方小春，趙 冬，徐小明，2

（1.同濟(jì)大學(xué) 數(shù)學(xué)系，上海200092；2.上海應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 理學(xué)院，上海201418）

1 結(jié)果陳述

假設(shè)H是一個復(fù)Hilbert空間，B（H）是H上所有有界線性算子構(gòu)成的代數(shù)，F(xiàn)（H）是B（H）中所有有限秩算子構(gòu)成的理想，F(xiàn)（H）＋是F（H）中所有正元構(gòu)成的集合.任給算子T∈B（H），分別用T＊，R（T）表示T的伴隨算子和值域.

設(shè)AH是B（H）的一個C＊－子代數(shù)，如果AH包含F(xiàn)（H）和單位元I，則稱AH是H上的一個標(biāo)準(zhǔn)C＊－代數(shù).將AH中所有正元構(gòu)成的集合記作AH＋.

定義1［1，2］設(shè)A，B∈AH＋.若 存在X∈AH，使得

則記A≤B.

若A≤B且B≤A，則稱A等價于B，此時記作

A≈B.

容易證明，≈是AH＋中的一個等價關(guān)系，它推廣了Murray－von Neumann在C＊－代數(shù)中定義的投影等價關(guān)系.任給A∈AH＋，用〈A〉表示A在AH＋中關(guān)系≈的等價類.

定義2 設(shè)φ是AH＋上的一個映射.若φ具有可加性且對任給的λ∈R＋和A∈AH＋都滿足φ（λA）＝λφ（A），則稱φ是一個半線性映射.任給一個網(wǎng)｛Ai｝，如果｛Ai｝按弱算子拓?fù)涫諗坑贏，那么φ（Ai）也按弱算子拓?fù)涫諗坑讦眨ˋ），則稱φ是一個弱連續(xù)映射.

若映射φ：AH＋→AH＋滿足對任給的A，B∈AH＋，如果A≤B，那么φ（A）≤φ（B），則稱φ是一個保持比較關(guān)系≤的映射.若φ滿足φ（A）≤φ（B）當(dāng)且僅當(dāng)A≤B，則稱φ是一個雙邊保持比較關(guān)系≤的映射.近些年來，很多學(xué)者對算子保持問題做了很深入的研究［3－8］.本文討論AH＋中比較關(guān)系≤的雙邊保持問題.

本文的主要結(jié)果如下.

定理1 設(shè)φ：AH＋→AH＋是一個弱連續(xù)半線性滿射.如果存在可逆元M∈B（H），使得對任意的A∈AH＋，都有φ（A）＝MAM＊，則φ是一個雙邊保持比較關(guān)系≤的映射.

定理2 設(shè)φ：AH＋→AH＋是一個弱連續(xù)半線性滿射.如果φ雙邊保持比較關(guān)系≤，則

（1）任給A，B∈AH＋，A≈B?φ（A）≈φ（B）.（2）任給A∈F（H）＋，rank（φ（A））＝rank（A）.根據(jù)定理1，很容易得到下述推論.

推論1 設(shè)φ：B（H）＋→B（H）＋是一個弱連續(xù)半線性滿射.如果φ雙邊保持比較關(guān)系≤，則

（1）任給A，B∈B（H）＋，A≈B?φ（A）≈φ（B）.

（2）任給A∈F（H）＋，rank（φ（A））＝rank（A）.

2 定理的證明

定理1的證明 設(shè)A，B∈AH＋.如果A≤B，根據(jù)定義1，則存在X∈AH，使得A＝XBX＊.所以

因為MM＊＝φ（I）∈AH＋，MM＊在B（H）中可逆，所以（MM＊）－1∈AH＋.因為AH是由AH＋線性張成 的 且MAH＋M＊＝φ（AH＋）＝AH＋，所 以MXM＊∈AH，故MXM＊（MM＊）－1∈AH.根據(jù)定義1，有φ（A）≤φ（B）.

反之，設(shè)A，B∈AH＋.如果φ（A）≤φ（B），根據(jù)定義1，則存在X∈AH，使得φ（A）＝Xφ（B）X＊.所以

因為φ是AH＋上的滿射，所以M－1AH＋M＊－1＝M－1φ（AH＋）M＊－1＝AH＋.故M－1XM＊－1∈AH.又因為M－1M＊－1＝M－1IM＊－1∈AH＋，所 以（M－1·M＊－1）－1∈AH＋.從而（M－1XM＊－1）（M－1M＊－1）－1∈AH.根據(jù)定義1，有A≤B.

