陳寶算,蒲繼雄

(華僑大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,福建泉州 362021)

部分相干圓偏振渦旋光束的深聚焦

陳寶算,蒲繼雄

(華僑大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,福建泉州 362021)

基于德拜理論,研究部分相干圓偏振渦旋光束的深聚焦特性,比較左旋和右旋部分相干圓偏振渦旋光束的不同深聚焦特性,并給出相應(yīng)的物理解釋.分析入射光束相干性和聚焦透鏡數(shù)值孔徑大小對(duì)深聚焦特性的影響.研究表明,入射光束的相干度和聚焦透鏡的數(shù)值孔徑大小,都會(huì)影響深聚焦焦平面的光強(qiáng)和相干度.通過控制各相關(guān)參數(shù)的取值,可以在聚焦場(chǎng)中獲得有廣泛實(shí)際應(yīng)用的平頂光束.

深聚焦;德拜理論;渦旋光束;角動(dòng)量;部分相干

經(jīng)過高數(shù)值孔徑聚焦的激光束具有比普通聚焦更小的光斑,在平版印刷術(shù)、光數(shù)據(jù)存儲(chǔ)、粒子束囚禁及數(shù)據(jù)處理等方面都有廣泛的應(yīng)用[1-2].因而,已有不少學(xué)者對(duì)不同光束如圓柱偏振光束、線偏振光束等的深聚焦特性做了大量的研究[1,3-5].近年來,很多學(xué)者對(duì)一種新型的光束——渦旋光束也做了廣泛的研究[6-8].圓偏振渦旋光束同時(shí)帶有自旋角動(dòng)量和軌道角動(dòng)量,經(jīng)過高數(shù)值孔徑透鏡聚焦時(shí),兩種角動(dòng)量之間可以互相轉(zhuǎn)化[9].但是到目前為止,深聚焦的主要研究工作限于完全相干渦旋光束,有關(guān)部分相干圓偏振渦旋光束的深聚焦未見報(bào)道.部分相干光與完全相干光相比,具有許多特殊的性質(zhì)[10],對(duì)部分相干渦旋光束經(jīng)高數(shù)值孔徑透鏡的研究具有重要的意義.本文根據(jù)德拜理論推導(dǎo)出了部分相干圓偏振拉蓋耳-高斯光束通過高數(shù)值孔徑聚焦以后的光場(chǎng)表達(dá)式,研究了部分相干圓偏振渦旋光束的聚焦特性,重點(diǎn)討論入射光束的相干度及透鏡的數(shù)值孔徑大小對(duì)渦旋光束深聚焦特性的影響[11].

1 理論推導(dǎo)

以拉蓋耳-高斯光束為研究的渦旋光束模型,考慮p=0的情況,則在源平面(z=0)上完全相干的拉蓋耳-高斯光束的復(fù)振幅分布為

式(1)中:w0為光斑大小,m為拓?fù)浜蓴?shù).一般透鏡符合正弦近似條件[11],即r=fsinθ,故經(jīng)過高數(shù)值孔徑聚焦后,該渦旋光束的孔徑函數(shù)可以表示為

考慮到部分相干,拉蓋耳-高斯光束孔徑處的交叉譜密度表達(dá)式為[12]

式(3)中:LC為相干長(zhǎng)度.

高數(shù)值孔徑聚焦的光學(xué)系統(tǒng),如圖1所示.根據(jù)德拜理論,圓偏振光束經(jīng)過高數(shù)值孔徑聚焦后,其光場(chǎng)表達(dá)式[11]可以表示為

圖1 深聚焦光學(xué)系統(tǒng)Fig.1 Scheme of tight focusing op tical system

式(4)中:r,φ和z為觀察點(diǎn)的柱坐標(biāo)表示形式;k=2π/λ為波矢; f為高數(shù)值孔徑透鏡的焦距;A(θ)是光場(chǎng)在透鏡光闌表面的孔徑函數(shù)表示式;α為最大數(shù)值孔徑角,α與數(shù)值孔徑NA的關(guān)系可以表示為α=arcsin(NA/n)(n為介質(zhì)的折射率).

從式(1)可以看出,對(duì)于圓偏振渦旋光束,不考慮其帶有的渦旋相位因子exp(imφ),光場(chǎng)的z分量表達(dá)式還帶有一個(gè)exp(±iφ)因子.也就是說,該圓偏振激光束每個(gè)光子本身帶有一個(gè)自旋角動(dòng)量.

