尉軼昊，毛 宏

（上海第二工業(yè)大學經(jīng)濟管理學院，上海 201209）

基于VaR約束的最優(yōu)投資組合選擇

尉軼昊，毛 宏

（上海第二工業(yè)大學經(jīng)濟管理學院，上海 201209）

通過建立期望效用-VaR模型，借助于Matlab和Monte Carlo 模擬技術，深入探討和分析了以VaR作為風險測度標準及約束時，擁有不同風險偏好及初始財富值的投資者在進行投資決策時對最優(yōu)投資組合的理性選擇，以中國A股、公司債券和國債這三大證券在2004 ～ 2006年及2009 ～ 2010年間5年的歷史數(shù)據(jù)為估計模型的參數(shù)值，并討論了在中國資本市場中運用投資組合理論分散風險、穩(wěn)定收益的可行性。

VaR；資產(chǎn)組合；效用函數(shù)；風險偏好；財富值；MATLAB

0 引言

投資組合，或稱投資組合管理（Portfolio Management）是指投資者把投資的資金有計劃地分配于多種資產(chǎn)類型中（如股票、債券、不動產(chǎn)和實業(yè)投資等），使各類資產(chǎn)的配置達到最佳組合，從而分散風險、穩(wěn)定收益，即尋求風險一定時的最大收益或收益一定時的最小風險。雖然投資組合理論可以應用于所有風險資本的投資活動，但由于證券具有交易公開、數(shù)據(jù)易得等特點，同時又是各種風險資產(chǎn)的代表，因此該理論長期以來都著重應用于對證券組合的分析，因而又被稱為證券組合理論（Securities Portfolio Management），即對投資進行計劃、分析、調整和控制，從而將投資資金分配給若干不同的證券資產(chǎn)，如股票、債券及證券衍生產(chǎn)品，形成合理的資產(chǎn)組合，以期實現(xiàn)資產(chǎn)收益最大化或風險最小化的經(jīng)濟行為。證券投資組合是一個不確定市場的穩(wěn)定工具，在21世紀的今天，隨著我國資本市場的不斷發(fā)展和深化改革，中國的證券市場也在逐漸向半強乃至強有效的市場靠攏。在這樣的轉變過程之中，逐漸嘗試以組合理論作為投資決策的依據(jù)無疑是據(jù)有前瞻性和深遠意義的。

1 模型及理論概述

1.1 現(xiàn)代投資組合理論概述[1]

有關投資組合的理論始于20世紀30年代。Hicks在其《關于簡化貨幣理論的建議》一文指出：“要計算從事多項投資的總風險，不能簡單地將各獨立投資所承擔的風險相加，由于大數(shù)定律的存在，分散投資的總風險小于將全部資金投資于同一資產(chǎn)的風險，當風散化程度很高時，理論上總風險將降為最小?！盚icks的論述表明了運用投資組合可以有效地降低風險，但他沒有深入地解釋為何要進行組合投資、如何進行組合投資以及如何判別組合投資的效用等問題，因此不能算作是一個完整的體系。

Markowitz是第一個將不確定因素引入資本理論模型的人。1952年Roy提出的“安全第一（safety first）”模型與馬克維茨理論的框架相似，但由于Markowitz的研究成果先于Roy發(fā)表，因此人們通常認為馬克維茨是現(xiàn)代投資組合理論之父。Markowitz的均值-方差模型將方差作為風險的測度標準，在定量上證明了投資組合可以起到降低風險的作用。