為了證明定理2，首先給出幾個引理.

引理1 設(shè)A，B∈AH＋且A≤B.若dimR（B）＜∞，則dimR（A）＜∞.

證明 不妨假設(shè)dimR（B）＝k＜∞.由于A≤B，根據(jù)定義1，則存在X∈AH，使得A＝XBX＊，故

dimR（A）≤dimR（B）＝k＜∞.

引理2 設(shè)A，B∈AH＋.若dimR（A）＜∞或dimR（B）＜∞，則A≤B當(dāng)且僅當(dāng)dimR（A）≤dimR（B）.

再證必要性.由于A≤B，根據(jù)定義1，存在X∈AH，使得A＝XBX＊，故dimR（A）≤dimR（B）.

引理2揭示了有限秩正算子的秩與比較關(guān)系≤之間的一些聯(lián)系.根據(jù)引理2，得到如下推論.

推論2 設(shè)A∈AH＋.下列命題等價.

（1）dimR（A）＝k.

（2）任給X∈AH＋，若dimR（X）＝k，則A≈X.

（3）存在X∈AH＋，若dimR（X）＝k，則A≈X.

命題1 設(shè)φ：AH＋→AH＋是一個半線性滿射.如果φ雙邊保持比較關(guān)系≤，則：

（1）任給A，B∈F（H）＋，A≈B?φ（A）≈φ（B）.

（2）任給A∈F（H）＋，rank（φ（A））＝rank（A）.

證明 （1）因為φ雙邊保持比較關(guān)系≤，所以對任給的A，B∈F（H）＋，A≤B?φ（A）≤φ（B）.容易驗證對任給的A，B∈F（H）＋，A≈B?φ（A）≈φ（B）.

（2）只需證明（1）?（2）.設(shè)任給A，B∈F（H）＋，A≈B?φ（A）≈φ（B）.給定自然數(shù)k，將F（H）＋中所有k秩算子構(gòu)成的集合記作Fk（H）＋.證明對任給的自然數(shù)k和A∈Fk（H）＋，rank（φ（A））＝rank（A）.

當(dāng)k＝0時，只需證明φ（0）＝0.因為φ是半線性映射，所以φ（0）＝φ（0＋0）＝φ（0）＋φ（0）＝2φ（0），故φ（0）＝0.

假設(shè)對任給自然數(shù)k≤m和A∈Fk（H）＋，rank（φ（A））＝rank（A）.下面證明當(dāng)A∈Fm＋1（H）＋時，rank（φ（A））＝rank（A）.用反證法，假設(shè)當(dāng)A∈Fm＋1（H）＋時，rank（φ（A））≠m＋1，分兩種情況來討論：

1）若rank（φ（A））＜m＋1，即rank（φ（A））≤m，根據(jù)假設(shè)有rank（φ（φ（A）））＝rank（φ（A））.應(yīng)用推論2，有φ（φ（A））≈φ（A）.故A≈φ（A）.根據(jù)推論2，m＋1＝rank（A）＝rank（φ（A））＜m＋1.顯然，矛盾.

2）若rank（φ（A））＞m＋1，證明φ的像不包含m＋1秩算子.若k＜m＋1且B∈Fk（H）＋，根據(jù)假設(shè)，有rank（φ（B））＝rank（B）＜m＋1.若k＝m＋1且B∈Fk（H）＋，根據(jù)推論2，有B≈A.故φ（B）≈φ（A），從而rank（φ（B））＝rank（φ（A））＞m＋1.若k＞m＋1且B∈Fk（H）＋，則存在正交集合｛e1，…，ek｝（ei∈H，i＝1，…，k），使得且rank，應(yīng)用k＝m＋1時的結(jié)論，有.因為φ是半線性映射，所以因 此 rank （φ（B））≥這樣證明了φ的像不包含m＋1秩算子.這與φ是滿射矛盾.

現(xiàn)在證明定理2.

定理2的證明

（1）因為φ雙邊保持比較關(guān)系≤，所以對任給的A，B∈AH＋，A≤B?φ（A）≤φ（B）.則容易驗證對任給的A，B∈AH＋，A≈B?φ（A）≈φ（B）.

（2）因為φ是弱連續(xù)的，根據(jù)結(jié)論（1）和命題1及其證明過程，顯然結(jié)論（2）成立.

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