王蘭

西安航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西 西安

大傳動(dòng)比減速器動(dòng)力學(xué)建模及分析

王蘭

西安航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西 西安

重視機(jī)械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題，研究機(jī)械系統(tǒng)在實(shí)際工作狀態(tài)下的受力變化、運(yùn)動(dòng)情況及其動(dòng)態(tài)行為，以滿足機(jī)械結(jié)構(gòu)靜、動(dòng)態(tài)特性及低振動(dòng)、低噪聲的要求。因此，有必要對(duì)所設(shè)計(jì)的減速器系統(tǒng)進(jìn)行扭振動(dòng)力學(xué)分析，找到影響動(dòng)態(tài)特性的薄弱環(huán)節(jié)，從而為進(jìn)一步動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)、提高減速器的動(dòng)態(tài)性能提供了理論依據(jù)。

傳動(dòng)比；動(dòng)力學(xué)；數(shù)學(xué)模型；扭轉(zhuǎn)；振動(dòng)

Drive ratio;Dynamics;Mathematical model;torsional;Viberation

機(jī)械臂在探測(cè)器執(zhí)行任務(wù)中起著決定性的作用，機(jī)械臂的各個(gè)關(guān)節(jié)的減速器必須具有較輕的質(zhì)量，以減輕關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)電機(jī)的負(fù)載，而且應(yīng)該具有較大的傳動(dòng)比以提高機(jī)械臂機(jī)械手的控制品質(zhì)。因此，小體積、大傳動(dòng)比、高轉(zhuǎn)矩、高效率減速器的研制開發(fā)已成為減速器產(chǎn)品研究的新課題。本文對(duì)所設(shè)計(jì)的減速器系統(tǒng)進(jìn)行扭振動(dòng)力學(xué)分析，找到影響動(dòng)態(tài)特性的薄弱環(huán)節(jié)，從而為進(jìn)一步動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)、提高減速器的動(dòng)態(tài)性能提供了理論依據(jù)。

1.系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型的建立

減速器結(jié)構(gòu)如圖1所示,為了分析該傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，首先需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)建立動(dòng)力學(xué)模型。根據(jù)各種零件動(dòng)力學(xué)作用的不同，可把組成系統(tǒng)的各元件分成兩類，即慣性元件和彈性元件。

A.將軸上的齒輪和其他質(zhì)量較大而直徑比較小的零件作為只有慣性而無彈性的慣性元件。

B.計(jì)算兩剛性圓盤之間所有軸段的扭轉(zhuǎn)剛度和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，將各軸段的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量迭加到該軸的兩慣性元件上，各軸段的扭轉(zhuǎn)剛度轉(zhuǎn)換成一個(gè)彈性軸段的扭轉(zhuǎn)剛度，其值應(yīng)與兩慣性元件之間實(shí)際軸段的扭轉(zhuǎn)剛度相等。

C.將各軸上的兩剛性圓盤和彈性軸段,轉(zhuǎn)換到同一軸線上，構(gòu)成單一軸線的當(dāng)量圓盤系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型。

圖1 減速器傳動(dòng)系統(tǒng)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

1.1 慣性元件的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

假設(shè)輸入軸上齒輪的角速度為ω1,外齒輪2，3的自轉(zhuǎn)速度為ωz2、公轉(zhuǎn)速度為ωg2,J’

1表示外齒輪1的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，J’2表示外齒輪2，3的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。由于三齒輪表面經(jīng)過滲碳淬火，彈性變形很小(嚙合處的彈性元件可以忽略)，所以相嚙合的3個(gè)齒輪可合并成一個(gè)慣量元件,轉(zhuǎn)換后該等效元件的當(dāng)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1。按動(dòng)能相等原則有

圖2 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分配

設(shè)等效分配到慣性元件1上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J01，分配到慣性元件2上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J02,則有所有軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，均可作同樣的處理，從而求得系統(tǒng)振動(dòng)中各單元的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如表1所示。

1.2 彈性元件扭轉(zhuǎn)剛度的確定

1 )軸的扭轉(zhuǎn)剛度

根據(jù)材料力學(xué)的理論，軸的扭轉(zhuǎn)剛度為

式中G—為材料的剪切彈性模量；

l—為軸的受扭長(zhǎng)度(mm)；

Jp—為軸的極慣性矩(m4)。

利用上述公式，求出各軸段的扭轉(zhuǎn)剛度k1,k2,……,kn，再根據(jù)剛度串聯(lián)公式(8)：

將各軸段的剛度串聯(lián)起來，從而求得整根軸的扭轉(zhuǎn)剛度k。

2 )軸的等效扭轉(zhuǎn)剛度

彈性元件按轉(zhuǎn)換前后勢(shì)能相等的原則進(jìn)行轉(zhuǎn)換,其通用轉(zhuǎn)換公式為

上式為r軸上的彈性元件的扭轉(zhuǎn)剛度kr向s 軸轉(zhuǎn)換后得到的新扭轉(zhuǎn)剛度ks。

假設(shè)該軸的彎曲應(yīng)變能為U1，扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能為U，等效扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能為U，則

式中P——軸上承受的集中力 ；

J——極慣性矩;

