這有什么難理解，但是對于小學(xué)生，數(shù)學(xué)的抽象性、邏輯性與小學(xué)生思維的具體形象性是一個不得不注意的矛盾，所以，講解數(shù)學(xué)的概念必須盡可能的通俗、具體，因此，教師常常就會告訴學(xué)生：

“減法就是……，如：10-5=5”

“被減數(shù)-減數(shù)=余數(shù)”

然后告訴學(xué)生，等式中，被減數(shù)是10，減數(shù)是5，余數(shù)是5?？傮w看，這一教學(xué)過程，教師所舉的案例并無錯誤，但這看似沒有錯誤的地方，卻隱藏可能出現(xiàn)制約學(xué)生對減法概念認識和理解的問題。第一次學(xué)習(xí)減法時，學(xué)生最容易的就是將概念一一對應(yīng)的識記，在教師所舉的這個例子中，減數(shù)是5，余數(shù)也是5，就會出現(xiàn)部分學(xué)生誤以為減法中減數(shù)與余數(shù)是相同的，這就影響了學(xué)生正確理解減法概念，原因就在于教師所舉的這個案例的特殊性，這種情況并不是沒有可能，美國學(xué)者Naomi（1983）通過教學(xué)實驗研究發(fā)現(xiàn)“在教授基礎(chǔ)數(shù)學(xué)減法時，當被減數(shù)、減數(shù)、余數(shù)三個變量中有兩個被賦予了相同的值時，學(xué)生對概念的理解就會變得很模糊，而三個變量都賦予不同值時，就不會出現(xiàn)這種情形”[2]。Chloe(2001)通過教授低年級小學(xué)生加法過程中，也發(fā)現(xiàn)這種情形，a+b=c三個值有兩個變量相同就會制約學(xué)生對加法的理解。筆者在教學(xué)過程中，也時常會發(fā)現(xiàn)這種情形，不僅是數(shù)學(xué)科目，其他科目也是一樣，比如科學(xué)，教授溶液時，區(qū)分溶液、溶劑、溶質(zhì)概念，教師往往會隨便舉一個例子，常常是鹽水、酒水等等，一般都涉及水，恰好水在這些例子中都是溶劑，學(xué)生不自覺的就形成了溶液中“水=溶劑，溶劑=水”的概念，在遇到以碘酒為溶劑的題目，學(xué)生往往就會出現(xiàn)理解困難，這其實就是教師舉例不當造成的。

（二）案例的“呈現(xiàn)方式”對舉例適切性的影響

講解抽象的數(shù)學(xué)概念，為使概念更易于理解，一個重要的策略就是將概念以具體的形式呈現(xiàn)給學(xué)生[3]。所以，教師舉例時，還應(yīng)注意的一個問題就是如何呈現(xiàn)案例，同樣一個例子，對于學(xué)生，不同的呈現(xiàn)方式會具有不同的效果。

Chloe（2001）在使兒童學(xué)會利用9、11、19和21進行加減法運算后，給實驗學(xué)生呈現(xiàn)了一組兩位數(shù)的加減運算題目：58+21=79，70-11=59；實驗結(jié)果是“實驗學(xué)生沒能有效的解題”，研究分析發(fā)現(xiàn)，學(xué)生計算普遍有一種化數(shù)為整如10、100的趨向，原題目呈現(xiàn)的方式基本上不具備這一特性，當研究者將題目改成：58+20+1=？和70-10-1=？后，實驗學(xué)生解題效果遠遠高于之前的呈現(xiàn)的方式[4]。

這一實驗充分說明教師在舉例時必須考慮如何去呈現(xiàn)例子，因為教師所采用的方式將會影響學(xué)生對知識的理解?，F(xiàn)實中，許多教師還沒有認識到這一點，假使由于教師舉例呈現(xiàn)的方式不夠恰當而引起學(xué)生的困惑，但教師沒有意識到這一問題，這無疑會阻礙整個教學(xué)過程，甚至?xí)：龑W(xué)生對知識的理解。如小學(xué)階段教授分數(shù)時，約分是相對比較難講解的內(nèi)容，在教師舉約分的案例時，如分數(shù)：2/2與(5×2)/2，通過2/2這一分數(shù)講解分數(shù)的約分是比較合適的，而后者(5×2)/2這一分數(shù)，由于這一分數(shù)的呈現(xiàn)方式與(5+2)/2分數(shù)相似，極易使學(xué)生認為后者也同樣可以像前者一樣正常約分。

（三）教學(xué)目標和內(nèi)容對舉例適切性的影響

教師舉例通常是為了達到一定的教學(xué)目的或?qū)崿F(xiàn)教學(xué)意圖，不同的教師、不同的教學(xué)目標條件下會選擇不同的教學(xué)案例，教學(xué)目標和內(nèi)容必然影響案例的選擇與使用。

