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(新疆石河子大學(xué)師范學(xué)院 新疆石河子 832003)

芻議新課標(biāo)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材中的古算題及其教育價(jià)值

●劉超

(新疆石河子大學(xué)師范學(xué)院 新疆石河子 832003)

數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)教育的意義已愈來愈得到重視.我國新頒布的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，無論是在義務(wù)教育階段還是在普通高中階段，都有與數(shù)學(xué)史相關(guān)的論述.當(dāng)前數(shù)學(xué)課程改革需要數(shù)學(xué)史，數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)教育最好的啟發(fā)式之一.浩瀚的數(shù)學(xué)史海洋里具有豐富而鮮活的生長基因，是轉(zhuǎn)化為教育力量的原生態(tài)標(biāo)本和寶貴的文化資源.數(shù)學(xué)課程需立足學(xué)科本源，推本溯源、返璞歸真，要把數(shù)學(xué)史的史學(xué)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài).通過翻閱初、高中各個(gè)版本的新課標(biāo)實(shí)驗(yàn)教材，我們發(fā)現(xiàn)各版本教材都或多或少地融入了一些數(shù)學(xué)史內(nèi)容，而其中最吸引讀者眼球的數(shù)學(xué)史融入方式就是設(shè)置了一些古算題(相當(dāng)于我們現(xiàn)今所說的應(yīng)用題或文字題).本文分析各版本新課標(biāo)實(shí)驗(yàn)教材中的古算題，并發(fā)掘其教育價(jià)值.

1 中學(xué)各版本實(shí)驗(yàn)教材中的古算題介紹

調(diào)查發(fā)現(xiàn)，各種類型的中外古算題在初、高中的實(shí)驗(yàn)教材中占據(jù)了一定的比重，相比之下，初中教材中的古算題更多一些.筆者對(duì)人教版、北師大版、華東師大版初中教材中的古算題作了調(diào)查，具體見表1.

表1 3套初中新課標(biāo)教材中的古算題

據(jù)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)行新教材對(duì)古算題的處理方式多是直接將古算題作為例題或課后習(xí)題.教材對(duì)于古算題的使用大都圖文并茂，不僅呈現(xiàn)古文原題，而且還有現(xiàn)代白話文的翻譯，更為難能可貴的是教材還給部分古算題配上了圖畫，下面舉例說明.

圖1

人教版八年級(jí)下冊(cè)第十八章勾股定理習(xí)題18.1綜合運(yùn)用第20題：

今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.水深、葭長各幾何？意即：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面一尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面.問這個(gè)水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？

北師大版八年級(jí)上冊(cè)第一章勾股定理習(xí)題1.4聯(lián)系拓廣第5題：普林頓322泥板問題.

美國哥倫比亞大學(xué)普林頓收藏館收藏了一塊很古怪的泥板，這塊泥板是在巴比倫挖掘出來的，編號(hào)為322.考古學(xué)家相信這塊泥板是公元前十八世紀(jì)的成品.泥板上有3列文字，沒有人能解釋.直至1945年，Neugebauer和Sachs經(jīng)過細(xì)心考察，發(fā)現(xiàn)泥板上是3列有特殊聯(lián)系的數(shù)字.你知道這些數(shù)字間的關(guān)系嗎？可借助計(jì)算器進(jìn)行探索.

圖2

課堂調(diào)查發(fā)現(xiàn)，教師在講解這些古算題時(shí)，基本上是和其他題目的求解沒有什么區(qū)別，即在很大程度上忽視了這些古算題所應(yīng)有的教育教學(xué)價(jià)值.對(duì)于古算題的教育價(jià)值，國內(nèi)外都有過一些討論.法國數(shù)學(xué)教育家、數(shù)學(xué)史家史威茲(F.J.Swetz)提出，在數(shù)學(xué)問題配置與求解中可選擇歷史上不同時(shí)期、不同文化的一些古算題.這些古算題及其求解提供了相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容的現(xiàn)實(shí)背景，揭示了實(shí)質(zhì)性的數(shù)學(xué)思想方法，蘊(yùn)涵了數(shù)學(xué)家為之奮斗的曲折歷程與苦樂體驗(yàn)，展現(xiàn)了廣闊而生動(dòng)的人文背景.因此在問題求解中，應(yīng)側(cè)重對(duì)歷史上所用各種數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行比較分析，使學(xué)生了解不同文化背景下的數(shù)學(xué)思考方式，旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，實(shí)踐多元文化關(guān)懷.由法國數(shù)學(xué)教育家巴賓(Evelyne Barbin)主編的《數(shù)學(xué)史與歷史名題》一書也嘗試把古算題融入數(shù)學(xué)教學(xué)之中，其基本策略是把歷史上的“偉大問題”視為數(shù)學(xué)知識(shí)成長的中心主題.作者在書中對(duì)每一個(gè)問題都具體地分析了其誕生與發(fā)展，以及它們又如何引導(dǎo)了提供解答的數(shù)學(xué)工具之創(chuàng)造與轉(zhuǎn)化[1].

