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(海鹽縣教研室 浙江海鹽 314300)

2011年高考平面向量試題簡析

●沈順良

(海鹽縣教研室 浙江海鹽 314300)

課標和考試說明對平面向量提出了5個方面的要求:(1)了解向量的實際背景，理解平面向量的概念、2個向量相等的含義、向量的幾何表示；(2)關于向量的線性運算，要求掌握向量加減法的運算，并理解其幾何意義，掌握向量數(shù)乘運算及其意義，理解2個向量共線的含義；(3)理解平面向量的基本定理及其意義，會用平面向量基本定理解決簡單問題，掌握平面向量的正交分解及其坐標表示，會用坐標表示平面向量的加減法和數(shù)乘運算，理解用坐標表示的平面向量共線條件；(4)理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義，了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系，掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算，能運用數(shù)量積表示2個向量的夾角；(5)關于向量的應用，要求會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題，會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題.

1 命題特點和知識類型

平面向量是每份高考試卷的必考內(nèi)容之一，主要考查平面向量的概念、線性運算、數(shù)量積運算及其幾何意義等，以選擇題和填空題的形式為主，一般以容易題或中檔題的形式出現(xiàn)．

1.1 向量的有關概念

(2011年湖南省數(shù)學高考文科試題)

分析本題考查了向量的模、坐標、相反方向向量等概念.由條件可得

根據(jù)其模的大小關系和方向相反可得

a=-2b=(-4,-2).

1.2 向量的平行與垂直

例2已知a與b為2個不共線的單位向量，k為實數(shù)，若向量a+b與向量ka-b垂直，則k=________.

(2011年全國數(shù)學高考文科試題)

解法1由(a+b)(ka-b)=0，展開得

k-1+(k-1)a·b=0，

即

(k-1)(1+a·b)=0.

由于a與b為2個不共線的單位向量，因此

a·b≠-1，

得k=1.

解法2由向量加減法幾何意義，可得當k=1時,向量a+b與向量a-b互相垂直，直接得到k=1.

1.3 向量的夾角問題

例3已知向量a,b滿足(a+2b)·(a-b)=-6，且|a|=1，|b|=2，則a與b的夾角為________.

(2011年安徽省數(shù)學高考理科試題)

分析本題通過向量的數(shù)量積求向量的夾角.

解由(a+2b)·(a-b)=-6，可得

a2+a·b-2b2=-6，

即

a·b=1，

因此

解得

lt;a,bgt;=60°.

1.4 向量及運算的幾何意義

( )

(2011年全國數(shù)學高考理科試題Ⅱ)

∠BAD=120°，∠BCD=60°，

(2011年浙江省數(shù)學高考試題)

圖1 圖2

1.5 向量背景下的知識交匯

( )

A．C可能是線段AB的中點

B．D可能是線段AB的中點

C．C，D可能同時在線段AB上

D．C，D不可能同時在線段AB的延長線上

(2011年山東省數(shù)學高考試題)

(c,0)=λ(1,0)，(d,0)=μ(1,0)，

所以

c=λ，d=μ,

依題得

故選D.

2 考查亮點掃描

2.1 體現(xiàn)平面向量代數(shù)運算與幾何意義這2種方法的選擇

向量、向量的加減等線性運算、向量的數(shù)量積等運算都有其深刻的幾何意義，因此不少向量及其運算的問題既能用向量代數(shù)運算來解決，也可以通過它們對應的結構特征利用幾何圖形的性質(zhì)和結論來解決，這樣不僅體現(xiàn)了試題的寬入口，也能在一定程度上體現(xiàn)不同的思維層次，在2種方法的選擇解決中同時體現(xiàn)著數(shù)形結合思想的運用.例如：

例7若a，b，c均為單位向量，且a·b=0，(a-c)·(b-c)≤0，則|a+b-c|的最大值為

( )

(2011年遼寧省數(shù)學高考理科試題)

分析利用向量的數(shù)量積運算分別轉化已知和所求，得到已知為

1-(a+b)·c≤0，

從而

|a+b-c|2=(a+b-c)2=3-2(a+b)·c≤1.

故選B.

圖3

顯然，選擇利用向量及運算的幾何意義解題，能夠簡化運算，過程也較簡潔.但要求理解向量數(shù)量積為0、負的幾何特征，也需要熟練掌握向量加減、模的幾何意義，另外對平面幾何中的基本圖形和性質(zhì)也有一定的要求.

又如全國卷中有以下選擇題：

已知a與b均為單位向量，其夾角為θ，有下列4個命題

其中真命題是

( )

A.P1,P4B.P1,P3

C.P2,P3D.P2,P4

圖4

2.2 體現(xiàn)平面向量基本定理的要求

平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐標表示的基礎，通過它可以將平面內(nèi)任一向量表示為2個不共線向量的線性組合，其中包含著化歸思想.運用平面向量基本定理能將一般幾何圖形通過其基底表示，從而能更一般地運用向量運算加以解決.例如：

(2011年湖南省數(shù)學高考理科試題)

因此

2.3 體現(xiàn)平面向量的工具作用

新課標要求體會向量是一種處理幾何、物理問題等的工具，發(fā)展運算能力和解決實際問題的能力.運用向量方法可將幾何性質(zhì)的研究轉化為向量的運算，使幾何問題通過向量運算得到解決.譬如解析幾何中的有關線段問題，向量表示既有線段的長度關系，又包括位置關系(平行、垂直和夾角)，利用向量的坐標表示能直接綜合相應的條件求解.

(2011年浙江省數(shù)學高考理科試題)

變形得

代入x2+3y2=3即可解得x1=0，從而y1=±1，即坐標為(0，±1).

3 復習建議

在知識學習層面要求強化基礎.復習中要貼近教材，在各類背景下理解平面向量的概念，理解向量相等、共線等的含義，切實注意向量性質(zhì)、定理的使用條件.a·b=|a|·|b|cosθ，a·b=x1x2+y1y2,|a|2=a2=x2+y2,(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2等公式的關系非常密切，必須能夠靈活、綜合運用．在掌握向量各類運算的同時，重視理解向量運算對應的幾何意義.教學中多采用易錯概念的辨析，進行向量的3種語言轉換，注意向量運算與實數(shù)運算的區(qū)別與聯(lián)系.由于向量基本概念較多，要引導學生建立良好的知識結構，要善于與物理、生活中的模型進行類比與聯(lián)想，在理解的基礎上加以記憶.

在知識應用層面需要重視向量的工具作用.向量集數(shù)與形于一體，向量及其運算具有豐富的幾何意義和物理意義，既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性，因此利用其直觀性可以輔助解決抽象的符號表示的向量及其運算.相應地,向量方法也是幾何研究的一個有力工具，其中將幾何問題轉化為向量問題是關鍵.向量與代數(shù)、三角、幾何等有較多的綜合，向量的表示有其代數(shù)的符號語言和幾何圖形語言，向量夾角公式、向量平行與垂直的充要條件等是向量工具的重要內(nèi)容.在解決相關問題時，要自覺運用或創(chuàng)造條件，調(diào)整思維方向，建立恰當坐標系或適當確立基底，運用向量工具加以解決.

向量的雙重性體現(xiàn)了數(shù)形結合思想，向量的坐標表示實質(zhì)是將向量問題轉化為實數(shù)的運算，通過解方程或方程組的運算加以解決，體現(xiàn)了方程思想在向量中的運用.而利用向量與物理和生活實際的密切聯(lián)系，在應用向量解決實際問題時體現(xiàn)了數(shù)學建模思想，在復習教學中要注重有效滲透上述數(shù)學思想.