利用公式[13]:

經(jīng)過復(fù)雜的積分運(yùn)算,光場(chǎng)的x,y和z分量表達(dá)式可以化簡(jiǎn)為

式(7)～(9)中:光場(chǎng)3個(gè)分量x,y和z的表達(dá)式分別具有兩種不同的表示,這里定義E+,i(r,φ,z)(i=x,y,z)為右旋圓偏振光,E-,i(r,φ,z)(i=x,y,z)為左旋圓偏振光[9].

另外,從式(9)還可以看出,光場(chǎng)z分量的拓?fù)潆姾蓴?shù)從l=m變化到l=m±1,這意味著圓偏振渦旋光束的自旋角動(dòng)量轉(zhuǎn)化成了軌道角動(dòng)量,并且右旋渦旋光束的自旋角動(dòng)量增大了聚焦后的軌道角動(dòng)量(l=m+1),而左旋渦旋光束的自旋角動(dòng)量減小了聚焦后的軌道角動(dòng)量(l=m-1).

根據(jù)文獻(xiàn)[14],觀察平面上部分相干圓偏振渦旋光束的交叉譜密度為

式(10)中:r1,r2和φ1,φ2分別是觀察平面上任意兩位置矢量 r1,r2的模值和輻角.若令r1=r2=r,φ1=φ2=φ,則可由式(11)求得聚焦以后部分相干圓偏振渦旋光束的總光強(qiáng)為

由式(10)同時(shí)可以求得,觀察平面上任一點(diǎn) r,r不同方向上的互相干系數(shù)[14]為

以上給出了部分相干圓偏振渦旋光束經(jīng)過高數(shù)值孔徑聚焦后,其在聚焦場(chǎng)的光強(qiáng)及相干度表達(dá)式.根據(jù)這些表達(dá)式進(jìn)行數(shù)值模擬,可以研究部分相干圓偏振渦旋光束經(jīng)過高數(shù)值孔徑聚焦的聚焦特性.

2 數(shù)值模擬結(jié)果及討論

以下所有計(jì)算中,所選透鏡焦距f為1 cm,激光束光斑半徑w0為2 cm,激光光束波長(zhǎng)λ為632.8 nm和折射率n為1.3,所有位置坐標(biāo)均用λ歸一化,所有光強(qiáng)均對(duì)總光強(qiáng)歸一化.

零階部分相干右旋圓偏振渦旋光束經(jīng)過高數(shù)值孔徑聚焦后,其在焦平面上及焦平面附近的光強(qiáng)分布,如圖2所示.圖2中:m=0,LC=1 cm,NA=1.2.經(jīng)驗(yàn)證,對(duì)于零階情況,右旋和左旋圓偏振對(duì)聚焦光強(qiáng)沒有影響,所以只給出右旋的情況.為了更加直觀地展示聚焦場(chǎng)的光強(qiáng)分布情況,分別給出兩個(gè)不同截面(傳輸平面r-z平面以及焦平面x-y平面)的光強(qiáng)分布灰度圖,以及焦平面上的光強(qiáng)分布曲線圖.

顯然,零階拉蓋耳-高斯光束不帶有軌道角動(dòng)量,而是只帶有自旋角動(dòng)量.所以,圖2中傳輸光強(qiáng)(即r-z平面光強(qiáng)),It(r,φ,z),Ix(r,φ,z)和Iy(r,φ,z)都是高斯型光強(qiáng)分布.但是,從圖2(d),(f)可以看出,Iz(r,φ,z)為空心型光強(qiáng)分布.這意味著聚焦以后,圓偏振渦旋光束z方向分量的自旋角動(dòng)量轉(zhuǎn)化成了軌道角動(dòng)量,從而使得零階拉蓋耳-高斯光束帶有一個(gè)渦旋相位因子,產(chǎn)生空心型的光強(qiáng)分布.

圖2 零階部分相干右旋圓偏振渦旋光束在焦平面附近光強(qiáng)分布Fig.2 Intensity distribution for the right-circular polarized partially coherent zero-order vo rtex beam near the focal plane

一階(m=1)右旋和左旋圓偏振拉蓋耳-高斯光束聚焦后,其在焦平面上及焦平面附近的光強(qiáng)分布情況,如圖3,4所示.圖3,4中:m=1,其他參數(shù)與圖2相同.比較圖2,3可以看出,一階拉蓋耳-高斯光束聚焦后,It(r,φ,z),Ix(r,φ,z),Iy(r,φ,z),Iz(r,φ,z)及傳輸光強(qiáng)都為空心型光強(qiáng)分布.這主要是一階右旋拉蓋耳-高斯光束帶有一個(gè)渦旋相位因子的緣故.空心型光強(qiáng)分布是渦旋光束的一個(gè)顯著特征.

