吳勛，徐永春

（1．西安石油大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，西安710065；2．北京天相投資顧問有限公司，北京100140）

金融風(fēng)險(xiǎn)管理M-V方法的資產(chǎn)組合靈敏度分析

吳勛1，徐永春2

（1．西安石油大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，西安710065；2．北京天相投資顧問有限公司，北京100140）

文章基于均值－方差（M-V）風(fēng)險(xiǎn)計(jì)量技術(shù)，分析了資產(chǎn)組合在資產(chǎn)品種減少的敏感性，通過引入?yún)f(xié)方差擾動(dòng)，建立相關(guān)的M-V組合模型。同時(shí)和原模型進(jìn)行比較，分析有效前沿的變化，探究其經(jīng)濟(jì)意義。

M-V；投資組合；有效前沿

0 引言

投資者在構(gòu)建投資組合時(shí)，不同的投資者有著不同的期望，通常理性投資者會選擇在持有期內(nèi)風(fēng)險(xiǎn)最小的投資組合。但是由于收益與風(fēng)險(xiǎn)的隨機(jī)性，投資偏好的時(shí)變性，投資者需要經(jīng)常調(diào)整所選擇資產(chǎn)的類別和數(shù)目，那么就面臨這樣一個(gè)問題：淘汰什么樣的資產(chǎn)，吸收那些資產(chǎn)，才能使投資收益達(dá)到最理想的狀態(tài)，因此研究關(guān)于資產(chǎn)數(shù)量變化情況下M-V資產(chǎn)組合有效前沿特征的靈敏度問題，將有著重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。因此本文就市場不存在無風(fēng)險(xiǎn)收益資產(chǎn)且允許賣空的條件下，研究資產(chǎn)數(shù)減少的情況下M-V投資組合有效前沿的漂移問題，探究其經(jīng)濟(jì)意義。

1 M-V投資組合模型

假設(shè)t0時(shí)刻市場上n種資產(chǎn)，且組成的投資組合為x=為投資組合集

n)}。收益率為ri(i=1,2,…，n)，收益率的協(xié)方差Vn是正定對稱矩陣分別表示投資組合的期望收益率和方差。并假設(shè)：(1）不存在無風(fēng)險(xiǎn)收益資產(chǎn)，且允許賣空；

(2）n種資產(chǎn)具有線性不相關(guān)的收益特征，即任一資產(chǎn)的收益均不能表示為其余n-1個(gè)資產(chǎn)收益的線性組合；

(3）每種資產(chǎn)的期望收益率不完全相等。

t0時(shí)刻最優(yōu)資產(chǎn)組合選擇問題可由下面模型來描述：

這里In表示n個(gè)分量均為1的n維列向量，Rn=(E(r1),E (r2),…，E(n))T是資產(chǎn)收益率的均值向量。由文獻(xiàn)[1]可得最小方差投資權(quán)重為：

式中

在(σ,μ)坐標(biāo)系下該方程表示一條雙曲線，最小方差資產(chǎn)組合為該雙曲線的右支，而有效前沿為其右支的上半部分。全局最小方差資產(chǎn)組合為雙曲線右支的頂點(diǎn)，其期望收益率與風(fēng)險(xiǎn)分別為：

2 M-V投資組合前沿對資產(chǎn)數(shù)量減少的敏感性

假定t時(shí)刻資產(chǎn)種類減少到n-1種，假設(shè)淘汰了第n種資產(chǎn)，剩下的n-1種資產(chǎn)相關(guān)性結(jié)構(gòu)必然會產(chǎn)生影響，現(xiàn)考慮由于減少一種資產(chǎn)后投資組合前沿曲線的變化的特征。

假設(shè)淘汰的第n種資產(chǎn)對協(xié)方差矩陣Vn-1中的元素σij影響程度為εij，εij為擾動(dòng)因子，受到擾動(dòng)后的協(xié)方差Vn-1可表示成正定矩陣，記δT=(σn1,σn2,…，σn,n-1)，于是：

又有分塊矩陣求逆可得：

假設(shè)減少資產(chǎn)后，每種資產(chǎn)的期望收益率不完全相等，由文獻(xiàn)[2]得個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)所組成的新的投資組合集的有效前沿方程為：

并且，由候?yàn)椴ǎ?000）等的結(jié)果，有效前沿曲線方程的系數(shù)有下面的遞推關(guān)系式成立：

下面將f≠0與f=0兩種情形分別討論。這里f描述了所淘汰的資產(chǎn)與余下資產(chǎn)的協(xié)方差向量和協(xié)方差矩陣之間的關(guān)系。

