胡堯，盧大遠(yuǎn)

(貴州大學(xué)數(shù)學(xué)系，貴陽550025)

變環(huán)境條件下型號設(shè)備的可靠性估計

胡堯，盧大遠(yuǎn)

(貴州大學(xué)數(shù)學(xué)系，貴陽550025)

文章討論了變環(huán)境條件下，Weibull壽命分布型號設(shè)備可靠性的估計問題：固定形狀參數(shù)，在壽命特征參數(shù)為環(huán)境指標(biāo)一元多項式情形下給出了可靠性估計方法；利用強(qiáng)大數(shù)律及控制收斂定理證明了估計量的強(qiáng)相合性，并通過大量仿真數(shù)據(jù)模擬說明了方法的可用性。

變環(huán)境；Weibull分布；可靠性估計；強(qiáng)相合性

0 引言

變環(huán)境條件下同型號設(shè)備的可靠性會發(fā)生變化。隨著環(huán)境指標(biāo)的不斷惡化或不斷改善，可靠性形成環(huán)境指標(biāo)的函數(shù)，稱為可靠性曲線[1][2]。估計出該條曲線后，就可以對變環(huán)境情形下的型號設(shè)備可靠性給出合理的預(yù)測。文獻(xiàn)[1]針對Lognoraml類壽命分布，在完全樣本情形下研究了同型號設(shè)備不同環(huán)境下的可靠性估計問題，文獻(xiàn)[2]在完全樣本情形下，對Lognormal與Weibull兩類壽命分布變環(huán)境可靠性估計問題作了進(jìn)一步的研究，得出可靠性與環(huán)境指標(biāo)的單調(diào)遞增關(guān)系。本文擬在文獻(xiàn)[1][2]的基礎(chǔ)上，針對Weibull類型號設(shè)備壽命分布情形，研究壽命特征參數(shù)η與環(huán)境指標(biāo)的關(guān)系，給出Weibull類變環(huán)境完全樣本條件下的可靠性估計問題，并證明相關(guān)研究理論，通過模擬說明估計方法的可用性。

用T表示某型號設(shè)備在正常使用環(huán)境下的壽命時間，稱該型號設(shè)備至少能正常工作t單位時間的概率R(t)=P(T>t)為型號設(shè)備的可靠性?？煽啃怨烙嬍钱a(chǎn)品質(zhì)量評估中的常見問題，如果給定i.i.d.序列T1，T2，…，Tn，定義隨機(jī)事件，用經(jīng)驗分布函數(shù)估計F(t)，從而可用Rn(t)=1-Fn(t)估計型號設(shè)備的可靠性R (T)。由Glivenko-Cantelli定理可知Fn(t)幾乎必然（a.s.almost surely）收斂于F(t)，理論上可以證明Rn(t)也a.s.收斂于R(t)，即Rn(t)是R(t)的強(qiáng)相合估計，故用Rn(t)作為R(t)的估計。當(dāng)n→∞時，由中心極限定理CLT(central limit theorem)可得

其中

同理，可以構(gòu)造出R(t)的置信度為1-0.05的近似置信上、下限分別為

在具體工程問題中，型號設(shè)備的可靠性隨著使用環(huán)境的惡化或改善其環(huán)境指標(biāo)e也隨之變化，環(huán)境指標(biāo)e可以是單一指標(biāo)如溫度、濕度、震動、電流、電壓等，也可以是用級別表示的變環(huán)境指標(biāo)的綜合。用Te表示在變環(huán)境指標(biāo)e下型號設(shè)備的使用壽命，Re(t)表示變環(huán)境指標(biāo)e條件下型號設(shè)備的可靠性。給定總體Te的簡單隨機(jī)樣本

由前所述可用R贊e(t)估計Re(t)，對于每個變環(huán)境指標(biāo)e1

在型號設(shè)備的可靠性研究中，Weibull分布[4]是一種很有用的壽命分布，已普遍運(yùn)用于各類壽命設(shè)備可靠性評估分析中。本文從應(yīng)用的角度出發(fā)，假定變環(huán)境指標(biāo)為e時，型號設(shè)備壽命總體Te服從Weibull分布，則型號設(shè)備的可靠性[5]為

由于Weibull分布的形狀參數(shù)β，僅表明失效模式或失效機(jī)理的類型，與型號設(shè)備的使用環(huán)境關(guān)系不大，變化甚微。在此假定為常數(shù)或恒量(β≥1)，即各類環(huán)境指標(biāo)下其型號設(shè)備失效機(jī)理相同，而壽命特征參數(shù)η與環(huán)境的變化有緊密聯(lián)系，假定其與環(huán)境指標(biāo)e的函數(shù)關(guān)系為η(e)，本文假定關(guān)系為

如果η(e)在[a，b]內(nèi)單調(diào)增加(或減少)，本文證明了可靠性Re(t)在[a，b]內(nèi)單調(diào)增加(或降低)，并稱此時的η(e)為(0，e)內(nèi)的環(huán)境改善(或惡化)模型。

給定不同變環(huán)境指標(biāo)下的樣本

其中e(i)為ei的順序統(tǒng)計量。

下面將給出Re(t)的一致強(qiáng)相合估計和預(yù)測，并利用計算機(jī)隨機(jī)模擬驗證估計量和預(yù)測估計量的實用性。

1 主要結(jié)果及證明

定理1設(shè)Te服從Weibull分布，其可靠性由(3)式定義

（1）若η(e)在[a，b]內(nèi)單調(diào)減少，則η(e)為[a，b]內(nèi)的環(huán)境惡化模型；

（2）若η(e)