從圖3(f)可以看出,Iz(r,φ,z)的空心現(xiàn)象比Ix(r,φ,z)和Iy(r,φ,z)明顯得多.分析其原因,主要是由于由右旋圓偏振渦旋光束的自旋角動(dòng)量轉(zhuǎn)化而來的軌道角動(dòng)量,與該一階渦旋光束本身所帶有的軌道角動(dòng)量同向.即軌道角動(dòng)量由l=m=1變化到l=m+1=2,增大了光束的軌道角動(dòng)量,從而增大了z方向分量光強(qiáng)分布的空心現(xiàn)象.

圖3 一階部分相干右旋圓偏振渦旋光束在焦平面附近光強(qiáng)分布Fig.3 Intensity distribution for the first-order right-circular polarized partially coherent vortex beam near the focus

圖4 一階部分相干左旋圓偏振渦旋光束在焦平面附近光強(qiáng)分布Fig.4 Intensity distribution for the first-o rder left-circular polarized partially coherent vortex beam near the focus

從圖4可以看出,傳輸光強(qiáng)、總光強(qiáng)及z分量光強(qiáng)都不再為空心型光強(qiáng)分布,尤其是z分量中心光強(qiáng)分布類似于高斯型光強(qiáng)分布.這主要是因?yàn)閷?duì)左旋圓偏振渦旋光束,自旋角動(dòng)量轉(zhuǎn)化而來的軌道角動(dòng)量與光束本身所帶有的軌道角動(dòng)量反向.即軌道角動(dòng)量由l=m=1變化到l=m-1=0,從而使得左旋圓偏振渦旋光束不再帶有軌道角動(dòng)量.所以,其光強(qiáng)分布不會(huì)為空心型光強(qiáng)分布.

部分相干圓偏振渦旋光束經(jīng)高數(shù)值孔徑透鏡聚焦后,聚焦光強(qiáng)受入射光束相干度和透鏡數(shù)值孔徑大小的影響,如圖5,6所示.圖5,6中:φ=π/4,z=0(焦平面上),m=1.從圖5,6可看出,隨著入射光束相干長(zhǎng)度及透鏡數(shù)值孔徑的增大,無論是左旋還是右旋圓偏振渦旋光束聚焦以后,光強(qiáng)都隨之增大.不同的是,左旋圓偏振渦旋光束的中心光強(qiáng)不為零,且通過調(diào)整一定的參數(shù)值(LC=1 cm,NA=1.25),可以得到具有廣泛應(yīng)用的平頂光束,如圖6(b)[15].從光強(qiáng)分布情況來看,其空心現(xiàn)象隨著入射光束相干度的增大而增大,但隨著透鏡數(shù)值孔徑的增大而減小.

右旋和左旋圓偏振渦旋光束在焦平面上的相干度分布情況,以及傳輸過程中相干度的變化情況,如圖7,8所示.圖7,8中:m=1,LC=0.6 cm,NA=1.2.由于傳輸過程中軸上點(diǎn)光強(qiáng)始終為零,不便于傳輸過程相干度的比較,故取圖8(a),(b)中r=1λ,φ=π/4點(diǎn)進(jìn)行數(shù)值模擬.由圖7可得,在焦平面上離軸較近的地方(r較小時(shí)),3個(gè)方向相干度都維持在1附近;隨著r的逐漸增大,3個(gè)方向相干度都出現(xiàn)振蕩.表明在焦平面上光軸附近處的點(diǎn),其任意兩個(gè)方向基本為完全相干;當(dāng)所研究的點(diǎn)逐漸遠(yuǎn)離光軸時(shí),其任意兩個(gè)方向的相干度逐漸變?yōu)椴糠窒喔?從而使得圖7(a),(b)中的相干度曲線出現(xiàn)振蕩.