E——拉壓彈性模量;

G——剪切彈性模量;

x——軸向長(zhǎng)度變量;

ψ——扭轉(zhuǎn)角;

l——軸段長(zhǎng)度。

即可得到曲柄軸段的等效扭轉(zhuǎn)剛度為：

式中 k—只考慮扭轉(zhuǎn)變形時(shí)軸段的扭轉(zhuǎn)剛度(N.mm/rad)；

R —曲柄軸中心至輸入軸中心的距離，即扭轉(zhuǎn)半徑 (mm)。

1.3 軸類零件扭轉(zhuǎn)阻尼的確定

軸類零件的扭轉(zhuǎn)阻尼主要是材料阻尼，根據(jù)H.H.Lin和C.Lee等的分析，其扭轉(zhuǎn)阻尼可根據(jù)下式進(jìn)行計(jì)算：

式中ks—軸類零件的扭轉(zhuǎn)剛度 (N.m/rad)；

ξs—軸類零件的扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)，根據(jù)D.R.Houser等的實(shí)驗(yàn)研究

J1J2—分別為軸類零件兩端慣性元件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(kg.m2)。

在按照上述公式將各軸的剛度和阻尼轉(zhuǎn)換到輸入軸上后,根據(jù)該減速器各元件的實(shí)際尺寸計(jì)算得到表2和表3的數(shù)值。

表2 各彈性元件的等效剛度(N.mm/rad)

表3 各彈性元件的等效扭轉(zhuǎn)阻尼(N.mm.s/rad )

2.系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)數(shù)學(xué)模型的建立

2.1 扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)中慣性元件的數(shù)學(xué)模型

圖3為慣性元件的力學(xué)模型,Jj為元件轉(zhuǎn)動(dòng)慣量, fj為外加激振力矩,兩端與相鄰元件的連接點(diǎn)分別為 jL和jR,作用于該元件左右兩端的扭矩與扭角分別為

圖3 慣性元件的力學(xué)模型簡(jiǎn)圖

2.2 系統(tǒng)扭振數(shù)學(xué)模型的建立

圖3中所示的諧波傳動(dòng)系統(tǒng)是由十四個(gè)二端元件組成,七個(gè)慣性元件和七個(gè)彈性元件,利用傳遞矩陣的原理,建立系統(tǒng)的扭振數(shù)學(xué)模型。將圖中十四個(gè)元件從左到右依次編號(hào)為，則其各個(gè)二端元件的數(shù)學(xué)模型分別為：

方程(19)為一個(gè)累積矩陣的數(shù)學(xué)模型。用它可以對(duì)扭振系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算、分析和評(píng)價(jià)，也可以進(jìn)行系統(tǒng)的修改和優(yōu)化設(shè)計(jì)。3.扭振動(dòng)力學(xué)分析

利用前面建立起來的減速器系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型對(duì)減速器系統(tǒng)進(jìn)行扭振分析。

本文采用數(shù)值法編制MATLAB程序?qū)ζ溥M(jìn)行迭代求解，流程圖如圖4所示。另外，利用該程序還繪制出了減速器系統(tǒng)的振型曲線，如圖5所示。由振型曲線圖可以看出5～6之間振幅劇增，即此環(huán)節(jié)最弱,主要影響因素是矩陣H3，所以提高此軸段剛度k3即可。通過適當(dāng)增大軸的直徑或減小其長(zhǎng)度可以提高其扭轉(zhuǎn)剛度。本文將軸頸增大2mm后得到新的振型如圖6所示。

圖4 固有頻率求解流程圖

圖6 調(diào)整后的振型曲線

4.小結(jié)

為了保證減速器具有良好的動(dòng)態(tài)性能必須對(duì)減速器進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。根據(jù)集中參數(shù)法將減速器的各個(gè)零件簡(jiǎn)化成相應(yīng)的慣性元件和彈性元件，建立了減速器系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。同時(shí)，根據(jù)能量守恒定理將各慣性元件和彈性元件轉(zhuǎn)換到輸入軸上，進(jìn)一步得到了適于用傳遞矩陣法進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析的等效動(dòng)力學(xué)模型。在建立起慣性元件和彈性元件動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，利用傳遞矩陣法建立了減速器系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型。利用所建立的動(dòng)力學(xué)模型，通過MATLAB編程分析減速器的自由振動(dòng)，得到了該系統(tǒng)的固有頻率和各階振型等動(dòng)態(tài)特性參數(shù)，結(jié)果表明，該裝置具有良好的動(dòng)態(tài)特性，非常適合用于空間機(jī)械臂傳動(dòng)及其他精密機(jī)械傳動(dòng)中。

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Attention to the dynamics of mechanical structure system to study the mechanical system in the state of the actual work force change, movement and their dynamic behavior to meet the mechanical structure of static and dynamic characteristics and low vibration and low noise requirements. Therefore, it is necessary to the design of the gear torsional vibration analysis system, find the weak link of the dynamic characteristics, dynamic structure for the further optimization of design to improve the dynamic performance of gear to provide a theoretical basis.

10.3969/j.issn.1001-8972.2011.19.051