王長(zhǎng)江，姜漢橋，覃生高，李俊健

(1.中國(guó)石油大學(xué)石油工程學(xué)院，北京102249;2.東北石油大學(xué)石油工程學(xué)院，黑龍江大慶163318)

多孔介質(zhì)中溶質(zhì)彌散傳輸過(guò)程的體積微元建模法

王長(zhǎng)江1，姜漢橋1，覃生高2，李俊健1

(1.中國(guó)石油大學(xué)石油工程學(xué)院，北京102249;2.東北石油大學(xué)石油工程學(xué)院，黑龍江大慶163318)

用體積微元法推導(dǎo)出考慮吸附效應(yīng)的對(duì)流彌散新模型，分析HLL模型和理想對(duì)流彌散模型的簡(jiǎn)化條件，通過(guò)與馬爾科夫方法的推導(dǎo)結(jié)果對(duì)比，確定出體積微元法建模過(guò)程與簡(jiǎn)化條件的隨機(jī)統(tǒng)計(jì)特征。兩種方法中，對(duì)流流量中顆粒的俘獲項(xiàng)對(duì)應(yīng)漂移變量的空間導(dǎo)數(shù)，彌散流量中顆粒的俘獲項(xiàng)對(duì)應(yīng)擴(kuò)散變量的空間導(dǎo)數(shù)。結(jié)果表明:滲濾系數(shù)越大，顆粒濃度越高，彌散率越大，發(fā)生吸附的顆粒概率密度越大;多孔介質(zhì)孔隙度越小，彌散顆粒樣本路徑越小，發(fā)生吸附的顆粒概率密度越大。

體積微元法;對(duì)流彌散方程;馬爾科夫方法;顆粒俘獲

地下水運(yùn)移過(guò)程中，溶質(zhì)顆粒分子擴(kuò)散和機(jī)械彌散綜合作用的結(jié)果使得彌散前沿為非均勻的過(guò)渡區(qū)域，并向前移動(dòng)［1－2］。對(duì)這一過(guò)程進(jìn)行數(shù)學(xué)描述和求解是水力學(xué)和滲流力學(xué)研究中的一項(xiàng)重要內(nèi)容［3－5］。Fick通過(guò)試驗(yàn)方法得出了描述穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散的第一定律，并導(dǎo)出了描述非穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散的第二定律。J.E.Altoé F等［6］針對(duì)Iwasa［7］構(gòu)建的模型沒(méi)有考慮水動(dòng)力彌散的不足，根據(jù)懸浮顆粒的物質(zhì)平衡方程，在顆粒俘獲動(dòng)力學(xué)方程中考慮對(duì)流彌散效應(yīng)，建立了較完整的深層滲濾數(shù)學(xué)模型。葛家理等［8］利用體積微元法分別推導(dǎo)了理想條件下和考慮實(shí)際黏度差及吸附效應(yīng)的對(duì)流彌散微分方程。同時(shí)，溶質(zhì)顆粒的對(duì)流彌散具有統(tǒng)計(jì)行為特征，彌散前沿顆粒的濃度分布是大量粒子隨機(jī)游動(dòng)累積的結(jié)果。J.E.Altoé F［6］建立的深層滲濾模型明確從顆粒俘獲概率的角度考慮儲(chǔ)層損害，葛家理［8］的理想對(duì)流彌散方程濃度分布即為一概率解。王子亭等針對(duì)對(duì)流彌散的Cauchy問(wèn)題的積分形式，建立了相應(yīng)的隨機(jī)微分方程并論述其存在唯一馬爾可夫解的條件。但是，目前尚沒(méi)有多孔介質(zhì)中溶質(zhì)顆粒彌散傳輸?shù)捏w積微元建模方法及其概率統(tǒng)計(jì)意義的報(bào)道。筆者根據(jù)描述馬爾可夫鏈轉(zhuǎn)移概率的查普曼柯?tīng)柲缏宸蚍匠蹋茖?dǎo)考慮吸附效應(yīng)的對(duì)流彌散控制方程，并與體積微元法推導(dǎo)過(guò)程對(duì)比，論證隨機(jī)理論對(duì)描述多孔介質(zhì)傳質(zhì)過(guò)程方法的有效性。