1958年，Tobin將無風險資產(chǎn)引入Markowitz的模型，使得投資組合理論取得了重大的突破。Tobin認為正確的投資策略應該是將資產(chǎn)在無風險資產(chǎn)（現(xiàn)金或國債等）與風險資產(chǎn)（公司債券或股票等）之間進行分配。這是因為投資者投資風險資產(chǎn)雖然將獲得更高的收益，但同時也要承擔更高的風險，而投資于無風險資產(chǎn)則正好相反。由于收益產(chǎn)生的正效用邊際遞減而風險導致的負效用邊際遞增，因此，只有當最后一單位無風險資產(chǎn)所產(chǎn)生的邊際正效用與最后一單位風險資產(chǎn)所產(chǎn)生的邊際負效用之和為零時，投資者的總效用才能被最大化。換言之，理性投資者對投資組合的選擇應遵循的條件是：邊際收益等于邊際風險。由此得出的結論是：在確定投資組合時，首先應當在風險資產(chǎn)和無風險資產(chǎn)之間做出分散投資的決策，其次再根據(jù)Markowitz的理論確定出投資于不同風險資產(chǎn)的比例。此即Tobin的第一分離定理（Separation Theorem）。分離定理的經(jīng)濟學含義在于，持有無風險資產(chǎn)的比例反映了投資者的風險偏好，而最優(yōu)投資組合與投資者的風險偏好是相互獨立的。

雖然Tobin完成了資產(chǎn)選擇的工作，但他并未脫離Markowitz的全方差模型，而在當時的技術條件下，其巨大的計算量成了最主要的限制條件。1963年，William Sharpe又提出了新的見解和模型，即單指數(shù)模型。Sharpe認為證券價格與市場的升降是協(xié)同運動；證券之間的收益相關性主要是由于各種證券對市場共同反應造成的；證券收益與市場指數(shù)的收益之間存在線性函數(shù)關系。按照這一模型求解最優(yōu)投資組合時，每種證券只需估計期望值、方差、與市場指數(shù)的協(xié)方差三個參數(shù)，使得Markowitz和Tobin模型的復雜度大大降低，理論的應用成本達到了可運用到實際投資活動中的水平。

1966年，King首先運用單指數(shù)模型對1927～1960年紐約證券交易所不同行業(yè)的63種股票的風險性質進行了實證研究。實證得出的結論是：股票價格的確隨市場的波動而協(xié)同變化，但變化的程度卻因行業(yè)的不同而有所不同，即行業(yè)因素也有助于股票價格變動的預測。在此基礎上，Marshall Blume等人提出了多因素模型。多因素模型除了市場因素外，也將其它非市場因素（如通貨膨脹率、失業(yè)率、行業(yè)等因素）的變動納入到對投資組合的考量中。至于單指數(shù)模型和多因素模型之間的優(yōu)劣比較，至今尚無定論。

現(xiàn)代投資組合理論不斷向實用化發(fā)展的同時，理論本身也在不斷地發(fā)展和完善。Markowitz的理論著重對風險資產(chǎn)投資的研究，指出投資者應當沿著有效前沿進行最優(yōu)投資組合的選擇。但如果允許將無風險資產(chǎn)和風險資產(chǎn)進行組合，那么有效前沿將發(fā)生怎樣的變化？若投資者的投資行為與該理論一致，當資本市場達到均衡時資產(chǎn)收益將如何確定？風險的測度標準是什么以及期望收益與風險之間的函數(shù)關系怎樣？這都需要做進一步的探討。

William Sharpe，John Lintner和Jan Mossin從實證研究的角度出發(fā)，進一步探討了這些問題，共同提出了資本資產(chǎn)定價模型（CAPM）。但由于該模型中的一些假設與現(xiàn)實中的情況存在很大差距，放松某些假設條件的非標準資本資產(chǎn)定價模型由此誕生，包括風險資產(chǎn)可容許有效投資組合模型、存在無風險資產(chǎn)的可容許有效投資組合的模型、上下模糊可能性投資組合模型、具有風險價值約束的投資組合模型等。本文研究的內容就是一種以VaR作為風險價值約束的投資組合模型。

1.2 VaR模型概述

VaR英文為Value-at-risk，通常稱為風險價值，其含義為“處于風險中的價值”。它是指在市場正常波動下，某一金融資產(chǎn)或證券組合的最大可能損失。更為精確地講，就是在一定的持有期內和給定置信度下，某一金融資產(chǎn)或證券組合可能遭受的最大損失，用數(shù)學表達式可表達為[2]：