圖5 不同入射光束相干度對(duì)焦平面上光強(qiáng)的影響Fig.5 Influence of different source coherent length on the intensity distribution on the focal plane

圖6 不同透鏡數(shù)值孔徑對(duì)焦平面上光強(qiáng)的影響Fig.6 Influence of different numerical-aperture on the intensity distribution on the focal plane

圖7 部分相干圓偏振渦旋光束在焦平面上相干度分布情況Fig.7 Coherence distribution of partially coherent and circularly polarized vortex beam on the focal plane

圖8 部分相干圓偏振渦旋光束在焦平面附近相干度分布情況Fig.8 Coherence distribution of partially coherent and circularly polarized vo rtex beam near the focus

從圖8(a),(b)可以發(fā)現(xiàn),沿著光傳輸?shù)姆较?即z方向)上,3個(gè)方向相干度分別在焦平面附近出現(xiàn)最小值.這是因?yàn)樯罹劢箍梢栽诮蛊矫娓浇玫綐O小光斑,光強(qiáng)較強(qiáng).根據(jù)式(12)可知,相干度會(huì)在焦平面附近出現(xiàn)最小值.值得注意的是,對(duì)于右旋圓偏振渦旋光束,|μx,z|在焦平面前(z<0)達(dá)到最小值,而|μy,z|則是在焦平面后(z>0)達(dá)到最小值;但對(duì)左旋圓偏振渦旋光束,情況則相反.

另外,不管是右旋還是左旋圓偏振渦旋光束,|μx,y|都是在焦平面上(z=0)出現(xiàn)最小值,并且|μx,z|和|μy,z|明顯比|μx,y|小.這主要是因?yàn)樯罹劢故沟迷诮蛊矫娓浇a(chǎn)生了一個(gè)較強(qiáng)的縱向分量.

入射光束相干度及透鏡數(shù)值孔徑大小對(duì)部分相干圓偏振渦旋光束深聚焦的相干度特性的影響,如圖9,10所示.圖9的參數(shù)與圖5相同.為方便起見,這里只取相干度|μx,y|進(jìn)行研究.由圖9(a),(b)可得,當(dāng)r比較小時(shí),3種不同入射光束相干度情況的|μx,y|的曲線吻合得較好,大小都保持在1.這意味著在離軸比較近的地方,入射光束相干度的變化對(duì)|μx,y|的影響不是很大,但當(dāng)r逐漸增大時(shí),|μx,y|的值出現(xiàn)振蕩,3條曲線的區(qū)別逐漸體現(xiàn)出來.由此可以看出,當(dāng)入射部分相干光束相干度越大時(shí),經(jīng)過高數(shù)值孔徑聚焦以后,|μx,y|振蕩會(huì)達(dá)到越小的值.從圖10(a),(b)可以看出,當(dāng)入射光束相干度不變時(shí),隨著透鏡數(shù)值孔徑的增大,在徑向方向上,|μx,y|在離軸越遠(yuǎn)的地方開始出現(xiàn)振蕩.此外,圖9(b),圖10(b)的曲線相應(yīng)比圖9(a),圖10(a)平滑,可見部分相干左旋圓偏振渦旋光束深聚焦的相干特性受入射光束相干性和透鏡的數(shù)值孔徑大小的影響,比部分相干右旋圓偏振渦旋光束相應(yīng)來得小.

從圖5,6可看出,當(dāng)入射光束相干性和透鏡的數(shù)值孔徑變化時(shí),對(duì)于右旋圓偏振渦旋光束,在r>0處的光強(qiáng)變化相對(duì)r=0處的光強(qiáng)變化較大;對(duì)于左旋圓偏振渦旋光束,在r>0處的光強(qiáng)變化相對(duì)r=0處的光強(qiáng)變化較小,基本為同步變化.相干度變化又與光強(qiáng)變化緊密相關(guān),從而使得右旋圓偏振渦旋光束深聚焦的相干特性,受入射光束相干性和透鏡的數(shù)值孔徑大小的影響比左旋圓偏振渦旋光束大.

圖9 不同入射光束相干長(zhǎng)度對(duì)焦平面上相干度的影響Fig.9 Influence of different source coherent length on|μx,y|distribution on the focal plane

圖10 不同透鏡數(shù)值孔徑對(duì)焦平面上相干度的影響Fig.10 Influence of different numerical-aperture on|μx,y|distribution on the focal plane

3 結(jié)論

分別推導(dǎo)出了部分相干右旋和左旋圓偏振渦旋光束的光強(qiáng)和相干度表達(dá)式.根據(jù)公式進(jìn)行數(shù)值模擬,研究和比較了部分相干右旋和左旋圓偏振渦旋光束經(jīng)高數(shù)值孔徑聚焦的不同聚焦特性,以及相關(guān)參量變化對(duì)渦旋光束深聚焦特性的影響.研究發(fā)現(xiàn),部分相干左旋圓偏振渦旋光束深聚焦的相干特性受入射光束相干性和透鏡的數(shù)值孔徑大小的影響,比部分相干右旋圓偏振渦旋光束相應(yīng)來得小.