2 古算題教育價(jià)值的開發(fā)

結(jié)合新課程標(biāo)準(zhǔn)提出的“知識(shí)與技能,過程與方法,情感、態(tài)度與價(jià)值觀”的三維教育教學(xué)目標(biāo)，筆者認(rèn)為古算題具有重要的教育價(jià)值，具體體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面.

2.1 對(duì)學(xué)習(xí)興趣和成就動(dòng)機(jī)的激勵(lì)作用

對(duì)任何學(xué)科的學(xué)習(xí)來說，興趣是第一位的.學(xué)生之所以對(duì)數(shù)學(xué)不感興趣，是因?yàn)檎n本中演繹性的表述掩蓋了數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生和發(fā)展的過程.沒有一種數(shù)學(xué)的思想，以它被發(fā)現(xiàn)時(shí)的那個(gè)樣子公開發(fā)表的.一個(gè)問題被解決后，相應(yīng)地發(fā)展為一種形式化的技巧，結(jié)果把求解過程丟在一邊，使得火熱的發(fā)明變成冰冷的美麗.在古算題的教學(xué)中，教師若能在求解的同時(shí)讓學(xué)生了解相關(guān)知識(shí)的產(chǎn)生與發(fā)展過程，把數(shù)學(xué)的形式化邏輯鏈條恢復(fù)為當(dāng)初數(shù)學(xué)發(fā)明創(chuàng)新時(shí)的火熱思考，展現(xiàn)數(shù)學(xué)家的思維過程，分享數(shù)學(xué)家們經(jīng)過刻苦鉆研取得新成果時(shí)的歡樂，讓學(xué)生體會(huì)到創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)“活”的思維，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)創(chuàng)新過程，無疑會(huì)大大拓寬學(xué)生的視野，使他們更加深刻地理解數(shù)學(xué)、欣賞數(shù)學(xué)和熱愛數(shù)學(xué).此外，古算題的提出一般來說都是非常自然的，它或者直接提供了相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容的現(xiàn)實(shí)背景，或者揭示了實(shí)質(zhì)性的數(shù)學(xué)思想方法，這對(duì)于學(xué)生理解數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法都是非常重要的.許多古算題的提出和解決與數(shù)學(xué)家有關(guān)，讓學(xué)生感到他正在解決一個(gè)曾經(jīng)被數(shù)學(xué)家探索過的問題，或許這個(gè)問題在當(dāng)時(shí)還難住了不少有名的人物，學(xué)生會(huì)感到一種智力的挑戰(zhàn)，也會(huì)從學(xué)習(xí)中獲得成功的享受，這對(duì)于激發(fā)學(xué)生的成就動(dòng)機(jī)無疑是十分重要的.

在古算題教學(xué)中，教師應(yīng)該盡量引導(dǎo)學(xué)生在熟悉的文化環(huán)境中尋找與古算題背景相似的情境，以便讓學(xué)生比較容易地分析和理解古算題的條件和結(jié)論，并能順利地解答.其中一些古算題，完全可以讓學(xué)生仿照其背景進(jìn)行模擬演示，使學(xué)生知道古算題也能煥發(fā)現(xiàn)代青春活力，也能讓我們身臨其境,興趣盎然,感受深刻.學(xué)生在解答古算題的過程中，還可以領(lǐng)略古人的生存狀況、生活情趣、勞作藝術(shù)、道德禮儀、政治經(jīng)濟(jì)、戰(zhàn)爭徭役、教育審美等等方面，那么學(xué)生就不僅僅局限于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，而是在穿越時(shí)空與古人對(duì)話，這對(duì)于激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、幫助學(xué)生多了解一些古文特點(diǎn)和古代歷史、打下廣博的人生基礎(chǔ)是大有裨益的.