其中：β為置信度；(,)Lwr為證券組合在持有期內的損失；VaRβ為金融資產(chǎn)或證券組合在置信度β下處于風險中的價值。

在實際應用中，考慮一個證券組合，假定0w為初始投資額；w為期望值；*w為金融資產(chǎn)或證券組合的最低價值；r為其在持有期內的收益率；μ是r的均值；σ為r的的波動率；*r是r在給定置信度下的最低收益率?？梢詫aR定義為相對于期望值的損失，即

其中：0w為組合的初始投資額；wσ為組合收益的標準差（波動率）；t?為持有期；Zβ為根據(jù)新巴賽爾協(xié)議的規(guī)定，當給定置信度為99 %時的標準正態(tài)分布Z值。

1.3 均值-方差模型、均值-VaR模型與效用-VaR模型的比較

Markowitz均值-方差模型試圖確定在投資者效用最大化情況下資產(chǎn)組合的構成。效用最大化的標準是在風險一定的情況下實現(xiàn)收益的最大化，在收益一定的情況下實現(xiàn)風險的最小化，如圖1所示：

圖1 均值-方差模型中組合的有效前沿Fig.1 The efficient frontier of mean-variance model

縱軸表示期望收益W，橫軸表示風險的測度標準——標準差σ，AB稱為投資的有效性前沿，這是因為在該曲線上滿足同風險下收益最大和同收益下風險最小這一標準[3]。

Markowitz投資組合理論的問世被稱為第一次“華爾街革命”。盡管這一理論系統(tǒng)地構造了一套投資組合的選擇方法，并為實際投資家廣泛使用，但是它在理論上仍然存在不少缺陷。相比于均值-VaR模型，后者計算的是在某個置信度下投資人可能的最大損失，而方差僅僅反映了收益的波動大小[4]。

在均值-VaR模型中，不同置信度下可以畫出不同的有效前沿，如圖2所示：

圖2 均值-VaR模型中組合的有效前沿Fig.2 The efficient frontier of mean -VaR model

置信度越高，有效前沿圖像越往右移，在相同期望收益水平之下得到最優(yōu)配置所對應的風險（即此時可能遭受的最大損失）也就越大；相反，置信度越低，有效前沿圖像越往左移，在相同期望收益水平之下得到的最優(yōu)點的風險也就越小[5-6]。本文根據(jù)新巴塞爾協(xié)議的規(guī)定，將選擇99 % 作為置信度加以論述。

均值-VaR模型考慮的是，在可能遭受最大損失一定的情況下使期望收益最大化的投資組合方式：在滿足風險要求的條件下，其用以衡量投資成果的指標局限于收益率。而本文采用的期望效用-VaR模型，在均值-VaR模型的基礎上更進一步，運用效用函數(shù)假定投資者的財富為一隨機過程，并引入風險厭惡系數(shù)作為對投資者風險態(tài)度的度量：既考慮了組合的收益情況，又考慮了具有不同風險偏好的投資者在VaR約束下的最優(yōu)投資組合情況，最后還分析了初始投資取不同值時對最優(yōu)投資組合的影響。

1.4 效用理論概述

所謂效用（utility）是指金錢、物品、勞務等給人提供的滿意度，常被用于衡量人們對某些事物的主觀態(tài)度、偏好、傾向等。在投資組合的決策過程中，通過效用指標可以將某些難以量化、有質地差別的事物加以量化，通常而言，就是以效用來衡量對待風險的態(tài)度，并以效用函數(shù)表示，其基本形式為U=U(w)，其中w表示某項決策可能的結果值。依據(jù)決策者的主觀愿望和價值取向的不同，結果值對決策者的價值和作用也不同，而反應結果值對決策者價值大小的值稱為效用以U表示。