由（3）、（5）和（6）可得

成立時(shí)，方差是嚴(yán)格增加的，即有效前沿將隨著資產(chǎn)數(shù)的減少向右移動(dòng)。

成立時(shí)，漸近線的斜率是嚴(yán)格減少的，即雙曲線張口變小，投資有效前沿向下移動(dòng)，投資范圍變小，從而投資效益將有所損失。

當(dāng)f=0時(shí)，有An=An-1，Bn=Bn-1，△n=△n-1+V22An-1g2。此時(shí)全局最小方差資產(chǎn)組合的收益和方差均不改變。

若g=0，有Cn=Cn-1，△n=△n-1，這時(shí)第n種資產(chǎn)的減少對資產(chǎn)組合的有效前沿不產(chǎn)生影響（這樣的資產(chǎn)稱為相對無效資產(chǎn)，否則稱為有效資產(chǎn)，它是相對某一資產(chǎn)而言的，此處是相對前n-1種資產(chǎn)而言的）。

若g≠0時(shí)，由△n=△n-1+V22An-1g2可得：

條件（7）和（8）是判別有效前沿移動(dòng)方向的依據(jù)，并有下面定理。

定理1 如果f2+g2≠0，則條件（2.3）與（2.4）中至少有一個(gè)成立。

證明：用反證法，令（2.3）與（2.4）均不成立。由f2+g2≠0知f和g中至少一個(gè)不為零，設(shè)f≠0，則由（2.4）不成立得fBn-1-gAn-1=0，Bn-1gAn-1/f由（2.3）不成立得An-1μg+Cn-1f-Bn-1μf-Bn-1g=0，將Bn-1=gAn-1/f代入上式得Cn-1f-An-1f-1g2=0，進(jìn)而有Cn-1= An-1f-2g2，由此可得同△n-1>0矛盾。從這個(gè)定理可知，若則與△n/An≥△n-1/An-1至少有一個(gè)嚴(yán)格不等式，其經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)f和g中至少一個(gè)不為零時(shí)，資產(chǎn)數(shù)量的減少對有效邊緣產(chǎn)生影響，或向右下移動(dòng)，或雙曲線開口變小。

3 靈敏度分析在金融風(fēng)險(xiǎn)管理中的意義

本文基于M-V模型，在考慮協(xié)方差矩陣受到擾動(dòng)情形下，研究了資產(chǎn)組合有效前沿的問題。在市場不存在無風(fēng)險(xiǎn)收益資產(chǎn)且允許賣空的條件下，得出了當(dāng)f2+g2≠0時(shí)，資產(chǎn)數(shù)量的減少對有效邊緣產(chǎn)生實(shí)質(zhì)影響，或向右下移動(dòng)，或雙曲線開口變小的結(jié)論。這些分析有助于投資者更好的調(diào)整其投資資產(chǎn)集合，淘汰一些業(yè)績較差的資產(chǎn)，吸收一些較好的資產(chǎn)（所謂較差的資產(chǎn)就是那些存在與否對有效前沿幾乎不產(chǎn)生影響的資產(chǎn)），達(dá)到規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，取得更多收益的目的。

囿于篇幅，僅考慮了投資組合前沿曲線對資產(chǎn)數(shù)量減少的靈敏度分析，對資產(chǎn)數(shù)量增加的情形將另文闡述。但研究還有一些值得繼續(xù)進(jìn)行的地方，一是考慮資產(chǎn)數(shù)目增加或減少時(shí)有效前沿問題，二是可以在組合中加入無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。

[1]XueHonggang．Portfolio'sSensitivityAnalysiswithoutRiskless Asset[J]．Journal of Engineering Mathematics，2003，(6)．

[2]Jarrow R A，Maksimovic V，Ziemba W T．Finance[M]．Handbook in Operations Research and Management Science，North-Holland Elsevier，1995．

[3]高全勝，李選舉．基于的投資組合對資產(chǎn)變化的敏感性分析[J]．?dāng)?shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，2005，(6)．

[4]徐成賢．金融工程計(jì)算[M]．北京：科學(xué)出版社，2007．

[5]袁先智．金融風(fēng)險(xiǎn)管理的新挑戰(zhàn)及次貸危機(jī)的啟示[J]．管理評論，2009，（3）．

[6]史樹中．金融學(xué)中的數(shù)學(xué)[M]．北京：高等教育出版社，2006．

(責(zé)任編輯/亦民)

0211

A

1002－6487（2011）06－0081-02

全國教育科學(xué)“十一五”規(guī)劃項(xiàng)目（DFA060116）

吳勛（1978-），男，河南南陽人，博士，研究方向：風(fēng)險(xiǎn)控制方法。

徐永春（1978-），男，安徽蚌埠人，博士，研究方向：金融資產(chǎn)投資組合分析。