2.2 數(shù)學(xué)文化的展示作用

新課程理念強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)科學(xué)與社會(huì)發(fā)展之間的相互作用，體會(huì)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值，提高學(xué)生的文化素養(yǎng)，加強(qiáng)人文修養(yǎng)，培養(yǎng)人文精神.古算題及其求解是為了滿足當(dāng)時(shí)社會(huì)的實(shí)際需要，大都反映了各個(gè)時(shí)代的社會(huì)主題，包含了豐富的社會(huì)文化信息.這些古算題不僅涵蓋了歷史上各個(gè)時(shí)期人們的生活起居、養(yǎng)殖、耕種、建筑、運(yùn)輸、貿(mào)易、教育、天文、地理、冶金、制造、軍事等方方面面，字里行間充滿著濃郁的人文色彩和寶貴的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，而且解答這些古算題所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)，也涵蓋了現(xiàn)今我國第八次基礎(chǔ)教育課程改革中12年的《數(shù)學(xué)》實(shí)驗(yàn)教科書(以下簡稱“新課程《數(shù)學(xué)》”)里至少90%的知識(shí)點(diǎn).限于篇幅，本文僅就關(guān)于勾股定理的幾道古算題進(jìn)行說明.

問題1今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.問折者高幾何(《九章算術(shù)》之“竹折抵地”)?

問題2竹高十八尺，為風(fēng)吹折，竹尖抵地，離根六尺，求兩段之長(印度，620年).

問題3一矛直立水中，出水三尺，風(fēng)吹矛沒入水中，矛尖恰在水面上，矛尾仍在原位，矛頭與原位相距5尺，求矛長(阿爾卡西《算術(shù)之論》，1427年).

這3個(gè)問題盡管最后的求解不同，但都是勾股定理的具體運(yùn)用.問題的出處及時(shí)間，反映了不同年代、不同文化背景下的學(xué)者對(duì)勾股定理的關(guān)注.其中問題1更可看作是不同社會(huì)文化在數(shù)學(xué)知識(shí)方面相互借鑒和轉(zhuǎn)化的典范.這個(gè)問題最早出現(xiàn)在我國漢代的《九章算術(shù)》(公元前300-200年)一書中；后來又出現(xiàn)在由Mahavira(公元850年)編著的梵語數(shù)學(xué)經(jīng)典《Ganita-Sara》中；1491年，Philippi Calan-dri的《算術(shù)》書里又發(fā)現(xiàn)了它的存在，這說明它在歐洲也得到了應(yīng)用.通過設(shè)置古算題，可以使學(xué)生獲得豐富的社會(huì)文化信息.不同時(shí)代、不同社會(huì)歷史背景下的古算題可使學(xué)生了解不同的數(shù)學(xué)思考方式，受到社會(huì)歷史文化與數(shù)學(xué)思維的雙重熏陶，進(jìn)而獲得數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)的文化意義.

2.3 解題方法演變的展現(xiàn)作用

數(shù)學(xué)的發(fā)展離不開問題的提出和解決，問題構(gòu)成數(shù)學(xué)的心臟.提出問題并不斷尋求解決問題方法的過程構(gòu)成了數(shù)學(xué)的發(fā)展過程.人們?cè)谏詈蜕a(chǎn)實(shí)踐中遇到的問題是產(chǎn)生數(shù)學(xué)成果的源泉，在解題過程中，每一種方法的提出都閃爍著思想的火花.因此，在教學(xué)中把古算題的古今解法進(jìn)行比較，將有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)各種方法的特點(diǎn)，理清解題方法演變的脈絡(luò)，明晰何種方法更適合于何種脈絡(luò)，哪種策略應(yīng)該向什么地方遷移.現(xiàn)代心理學(xué)研究表明，全面系統(tǒng)地了解知識(shí)是最有助于牢固掌握的，而相互之間作細(xì)致的比較又是有助于深刻理解和廣泛遷移的.因此，展現(xiàn)古算題及其各種不同解法，有利于學(xué)生從數(shù)學(xué)解題方法的演變過程把握問題的精髓，了解各種方法的思想來源和思維過程，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維.