1 對(duì)流彌散方程的體積微元法推導(dǎo)

假設(shè)一單位截面積的體積微元，溶質(zhì)顆粒濃度較低時(shí)，懸浮液密度和孔隙度為常數(shù)，懸浮顆粒和沉積顆粒的平衡方程［6］為

式中，c為單位體積流體內(nèi)懸浮顆粒數(shù);σ為滯留顆粒濃度即單位體積巖石捕集的顆粒數(shù);φ為孔隙度;q為總粒子流量。

顆粒流量q由對(duì)流和彌散兩部分組成，即

其中

式中，D'為視彌散系數(shù)，與流速u(mài)成比例;αD為彌散率。

考慮顆粒的吸附效應(yīng)(圖1)，在流體通過(guò)孔隙體積時(shí)，顆粒沒(méi)有被俘獲，但在垂直于流體流動(dòng)方向上存在一系列顆粒捕集篩。任一粒子被俘獲的概率是λl(l為篩間距，λ為滲濾系數(shù)，指多孔介質(zhì)中俘獲速率與總的粒子流量的比例系數(shù)，顆?？紫冻叽绫仍酱?，λ越大)，通過(guò)的概率是1－λl，且俘獲速率與總粒子流量成比例［10］，一顆粒被孔隙俘獲，不管是對(duì)流還是彌散流將其攜帶到孔隙邊，

圖1 顆粒在孔隙被俘獲Fig.1 Particles captured in pores

對(duì)式(2)求導(dǎo)，假設(shè)在該局部流動(dòng)時(shí)u和D'為常數(shù)，有

將式(2)代入式(3)，則

將式(4)，(5)代入式(1)，認(rèn)為孔隙度為常數(shù)，令v=u/φ，D=αDv，則

忽略顆粒俘獲方程(2)中的彌散項(xiàng)，即只考慮對(duì)流流量中粒子的俘獲效應(yīng)，忽略彌散流量中粒子的俘獲效應(yīng)，則式(6)成為HLL模型［11］，即

如忽略方程(1)中粒子的俘獲效應(yīng)，則式(6)變?yōu)槔硐雽?duì)流彌散模型［8］，即

2 考慮吸附的對(duì)流彌散過(guò)程的隨機(jī)建模

假定由均質(zhì)砂粒制成的圓管模型中開(kāi)始時(shí)充油，從某時(shí)刻t=0開(kāi)始，用含有一定濃度(c0)的化學(xué)劑進(jìn)行驅(qū)替，初始時(shí)刻(t=0)兩種液體的界面位于x=0處，在此界面的左側(cè)驅(qū)替劑濃度c=c0，而在右側(cè)(即巖心中)，驅(qū)替劑的濃度c=0;t＞0某時(shí)刻模型中的濃度分布示意圖如圖2所示。

圖2 彌散流動(dòng)模型中驅(qū)替劑濃度分布Fig.2 Concentration distribution of displacement agent in dispersive flow model

溶質(zhì)由水?dāng)y帶自注入端向出口端運(yùn)移，t=0為初始時(shí)刻，此后任一時(shí)刻t＞0，溶質(zhì)粒子所在的位置是一維隨機(jī)變量(ξt，t≥0)，t在參數(shù)集T∈［0，∞］中變化，對(duì)應(yīng)一隨機(jī)過(guò)程，記為{ξt，t≥0}。若已知ξs=y，由于孔隙通道的隨機(jī)性及溶質(zhì)粒子的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，ξt(t＞s)的分布與s以前過(guò)程的取值無(wú)關(guān)，由馬爾可夫過(guò)程的定義可知，{ξt，t≥0}是馬爾科夫過(guò)程，以F(x，t;y，s)=P(ξt≤x|ξs=y)表示它的轉(zhuǎn)移概率分布函數(shù)。設(shè)f(y，t;x，s)為轉(zhuǎn)移概率密度，則由于溶質(zhì)在多孔介質(zhì)中移動(dòng)存在彌散現(xiàn)象，可以假定對(duì)于任意ε＞0，Δt＞0，f(y，t;x，s)滿(mǎn)足下列3個(gè)條件:

式(9)表示t時(shí)刻自y出發(fā)的溶質(zhì)粒子經(jīng)Δt后運(yùn)移出區(qū)間(y，x)的概率是比Δt更高階的無(wú)窮小，這反映溶質(zhì)粒子在孔隙通道中在很短的時(shí)間內(nèi)不能得到很大的位移，即粒子為連續(xù)性運(yùn)動(dòng);

在條件(9)下，分析式(10)和式(11)中的A(y，t)，B(y，t)的概率和物理意義可知，A(y，t)為在t時(shí)刻自y出發(fā)質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)平均速度，B(y，t)與平均波及面積相聯(lián)系。于是，{ξt，t≥0}是擴(kuò)散過(guò)程，則微分查普曼-柯?tīng)柲缏宸蚍匠毯?jiǎn)化成為?？?普朗克方程，一維條件下的表達(dá)式［11］為

相應(yīng)的過(guò)程在數(shù)學(xué)上稱(chēng)為擴(kuò)散過(guò)程。A(y，t)稱(chēng)為漂移變量，B(y，t)稱(chēng)為擴(kuò)散變量。在多維空間的福克-普朗克方程中，漂移變量相應(yīng)地表述為漂移向量，擴(kuò)散變量相應(yīng)地表述為擴(kuò)散矩陣，因?yàn)榇藭r(shí)y表示空間位置向量;反之，當(dāng)y為一維變量值時(shí)，A(y，t)和B(y，t)都稱(chēng)為一維變量。式(12)則可滿(mǎn)足樣本路徑連續(xù)性的要求，因此福克-普朗克方程描述了一個(gè)具有連續(xù)樣本路徑的過(guò)程x(t)。

下面分析式(12)右邊A(y，t)，B(y，t)及其偏導(dǎo)數(shù)的具體表示形式。在條件(9)下，條件(10)可以寫(xiě)為

A(y，t)為隨機(jī)位移的平均值與時(shí)間差的比值，因此A(y，t)應(yīng)為溶質(zhì)粒子在多孔介質(zhì)中的平均流速，有

在條件(9)下，條件(11)可以寫(xiě)為

德·若斯林·德戎提出［8］彌散系數(shù)為

再由方差定義可得

對(duì)于微小的Δt，?？?普朗克方程的解仍具有完整的陡峭尖峰形狀，因此與p的導(dǎo)數(shù)相比，A(y，t)和B(y，t)的導(dǎo)數(shù)及其時(shí)間效應(yīng)忽略不計(jì)時(shí)，可得到一維理想對(duì)流彌散方程為

將式(14)，(16)代入方程(17)，有

在一些物理過(guò)程中，需要考慮A(y，t)的導(dǎo)數(shù)，忽略B(y，t)的導(dǎo)數(shù)和兩者的時(shí)間效應(yīng)，式(10)兩端對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)得

可知，式(19)表示一部分顆粒由在t時(shí)刻從位置y對(duì)流彌散運(yùn)動(dòng)到位置x的概率密度為f(x，t+Δt;y，t)，速度為(x－y)/Δt。假定這部分顆粒在流體流動(dòng)方向上發(fā)生吸附，且?guī)r心中各位置顆粒發(fā)生吸附的概率密度為常數(shù)λ，平均吸附速度為v，則有

將式(14)，(16)，(20)代入方程(21)，有

在一些物理過(guò)程中，考慮A(y，t)，B(y，t)的導(dǎo)數(shù)而忽略?xún)烧叩臅r(shí)間效應(yīng)時(shí)，式(11)兩端對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)得