由于效用函數(shù)視決策者對風險態(tài)度的不同而不同，因而效用函數(shù)也有不同的類型，如下圖所示：

圖3 效用函數(shù)的類型Fig.3 Type of utility functions

其中曲線B為風險中性者的效用函數(shù)，即決策者的效用與投資收益呈線性關系。決策者對決策風險持中立態(tài)度，屬中間型決策者，決策只需根據(jù)期望值作為選擇的標準而不需要利用效用函數(shù)。曲線A為風險厭惡型效用函數(shù)，U''(w)<0呈凹性。表示效用隨著期望值的增大而遞增，但邊際效用遞減。決策者對利益的反應比較遲緩，對損失的反應則比較敏感，不求大利，但求規(guī)避風險，這是一種謹慎小心的保守型決策者。曲線中間部分呈上凹形狀，表示決策者厭惡風險：上凹得越厲害，表示厭惡風險的程度越高。曲線C為風險偏好型效用函數(shù)，U''(w)>0呈凸性。表示效用隨著期望值的增大而遞增，且邊際效用遞增。決策者想獲得大利而不關心虧損，即決策者對于虧損反應遲緩，對利益卻很敏感，是一種想謀大利、不怕冒險的進取型的決策者。曲線的中間部分呈下凸形狀，表示決策者喜歡冒險，敢于做大膽的嘗試：效用曲線下凸得越厲害，表示冒險性越大[7-8]。

2 目標函數(shù)的建立

2.1 目標函數(shù)的建立

假定投資組合由股票、公司債券和國債組成，三種投資的比例分別為α1, α2, α3, 期望收益率分別為X1, X2, X3, ρij為第i種投資和第j種投資的相關系數(shù)，σi為第i種投資的標準差，i = 1, 2, 3，初始投資額為w0，假定投資組合的收益為一個隨機過程dw(t)=μwdt+σwdB(t )，其中：B(t)為布朗運動；μw為投資組合收益率均值μ=αX+αX+αX；σw為投資組合收益率的標準差

w112233

同時，假定投資者為風險厭惡的，其效用函數(shù)為冪函數(shù)，其表達式為其中γ為風險厭惡系數(shù)，1<γ<+∞, w>0。這里請注意，雖然效用函數(shù)值為負數(shù)，但不影響對最優(yōu)解的判斷，這是因為負的效用值也有最優(yōu)解。

2.2 歷史數(shù)據(jù)的處理

本文以2004年、2005年、2006年、2009年和2010年5年間60個月的所有數(shù)據(jù)為基礎（之所以剔除2007年和2008年的數(shù)據(jù)，是由于在種種原因的影響下，這兩年間的數(shù)據(jù)波動極為劇烈，因此屬于特殊年份的數(shù)據(jù)，不宜作為理論研究的基礎；另外，采用月化的數(shù)據(jù)主要是考慮到方差及協(xié)方差計算的精確性，若采用年度數(shù)據(jù)，則會因數(shù)據(jù)太少而影響精確性）。根據(jù)上證綜指的每日收盤價格、企債指數(shù)和國債指數(shù)的每日收盤價格及企業(yè)債和國債的月均收益率（全部經(jīng)過向前復權處理）分別計算其平均收益率，計算結果如下：

其中∑為協(xié)方差矩陣，行從左至右及列從上至下分別代表股票、公司債券和國債（數(shù)據(jù)來源為鳳凰財經(jīng)網(wǎng)）。

3 改變風險偏好和初始投資額時的最優(yōu)投資組合選擇

3.1 改變風險厭惡系數(shù)對投資組合的影響

在本節(jié)的內容中，首先分析風險厭惡系數(shù)改變對于最優(yōu)投資組合的影響。為分析問題簡單起見，我們假定初始投資額01w=。

由表1至表3可以看出，總體而言，VaR的約束值C越大，最優(yōu)投資的組合方式越激進，反之，約束值越小，組合方式越保守。而在相同的VaR約束下，具有相對較高風險偏好的投資者，其風險厭惡系數(shù)較小，因此，其組合方式為更多地配置風險資產(chǎn)；相對而言，具有更低風險偏好的投資者，其風險厭惡系數(shù)則較高，因此將選擇更為保守的策略，其組合方式為更多地配置低風險資產(chǎn)。

表1 冪效用函數(shù)下C = 0.2時改變風險厭惡系數(shù)對投資組合的影響Tab.1 Impact of portfolio when changing risk aversion coefficient with C = 0.2 under power utility function

表2 冪效用函數(shù)下C = 0.3時改變風險厭惡系數(shù)對投資組合的影響Tab.2 Impact of portfolio when changing risk aversion coefficient with C = 0.3 under power utility function