此外,部分相干圓偏振渦旋光束經(jīng)高數(shù)值孔徑透鏡聚焦后,光束本身帶有的自旋角動(dòng)量會(huì)轉(zhuǎn)化成軌道角動(dòng)量.這一研究成果對(duì)于利用渦旋光束的深聚焦進(jìn)行微粒操控等方面應(yīng)用,具有十分重要的意義.

[1]LERMAN GM,LEVY U.Tight focusing of spatially variant vector op tical fields with elliptical symmetry of linear polarization[J].Opt Lett,2007,32(15):2194-2196.

[2]HE H,FRIESEM E J,HECKENBERG N R,et al.Direct observation of transfer of angular momentum to absorptive particles from a laser beam with a phase singularity[J].Phy Rev Let,1995,75(5):826-829.

[3]ZHANG Zhi-ming,PU Ji-xiong,WANG Xi-qing.Focusing of partially coherent Bessel-Gaussian beam s th rough a high numerical-aperture objective[J].Opt Lett,2008,33(1):49-51.

[4]GROSJEAN T,COURJON D.Smallest focal spots[J].Op t Commun,2007,272(2):314-319.

[5]ZHAN Q,JAM ESR L.Focus shaping using cylindrical vecto r beam s[J].Op t Exp ress,2002,10(7):324-331.

[6]ZHAN Q.Propertiesof circularly polarized vortex beam s[J].Op t Lett,2007,31(7):867-869.

[7]B ISSD P,BROWN T G.Primary aberrations in focused radially polarized vo rtex beam s[J].Op t Exp ress,2004,12 (3):384-393.

[8]王濤,蒲繼雄,陳子陽(yáng),等.部分相干光束在湍流大氣中傳輸時(shí)的偏振變化[J].華僑大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008,29 (2):198-202.

[9]ZHAO Y,SCOTT EJ,JEFFRIES GD M,et al.Spin-to-orbital angular momentum conversion in a strongly focused op tical beam[J].Phys Rev Lett,2007,99(7):073901(4).

[10]陳寶算,王濤,陳子陽(yáng),等.高斯-貝塞耳光束在湍流大氣中的傳輸特性[J].華僑大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008,29 (3):347-352.

[11]GU M.Advanced op tical imaging theory[M].New York:Sp ringer-Verlag,1999.

[12]WANGW,FRIBERGA T,WOLF E.Focusing of partially coherent light in systemsof large Fresnel numbers[J]. JOp Soc Am A,1997,14(2):491-496.

[13]GRADYSTEYN I S,RYZH IK IM.Table of integrals,series,and products[M].New Yo rk:Academic Press, 2000.

[14]L INDFORS K,SETALA T,KA IVOLA M,et al.Degree of polarization in tightly focused optical fields[J].J Op t Soc Am(A),2005,22(3):561-568.

[15]D ICKEY F M,HOLSWADE S C.Laser beam shaping:Theory and techniques[M].New Yo rk:Marcel Dekker, 2000.

(責(zé)任編輯:錢筠英文審校:吳逢鐵)

Tight Focusing of Partially Coherent and Circularly Polarized Vortex Beams

CHEN Bao-suan,PU Ji-xiong
(College of Information Science and Engineering,Huaqiao University,Quanzhou 362021,China)

Based on vectorial Debye theory,the tight focusing properties of partially coherent and circularly polarized vo rtex beam s are investigated.The focused characteristics of right-circular and left-circular polarized partially coherent vortex beam s in the focal region are compared by some numerical calculations and some brief physical exp lanations are presented.Further mo re,the influences of the coherence of the incident beam and the numerical-aperture of the focusing objective on tight focusing properties are studied in great detail.It is show n that the intensity distribution and the spectral degree of coherence near the focus are all influenced by the coherence of the incident beam and the numerical-aperture of the focusing objective.By adjusting certain parameters,the flat-topped beam s that havemany significant applications are obtained on the focal plane.

tight focusing;Debye theory;vortex beams;orbital angular momentum;partially coherent

O 436

A

1000-5013(2011)03-0269-07

2009-09-23

蒲繼雄(1962-),男,教授,主要從事光束傳輸與非線性光學(xué)的研究.E-mail:jixiong@hqu.edu.cn.

福建省科技計(jì)劃重點(diǎn)項(xiàng)目(2007H0027);福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(A 0810012)