式(12)的一階導(dǎo)數(shù)展開(kāi)有

將式(14)，(16)，(20)，(23)代入式(24)，有

因λ，D均為常數(shù)，則式(25)進(jìn)一步展開(kāi)得

將式(14)，(16)，(20)，(23)代入式(26)得

比較方程(6)到方程(7)和(8)的簡(jiǎn)化條件與漂移變量A(y，t)和擴(kuò)散變量B(y，t)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系，用下腳標(biāo)D表示吸附的粒子，有下述關(guān)系:

分析式(28)和(29)可知:①滲濾系數(shù)λ越大，發(fā)生吸附的顆粒概率密度越大，由于λ與顆粒-孔隙尺寸比有關(guān)，顆粒-孔隙尺寸比越大，λ越大，因此較細(xì)的顆粒容易通過(guò)多孔介質(zhì);②彌散系數(shù)D越大，顆粒濃度c越高，發(fā)生吸附的顆粒概率密度越大;③多孔介質(zhì)的孔隙度φ越小，彌散顆粒樣本路徑(xD－y)越小，發(fā)生吸附的顆粒概率密度越大。即致密多孔介質(zhì)孔隙度小，邊界層流體較厚，顆粒發(fā)生吸附的運(yùn)動(dòng)路徑較短，溶質(zhì)顆粒更容易發(fā)生吸附。

3 結(jié)論

(1)同時(shí)考慮對(duì)流流量及彌散流量中粒子的俘獲建立對(duì)流彌散數(shù)學(xué)模型，兩者的作用效果使得顆粒在流動(dòng)方向上的傳遞發(fā)生延滯。

(2)體積微元法與馬爾科夫方法建立的對(duì)流彌散新模型及各簡(jiǎn)化條件下的模型具有完全一致的形式，一維情況下對(duì)流流量中顆粒的俘獲項(xiàng)對(duì)應(yīng)漂移變量的空間導(dǎo)數(shù)，彌散流量中顆粒的俘獲項(xiàng)對(duì)應(yīng)擴(kuò)散變量的空間導(dǎo)數(shù)。

(3)滲濾系數(shù)越大，顆粒濃度越高，彌散率越大，發(fā)生吸附的顆粒概率密度越大;多孔介質(zhì)孔隙度越小，彌散顆粒樣本路徑越小，發(fā)生吸附的顆粒概率密度越大。

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(編輯 李志芬)

Finite volume modeling method for random process of dispersive flow in porous media

WANG Chang－jiang1，JIANG Han－qiao1，QIN Sheng－gao2，LI Jun－jian1
(1.College of Petroleum Engineering in China University of Petroleum，Beijing 102249，China;2.Petroleum Engineering College of Northeast Petroleum University，Daqing 163318，China)

A dispersion model with adsorption was derived by finite volume modeling method.It can be simplified to the HLL model and further to the ideal model under certain conditions，of which the physical meanings were analyzed also.Compared with the process of derivation by Markov method，the finite volume modeling method was developed based on statistical mechanism of random processes for the model construction and simplification conditions.In the two methods，the spatial derivative of the drift variable matches along with the particle adsorption item of the convective flux while the spatial derivative of the dispersive variable matches along with the particle adsorption item of the dispersive flux.The results indicate that the bigger the infiltration coefficient，the higher the particle concentration and the larger the dispersion ratio，then the greater the probability density of the particles to be adsorbed.The shorter the sample route of the dispersive particles，the greater the probability density of the particles to be adsorbed.

finite volume modeling method;convective dispersion equation;Markov method;particle retention

TE 357.46

A

10.3969/j.issn.1673－5005.2011.01.018

2010－03－10

國(guó)家科技重大專(zhuān)項(xiàng)課題(2008ZX05024－02－12);國(guó)家“863”重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展規(guī)劃項(xiàng)目(2007AA090701)

王長(zhǎng)江(1980－)，男(漢族)，安徽安慶人，博士研究生，主要從事油氣藏工程和滲流力學(xué)方面的研究。

1673－5005(2011)01－0093－05