表3 冪效用函數(shù)下無VaR約束時改變風險厭惡系數(shù)對投資組合的影響Tab.3 Impact of portfolio when changing risk aversion coefficient under power utility function without constraint of VaR

由表1，在C = 0.2（即VaR＜ 0.2）的約束下，風險偏好較高的投資者（γ= 2），其最優(yōu)投資的組合方式為將65 % 的資產(chǎn)配置為股票，25 % 的資產(chǎn)配置為公司債券，僅將10 % 的資產(chǎn)配置為國債，這種組合方式將為其帶來更高的收益，但同時其承擔的風險也更大；相對而言，對于風險偏好較小的投資者（γ= 6），其最優(yōu)組合的方式更為保守，配置于股票的資產(chǎn)僅為40 % ，而配置于債券的資產(chǎn)達到60 % 之多。當一個投資者的風險厭惡系數(shù)達到10時，該投資者即表現(xiàn)出極度的風險厭惡特征，此時在他的組合中將不再有股票投資，其最優(yōu)組合的配置方式為45 % 公司債和55 % 國債。

當進一步放寬VaR的約束，將C值定為0.3時，如表2所示，激進型的投資者將進一步提高風險資產(chǎn)——股票在整個投資組合中的配置，比例將占到75 % 之多，債券投資的比重僅為25 % 。而具有較小風險偏好的投資者（γ= 6的投資者），其組合的方式并未發(fā)生改變（理論上較C = 0.2時應更為激進，但由于數(shù)據(jù)的限制，實證結果較前者并未發(fā)生改變）；風險厭惡系數(shù)最高（γ=10）的投資者，在不進行股票投資的同時，又將部分低風險資產(chǎn)——公司債券的配置轉移到了無風險資產(chǎn)——國債的配置上，顯然更為保守。

最后，當不存在VaR約束的限制條件時，基于不同等級的風險厭惡系數(shù)，不同投資者的收益都將被最大化，但相對應的，其所承擔的風險也最大，分析結果見表3。

3.1 同時改變初始投資額和風險厭惡對投資組合的影響

以上我們分析了風險厭惡系數(shù)改變對投資策略的影響，而由于初始投資對最優(yōu)投資組合也會產(chǎn)生影響，下面我們就著重分析初始投資和風險厭惡系數(shù)同時改變時對投資組合的影響。

由表4至表8可見，從我們分析的結果來看，初始投資額的增大并不能保證其投資策略向更激進的方向發(fā)展。相反，當初始投資額大于1時，投資組合將隨著投資額的增加而更偏保守。

表4 初始投資額0w為0.3時改變風險厭惡系數(shù)對投資組合的影響Tab.4 Impact of portfolio when changing risk aversion coefficient with0w= 0.3

表5 初始投資額0w為0.5時改變風險厭惡系數(shù)對投資組合的影響Tab.5 Impact of portfolio when changing risk aversion coefficient with0w = 0.5

表6 初始投資額0w為0.8時改變風險厭惡系數(shù)對投資組合的影響Tab.6 Impact of portfolio when changing risk aversion coefficient with0w= 0.8

表7 初始投資額0w為1時改變風險厭惡系數(shù)對投資組合的影響Tab.7 Impact of portfolio when changing risk aversion coefficient with0w = 1

表8 初始投資額0w為10時改變風險厭惡系數(shù)對投資組合的影響Tab.8 Impact of portfolio when changing risk aversion coefficient with0w= 10

如：當風險厭惡系數(shù)γ= 6時，初始投資額0w= 1的投資者將40 % 的資產(chǎn)配置于股票投資，將60 % 的資產(chǎn)用于購買公司債券；當初始投資額由1上升為10, 50和100時，投資者則進一步降低了股票的投資，將5 %的配置由股票投資轉移到了國債的投資上。

當風險厭惡系數(shù)γ= 11時，初始投資額0w= 1的投資者將全部資產(chǎn)用于債券投資，其中35 % 用于公司債券投資，65 % 用于國債投資；當初始投資額上升為10和50時，策略則更為保守，投資者將無風險資產(chǎn)——國債的比重調高至70 % ，將低風險資產(chǎn)——公司債券的比重在原有的基礎上調低了5 % 。