對于新教師，由于教學(xué)經(jīng)驗的缺乏以及技巧的不熟悉，往往對教學(xué)目標和內(nèi)容沒能很好掌握，所以常常會出現(xiàn)教學(xué)舉例不適切的現(xiàn)象。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中出現(xiàn)由于教學(xué)目標和內(nèi)容不明確而造成舉例不適切的多是新教師，如講授加法運算時，教師舉例“2a+3a=5a”，這一舉例往往就容易引起學(xué)生的不理解和困惑，就不如舉例如“2+3=5”有效明了。原因在于“2a+3a=5a”例子中，包含了學(xué)生并未學(xué)習(xí)的內(nèi)容——“整式的運算”，這已不是加法這一章節(jié)所要達到的教學(xué)目標了。所以，教師在選擇案例時必須對自己的教學(xué)目標和內(nèi)容要有一個清晰的認識，還必須時刻明白自己教育的對象是一些具體形象思維占主要地位的小學(xué)生。

三、影響教師“教學(xué)舉例”的原因分析及建議

（一）教師的知識的培養(yǎng)

Shulman.Lee(1987)研究發(fā)現(xiàn)[5]：教師具備的知識的差異很大程度上影響教師教學(xué)舉例的適切性，研究還認為，教師一般具有七類知識，而其中有三種關(guān)乎“內(nèi)容知識（學(xué)科知識（SMK）、教育學(xué)知識（PCK）、課程內(nèi)容知識）”，這三類知識直接與教學(xué)過程中正確使用案例教學(xué)有聯(lián)系，英國有一項關(guān)于教師這三類內(nèi)容知識的實驗研究[6]，實驗者研究了即將擔(dān)任小學(xué)教學(xué)的教師，發(fā)現(xiàn)其中數(shù)學(xué)學(xué)科知識（SMK）掌握較好的教師，比那些數(shù)學(xué)學(xué)科知識掌握差的教師更能在教學(xué)實踐中表現(xiàn)優(yōu)秀，而且，數(shù)學(xué)學(xué)科知識差的教師容易誤導(dǎo)學(xué)生，很少能抓住將學(xué)生教好的機會。我國師范生培養(yǎng)過程中，教育學(xué)知識以及課程學(xué)知識是比較充實的，但是，有的數(shù)學(xué)學(xué)科知識教育就顯得不足，通過調(diào)查我國師范生培養(yǎng)學(xué)校的培養(yǎng)課程就可以證實這一點，更多的是教育學(xué)生如何去教育，對教授科目的知識往往采取忽視的態(tài)度；筆者認為，提高小學(xué)教師教學(xué)舉例的適切性，應(yīng)該在教師接受教育過程中就應(yīng)當加以培養(yǎng)。

（二）教學(xué)舉例技巧的專門化訓(xùn)練

正如前文以及相關(guān)研究所表明的那樣，利用舉例來教學(xué)在古代就已經(jīng)很流行，然而研究顯示，甚至在歐美教育發(fā)達國家，教學(xué)舉例的研究也不多，筆者認為，學(xué)界應(yīng)當重視教師教學(xué)舉例這一教學(xué)行為的研究，抓住規(guī)律，指導(dǎo)小學(xué)教師正確使用“教學(xué)舉例”這一行為。假使研究形成了系統(tǒng)、體系，我們可以組織學(xué)校教師進行專門的訓(xùn)練。

四、結(jié)語

基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教學(xué)舉例本身是一個很平常的教學(xué)行為，以致很少有人關(guān)注教師的這一教學(xué)行為，然而，歐美的一些教學(xué)實驗研究結(jié)果表明，我們不能忽視教師的這一行為，相反，應(yīng)當加強對其的研究和重視，正是因為這一行為在教學(xué)過程中的平常，所以，它的影響才會廣泛，研究方顯的重要。

[1]Tim Rowland.The purpose,design and use of ex amplesin the teaching of elementary mathematics[J] Educ Stud Math,2008(69):149-163.

[2]Rowland&Thwaites,A.‘Elementary teachers’mathematicssubject knowledge:the knowledge quartet and the case of Naomi'[J]Journal of MathematicsTeacher Education,2005(3),255-281.

[3]Janvier.C.Problemsof representation in the teaching and learning of mathematics[J]Hillsdale.New Jersey: Erlbaum,1987(1):14-21.

[4]Jansen,C.J.M.&Pollman,m.w.On round numbers :pragmatic aspectsof numerical expressions[J]Journal of Quantitative Linguistics,2001(3):187-201.

[5]Shulman,Lee.S..Knowledge and teaching:Foundationsof the new reform.[J]Harvard Education Review,1987(57):1-22.

[6]DFEE.Teaching:High Status,High Standards: Circular4/98.London:HerMajesty’sStationeryOffice

On AppropriatenessofExamplesin theProcessofTeaching BasicMathematics

ZHOU Xing-ping
（Primary Education College,Hangzhou Normal University,Hangzhou,zhejiang 310018）

In math teaching,providing examplesis a widely-used teaching method.However,not every example can illustrate its teaching objectives.It depends on the appropriateness of the example which involves the following three aspects:dimensionsof the example;the way of presentation;teaching objectivesand content.

basic mathematics;teaching process;example;appropriateness

G623.5

A

1674-831X（2011）05-0036-03

2011-5-13

周興平（1986— ），男，江西上饒人，杭州師范大學(xué)初等教育學(xué)院研究生，主要從事小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究。

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