在[a，b]內(nèi)單調(diào)增加，則η(e)為[a，b]內(nèi)的環(huán)境改善模型。

證明:對于e∈[a，b]，設(shè)Te服從于Weibull(β，η(e))(β≥ 1)，則對當(dāng)η(e)單調(diào)減少時

故Te隨機(jī)小于Ts，根據(jù)可靠性定義，于是得到Re(t)

在實際問題中，由于形狀參數(shù)β如前所述，隨環(huán)境指標(biāo)e變化緩慢，只有壽命特征η(e)隨e變化，即有關(guān)系η(e)，故本文假定在較短的時間段內(nèi)將β視為微小變化，隨后的模擬計算視為常數(shù)(通常是(β≥1)且不隨環(huán)境指標(biāo)變化)。

給定環(huán)境指標(biāo)(5)式，對于每個固定的i，Te(i)j(j=1，2，…，ni)是來自分布總體Weibull(βi，ηi),其中βi的極大似然ML(maximum likelihood)估計值滿足

ηi-η(ei)的可由（7）式計算得

這樣就可以得到

即

記

則有(10)式可寫成

當(dāng)rank(E)=p+1≤k時,E的前p+1行構(gòu)成Vandermonde行列式。故E是可逆矩陣,即可從(4)式得到

其中ET為E的轉(zhuǎn)置,依據(jù)多元線性回歸模型理論[7]可得回歸系數(shù)b=(b0，b1，…，bp)T的最小二乘估計LSE(least square estimate)

定理2設(shè)rank(E)=p+1≤k有環(huán)境指標(biāo)數(shù)據(jù)e(1)，e(2)，…，e(k)，總體Ti=Te(i)的可靠性Re(i)由(3)式定義，假設(shè)不同的總體Ti是相互獨立的,對于來自總體Ti的樣本Tij（i=1,2,…,k；j=1,2,…,ni），則有

利用(8)式和內(nèi)積不等式可得

表1樣本為500個重復(fù)2000次時的可靠性估計

即結(jié)論(2)成立。下面討論預(yù)測問題。

對于a

定義β的估計量

用

作為可靠性Re(t)的估計。

證明:由定理2得

其中c0是只與a,b,k,p有關(guān)的常數(shù),由強(qiáng)大數(shù)律SLLN (strong laws of large numbers)可證分別是σ2、η、β的強(qiáng)相合估計,用控制收斂定理即有R贊e(t)幾乎必然a.s.收斂于Re(t),又與Ret(a≤e≤b)單調(diào)連續(xù),故在區(qū)間a≤e≤b上一致收斂于Re(t)。

2 模擬計算分析

2.1，2 .3，2.5，2.7，2.8，2.9，3.1，3.2，3.4，3.5，3.6，3.7，3.9，4.1，4.2，4.5

用MATLAB分別產(chǎn)生500個參數(shù)為(η(ei),β)的Weibull隨機(jī)變量，利用(6)、(7)式計算參數(shù)ηi與βi的極大似然估計MLE值,利用(13)式與(15)式計算ai的最小二乘估計LSE值，再利用(14)式計算與β,最后利用(16)式計算出可靠性估計值

通常考慮各種隨機(jī)因素的影響,將上述步驟獨立重復(fù)2000次,用mean(R贊e(t))表示這2000次計算結(jié)果的樣本均值,用表示這2000次計算結(jié)果的樣本方差表示各類環(huán)境指標(biāo)下的真值,結(jié)果比較下表1。

圖1是模擬分析一真值η(e)與重復(fù)2000次的估計值η贊(e)。

案例2 用同樣的方法,取β=2,每次隨機(jī)產(chǎn)生1000個隨機(jī)數(shù)據(jù),獨立重復(fù)2000次計算結(jié)果如表2。

表2 樣本為1000個重復(fù)2000次時的可靠性估計

圖2是模擬分析二真值η(e)與重復(fù)2000次的估計值η贊(e)。

3 結(jié)論

模擬計算結(jié)果顯示,前面所提出的變環(huán)境可靠性計算方法其精度通常能達(dá)到實際Weibull型號設(shè)備的可靠性評估要求。本文提出的變環(huán)境模型基本解決了不同運(yùn)行環(huán)境指標(biāo)下的Weibull類產(chǎn)品的可靠性預(yù)測問題；同時為變環(huán)境情形下變參數(shù)變動統(tǒng)計學(xué)可靠性問題應(yīng)用研究打下了一定的理論基礎(chǔ),為進(jìn)一步研究不完全樣本(刪失、截尾、分組數(shù)據(jù))或無失效壽終數(shù)據(jù)的可靠性估計或評估問題帶來一定的契機(jī)。

[1]何書元,趙宇,房祥忠.估計不同環(huán)境下的設(shè)備可靠性[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理，2007,26(6).

[2]Yao Hu,Mei Yang.Equipment Reliability Estimation of Complete Samples Under Varied Environment[J].ICRMS,2009(7).

[3]陳家鼎,孫山澤,李東風(fēng).數(shù)理統(tǒng)計學(xué)講義[M].北京:高等教育出版社, 1993.

[4]Dr.Robert B.Abernethy.The New Weibull Handbook(4thEdition) [M].Printings,2003，（8）.

[5]陳家鼎.生存分析與可靠性[M].北京:北京大學(xué)出版社,2005.

[6]魏宗舒等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京:高等教育出版社,2003，（6）.

[7]王松桂,陳敏,陳立萍.線性統(tǒng)計模型[M].北京:高等教育出版社, 1999.

（責(zé)任編輯/亦民）

O212

A

1002－6487（2011）06－0032-03

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