當初始投資額0w小于1時，由表4至6可見，投資組合隨財富值增大而發(fā)生的變化是不穩(wěn)定的。

當γ= 2時，初始投資額0w= 0.3的投資者將55 % 的資產(chǎn)配置于股票投資，將45 % 的資產(chǎn)配置于公司債券，將5 % 的資產(chǎn)配置于國債；當初始投資額由0.3上升為0.5時，投資者變得更加激進，組合中取消了對無風險資產(chǎn)——國債的投資，將低風險資產(chǎn)——公司債券的配置上調至45 % ；當初始投資額進一步上升至0.8時，投資者又將公司債券中5 % 的配置轉移到高風險資產(chǎn)-股票的配置中，投資策略更加激進。

當γ= 8時，在初始投資額0w= 0.3的情況下，投資者將95 % 的資產(chǎn)配置于公司債券的投資，將5 %的資產(chǎn)配置于國債；當0w上升為0.5時，投資策略變得更為激進，5 % 的國債投資配置將被轉移到公司債券投資上；但當0w進一步上升為0.8時，投資者又變得保守起來，將公司債券投資的比重下調至95 % ，將國債投資的比重上調回5 % 。

當γ= 8時，也遇到了同樣的情況，初始投資額為0.3的投資者將70 % 的資產(chǎn)配置于公司債券，其余資產(chǎn)投資于國債；當0w上升為0.5時，公司債券投資的比重被上調為75 % ，國債投資的比重相應減少；而當w0進一步上升為0.8時，配置方式又回到了w0= 0.3的情況。

當γ= 8時，在初始投資額0w= 0.3的情況下，投資者將20 % 的資產(chǎn)投資于公司債券，將80 % 的資產(chǎn)配置于國債投資；當初始投資額上升為0.5時，5 % 的資產(chǎn)配置由無風險資產(chǎn)——國債被轉移到了低風險資產(chǎn)——公司債券的配置上，投資策略顯然更為保守；當初始投資額由0.5上調至0.8時，投資者的策略又變得保守起來，有10 % 的資產(chǎn)從公司債券的配置被轉移到國債的配置上。

綜上所述，初始投資改變對最優(yōu)投資組合會產(chǎn)生影響，而且初始投資的相對最大損失值和風險厭惡系數(shù)會同時影響最優(yōu)投資組合。

4 結論

本文提出以投資者期望效用最大化為目標，以VaR不超過給定的常數(shù)為約束的最佳投資組合的確定，并以中國A股、公司債券和國債這三大證券在2004 ～ 2006年及2009 ～ 2010年間5年的歷史數(shù)據(jù)為估計模型的參數(shù)值，借助于Matlab和Monte Carlo 模擬技術分析了各項參數(shù)改變對于最優(yōu)投資組合的影響。分析結果證實了投資者對風險越是厭惡，投資策略就越趨保守；此外，發(fā)現(xiàn)初始投資和投資者對于風險的厭惡程度會同時影響投資者的投資策略。

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Optimal Selection of Investment Portfolio Based on Constraint of VaR

WEI Yi-hao, MAO Hong
(School of Economics and Management, Shanghai Second Polytechnic University, Shanghai 201209, P. R. China)

This paper presents the study on selection of optimal investment strategy which is based on the historical data of Chinese stock and bond markets from 2004 to 2006 and 2009 to 2010. The objective function of maximizing the expected utility with the constraint of Value at Risk (VaR) less than a constant was established. Stochastic simulation with the help of MATLAB was applied to analysis the investment portfolio selection of the investors with different degree of risk aversion. Finally, the feasibility of decreasing investment risk and providing steady income by using portfolio theory in China’s capital market was discussed.

VaR; portfolio; utility function; risk aversion; property; MATLAB

F832.33

A

1001-4543(2011)04-0298-09

2011-06-15;

2011-09-16

尉軼昊（1988－），男，上海人，在讀大學生，主要研究方向為信用管理，電子郵箱 yihaowei@yahoo.com.cn。