以著名的海倫公式為例，從古至今關(guān)于海倫公式的證明方法有很多種.給出各種證法，并非是為了得出一個(gè)高低差異的評(píng)價(jià)，而是為了豐富教學(xué)內(nèi)容知識(shí).通過分析各個(gè)版本證法的特色，可以讓教師在教學(xué)方法上有所比較，這樣也才能取長補(bǔ)短.

2.4 數(shù)學(xué)思想方法的引領(lǐng)作用

數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容及其所使用方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，它蘊(yùn)涵于具體的內(nèi)容和方法之中，又經(jīng)過提煉與概括，成為理性知識(shí)，它直接支配數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐活動(dòng).就數(shù)學(xué)思想方法對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)的積極意義而言，一個(gè)最為明顯的事實(shí)就在于以數(shù)學(xué)思想方法為指導(dǎo)去進(jìn)行教學(xué)，有助于我們將數(shù)學(xué)課講活、講懂、講深.流傳至今的這些古算題的求解在很大程度上是重要數(shù)學(xué)思想方法的演變記錄.伴隨著古算題的提出與解決，從算術(shù)到代數(shù)的符號(hào)與變?cè)硎镜乃枷?，代?shù)與幾何數(shù)形結(jié)合的思想，從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的思想，集合論、類比、公理化與結(jié)構(gòu)、極限思想等一系列有代表性的數(shù)學(xué)思想相繼問世，并在數(shù)學(xué)的歷史及至現(xiàn)今的許多科學(xué)領(lǐng)域中起著無可替代的重要作用.通過古算題的求解，可以深入了解數(shù)學(xué)思想方法是如何萌芽、生長、壯大和成熟的，從而對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)科目所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想有更深的體會(huì)和理解.

仍以海倫公式為例，學(xué)生最為熟悉的海倫公式證法非余弦定理方法莫屬，它是純粹的代數(shù)運(yùn)算.而歷史上的證明方法大多都是幾何證法，這對(duì)習(xí)慣代數(shù)運(yùn)算與解析幾何的學(xué)生來說，學(xué)習(xí)起來有一定的難度.但海倫公式所處理的是幾何圖形面積的計(jì)算，余弦定理證法則充分展現(xiàn)了符號(hào)代數(shù)的威力，其間所隱含之幾何與代數(shù)表征的連結(jié)，恰好是數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)表征連結(jié)能力的不可多得的范例.學(xué)生由此也可以知悉，引入三角學(xué)的余弦定理，究竟替代了多少綜合幾何里的命題、方法與技巧.其次，歷史上的海倫公式證法還使我們認(rèn)識(shí)到該如何呈現(xiàn)定理及其證明，以便可以兼顧到各個(gè)面向.在教學(xué)中，若以歷史文獻(xiàn)為師，適時(shí)引入古人原始樸素的想法，擷取前人的智慧，乃至于前人所犯的錯(cuò)誤，相信對(duì)于數(shù)學(xué)思想的發(fā)展與學(xué)生的學(xué)習(xí)過程聯(lián)系更緊密，也能讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有更全面的關(guān)注.再有一點(diǎn)，海倫公式又被稱為海倫-秦九韶公式，這是因?yàn)榍鼐派鬲?dú)立給出了與海倫公式等價(jià)的“三斜求積術(shù)”.通過海倫公式證明方法的中西比較可知，希臘人運(yùn)用平面幾何知識(shí)證明海倫公式，而秦九韶只給出公式并用之求解具體問題.可見數(shù)學(xué)問題的提出與解決離不開社會(huì)文化的歷史脈絡(luò)，也與民族特性相關(guān).中國的數(shù)學(xué)與古希臘數(shù)學(xué)演繹的邏輯推理不同，因?yàn)橹兴慵也痪幸桓竦夭捎酶鞣N形式的推理方法，使中國數(shù)學(xué)成為一種從實(shí)際問題出發(fā)，經(jīng)過分析提高而概括出一般原理、原則和方法，以求最終解決一大類問題的體系.針對(duì)一個(gè)已知三角形3條邊長求其面積的問題，由于解題形式的不同，讓我們看到了在數(shù)學(xué)知識(shí)呈現(xiàn)的背后蘊(yùn)藏了深刻的文化內(nèi)涵.

[1] Fauvel J, Maanen J V.History in the Mathematics Education[M].Dordrecht:Kluwer Academic Publishers,2000.